341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 6

Поэтому уравнение примой Ь' имеет вид 1 Ь': х+2у+ — =О. 2 2-й метод. Произвольная тачка М принадлежит Е' в том и только в том случае, когда р(М, Ь|) = р(М, Ьэ), т.е. ~б(М, Т,,Н = )5(М, Уэ) ~. Дяя того чтобы снять модули в этом соотношении, установим положение начала координат относительно заданных прямых Ь| и Еэ. Нормальные ураенснин этих прямых таковы: 1 2 1 1 2 2 Е~.

— х+ — у — — =0 и Х~э.. — — х- — у — — =О. ьЛ ьЛ ~/5 ч'5 ~/5 т/5 Так как нормали пэ и пэ из точки 0 в сторону Ь| и Ьэ противоположно направлены, то точка 0 находитсн в полосе между Тч и Ьэ. Поэтому соотношение (1) принимает вид 6(М, Ь|) = 5(М, Ьэ), или 1 2 1 1 2 2 — х+ — у — — =- — х — — у — —, Л Л Л Л Л Л' 1 т.е. Ь'. х+ 2у+ — = О. ~> 2 В задачах 1.141-1.143 требуется: 1) написать уравнение примой, привести ега к общему виду и построить прямую; 2) привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат да прямой. 1.141.

Прямая 1 задана точкой Мо(хо, уо) Е Ь и нормальным вектором и = ~А, Н): а) Мо( — 1, 2), и = (2, 2); 28 Гл.1. Векто лая алгеб а н аналитическая геомст ил б) Мо(2 1), и = (2, О); в) Мо(1, 1), и = (2, — 1). 1.142. Прямая Х задана точной Мо(хо, уо) Е Ь и направляющим вектором с1 = (1, гя): а) М ( — 1, 2), с1 = (3, — 1); б) Мо(1, 1), с1 = (О, — 1); в) Мо(-1, 1), с1 = (2, О).

1.143. Прямая Ь задана двумя своими точками М~(хы у~) и М2(хз, у2): а) М~(1, 2), Мз(-1, О); б) М~(1, Ц, Мз(1, — 2); в) М~(2, 2), Мз(0, 2). 1.144. Заданы прямая Ь и точка М. Требуется: 1) вычислить расстояние р(М, Ь) ог точки М до прямой Ь; 2) написать уравнение прямой Ь', проходящей через точку М перпендииулярно заданной прямой Е; 3) написать уравнение прямой Ь", проходящей через точку М параллельно заданной прямой Ь. Исходные данные: а) Ь: -2х + у — 1 = О, М(-1, 2); б) Ь: 2у+1 = О, М(1, 0); в) Е: х+у+ 1 = О, М(0, -1). Пусть заданы две прямые Ь| и Ьз.

Возможны два случая их взаимного расположения: 1) Е~ и Ьт — параллельные прямые, в частности, они совпадают; 2) Е,~ и Ез пересекаются. В задачах 1.145 †.149 исследовать взаимное расположение заданных прямых Ь| и Ьэ. При этом в случае 1) найти расстояние р(Ь|, Ьз) между прямыми, а в случае 2) — косинус угла (Ь|, Ьз) и точиу Мо пересечения прямых.

1.145. у ~ . .— 2х + у — 1 = О, Ьз . 2у + 1 = О. х — 1 у х+2 у 1.148. Ьт ."— — 2 1' 1~2 ° 1 0 1.147. Ь| . х + у — 1 = О, Ьэ: 2х — 2у + 1 = О. х у+1 1.148. Ь|: х+у — 1 = О, Ьз. 2 — 2 1.149. Ь| . — х+ 2у+ 1 = О, Ьз, 2х — 4у — 2 = О. 1.150. Треугольник АВС аадан координатами своих вершин. Требуется: 1) написать уравнение стороны АВ; Э 2. Линейные геометрические объекты 2) написать уравнение высоты СВ и вычислить ее длину 1т = ~СЦ; 3) найти угол ~р между высотой С1т и медианой ВМ; 4) написать уравнения биссектрис Ьт и Ьэ внутреннега и внешнего углов при вершине А.

Исходные данные: а) А(1, 2), В(2, -2), С(б, 1); б) А(2, -2), В(б, 1), С(-2, О). 1.151. Показать, что тачка М(-1, 2) принадлежит прямой Ь: х = 2$, у = — 1 — 61. Найти соатветствутощее этой точке значение параметра й 1.152. Вычислить расстояние от точки М(1, 1) до прямой Ь: х= — 1+21, у=2+1. Если прямая аадана общим уравнением Ах+ Ву+ С = 0 и при этом В ф 0 (т. е.

прнмая ие параллельна оси Оу), то эта прнмая может быть описана уравнением с углввьси иоэЯипиеитом вида у = их + б. П р и м е р 2. Написать уравнение прямой Ы, проходящей через точку М(2, 1) под углом — к врнмой ул 2х+ Зу+ 4 = О. 4 1 Углам между прямыми Ь н т ' иазыиаетсн наименьший из двух смежных углов, образованных этими прнмыми. Поэтому (см. задачу 1.156) где й — угловой коэффициент прямой Ь'. Из этого уравнеиин находим 1 йт = —, йэ — — — 5.

Следовательно, задача имеет два решения. Использун 5' координаты точки М, мы можем записать длн каждого случая уравнение с угловым коэффипнентом: 1 3 у = -х+ —, у = — 5х+ 11, 5 5 или в общем виде х — 5у+3=0, 5х+у — 11=0. ~> 1.153. Написать уравнение прямой, проходящей через тачку Ма(2, 4) и отстоящей ат точки А(0, 3) на расстояние р = 1.

1.154, Написать уравнение прямой, проходящей через точку Ма(1, 2) и удаленной от точки А(-2, -5) вдвое дальше, чем ат точки В(1, 8). 1.155. Написать уравнение прямой, проходящей на расстоянии ~/ГО ат точки А(5, 4) перпендикулярно прямой 2х + бу — 3 = О. 1.156. Доказать, что если прямые Ьт и Ьэ заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то я2 я! 30 Гл.

1. Векторная алгебра и аналитическая геомет ня 1.157. Из точни М(5, 4) выходит луч света под углом ~р = — вгсф82 и осн Ох и отражается от нее. Написать уравнения падающего и отраженного лучей, 1.158. Найти уравнение прямой, отсеиающей на оси абсцисс от начала координат отрезок длины 2 и образующей с прямой 2х— — р + 3 = 0 угол 45'. 1.159. В уравнении прямой 4х+ Лу — 20 = 0 подобрать Л так, чтобы угол между втой прямой и прямой 2х — Зу+ б = 0 равнялся 45'.

1.160. В равнобедренном треугольнике АВС заданы вершина С(4, 3), уравнение 2х — у — 5 = 0 основания АС н уравнение х— — 9 = 0 боновой стороны АВ. Написать уравнение стороны ВС. 1.161. Написать уравнение прямой, которая отстоит от точки А( — 1, 2) на расстояние р = ~/34 и составляет с осью Ох угол, вдвое больший угла, составляемого с осью Рх прямой 2х — бу+ + 5 = О. 1.162. Составить уравнение прямой, которая проходит через тачку М(8, б) и отсекает от координатного угла треугольник с площадью, равной 12.

1.163. Написать уравнение прямой, параллельной двум заданным прямым Ь| и Ьт и проходящей посередине между ними, если: х — 1 у+5 а) Ь|. Зх — 2у — 1=0, Ьт: 2 3 б) Ь|. Зх — 15у — 1 = О, 1г: 5 1 1.164. Написать уравнение прямой, проходящей через точку я 2 М(2, 1) под углом — к прямой т': х = 1+ 1, у = — 2 — — й 4 3 1.165. Даны две противоположные вершины квадрата А(1, 3) и С( — 1, 1). Найти координаты двух его других вершин н написать уравнения его сторон.

1.166. Известны уравнение одной из сторон квадрата х + Зу— — 3 = 0 и точка пересечения диагоналей Ф( — 2, 0). Написать уравнения остальных его сторон. 1.167. Точка А(5, — 4) является вершиной квадрата, диагональ которого лежит на прямой х — 7у — 8 = О.

Написать уравнения сторон и второй диагонали етого квадрата. 1.168. Написать уравнения сторон треугольника АВС, если задана его вершина А(1, 3) и уравнения двух медиан х — 2у+ 1 = 0 ир †1. 1.169'. Доказать, что прямая 2х+ у+ 3 = 0 пересекает отрезок М~Мз, где М~ ( — 5, 1) и Мз(3, 7). з 2. Линейные геометрические объекты 31 1.170. Написать уравнение прямой, праходнщей через точку Мо( — 2, 3) на одинаковых расстоннинх от тачек М1(5, -1) и М (3, 7) 1.171. Установить, лежат ли точка Мо(1, — 2) и начало координат в одном угле, в смежных или в вертикальных углах, образованных пересекающимисн прямыми Ь| и Вз, если: а) Ь1'.

2х — у — 5 = О, ьз.' Зх+ у+10 = 0; б) Ь1. х — 2у — 1=0, Ьз: Зх — у — 2=0. 1.172. Установить, какой из углов — - острый или тупай,— образаванных прнмыми Зх — 5у — 4 = О и х+ 2у+ 3 = О, содержит точку М(2, -5). 1.173. Написать уравнения сторон треугольника, знал одну его вершину В(2, б), а также уравнении высоты х — 7у+ 15 = 0 и биссектрисы 7х + у + 5 = О, проведенных из одной вершины. 1.174.

Написать уравнения сторон треугольника, анан одну его вершину В(2, — 7), а также уравненин высоты Зх + у+ 11 = 0 и медианы х + 2у + 7 = О, проведенных из различных вершин. 1.175. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну ега вершину А(3, -1), а также уравнении биссектрисы х — 4у+ 10 = 0 и медианы бх+ 10у — 59 = О, проведенных из различных вершин. 1.176. Даны уравнения 5х + 4у = 0 и Зх — у = 0 медиан треувольника и координаты ( — 5, 2) одной из его вершин. Найти уравнении сторон. 1.177. Даны уравнении у+ 4 = О, 7х + 4у + 5 = 0 биссектрис двух внутренних углов треугольника и уравнение 4х+ Зу = 0 стораны, соединнющей вершины, из которых выходят данные биссектрисы. Написать уравнения двух других старая треугольника.

1.178. а) Доказать, что тачка Н пересечения высот треугольника лежит на одной прямой с тачкой М пересечения его медиан и с центром 1ч' описанной окружности. б) Проверить утверждение п. а) для треугольника с вершинами в тачках А(5, 8), В(-2, 9), С(-4, 5). Определить, в каком отношении Л точка Н делит направленный отрезок МФ. 1.179.

П треугольнике А( — 3, — 1), В(1, — 5), С(9, 3), АМ = = ЗМх1, А1ч' = ЗМ. Показать, что тачка пересечении прямых ВИ и СМ лежит на медиане, проведенной из вершины А. 2. Плоскость и примак в пространстве, Плоскость Р в декартовой прямоугольной системе координат Охуз может быть задана уравнением одного нз следующих видов: 1) Ах+ Ву+ Сз+ Ю = 0 — общее уроенение плоскости; 2) А(х — хо) + В(у — уо) + С(з — зо) = 0 — уравнение плоскости, проходящей через точку Мр(хо, уо, зо) перпендикулярно нориольному вектору и = (А, В, С); 32 Гл.1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия х у я 3) — + — + — = 1 — уравнение плоскости в огпрезках, где а, 6, с— а 6 с величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях Ох, Оу, Оя соответственно; 4) хсова+ усов13+ «сов7 — р = Π— нормальное уравнение плоскости, где сова, совД соа7 — направляющие косинусы нормального вектора и, направленного кз начала координат в сторону плоскости, а р > Π— расстояние от начала координат до плоскости.

Общее уравнение 1) приводится к нормальному виду 4) путем умножения на нормирующнй множитель абп В л' гВ;. с Если плоскость Р задана нормальным уравнением вида 4), а М(х, у, я) — некоторая точка пространства, то выражение б(М, Р) = х сов и+ у сов 0+ ясов у - р задает отклонение точки М огл няоскосгяи Р. Знак б(М, Р) указывает на взаимное расположение точки М, плоскости Р и начала координат, а именно. "если точка М и начало координат лежат по разные стороны от плоскости Р, то б(М, Р) > О, а если М и начало координат находятся по одну сторону от плоскости Р, то б(М, Р) < О. Расстояние р(М, Р) от точки М до плоскости Р определяется равенством р(М, Р) = 1б(М, Р)).

Прямая Ь в пространстве может быть задана: 1) общими уравнениями ( Агх+ Вду+ С~я+.0~ = О, Аэх+ Вэу+Сэя+ 1Ут = О, где коэффипиенты Аы Вм Сг не пропордиональны коэффициентам Ам Вт, Сэ, что равносильно ее заданию как линии пересечения плоскостей; 2) иараиеглрическими уравкенивми х = хо+11, у =уо+щг, я = то+ пс, или в векторной форме г(1) = го + с11, где го = (хэ, уо, го) — радиус- вектор некоторой точки, принадлежащей прямой, а и = (1, от, и)— направляющий вектор прямой; 3) каноническими уравнениями х — хо у-уо я † что равносильно заданию прямой как линии пересечения трех плоско- стей, проектирующих эту прямую ка координатные плоскости. 32.