341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 53

При и ) 1 А не является правым идеалом. 4.460. а Пусть 1 — идеал кольца Е. Тогда 1 является подгруппой группы (Е, + ). Ранее было доказано, что всякая подгруппа группы Е имеет вид пЖ (см. задачу 4.119), где и б Е. Следовательно, 1 = иЕ.с» 4.461.а Если 1 — идеал кольца Е„, то по сложению 1 является подгруппой группы Е„.

Подгруппы группы Е„имеют вид аЕ„, где а]и (см. задачу 4.187). Значит, в кольце Е„все идеалы главные.с 4.469. Егв = 9Ем Ю16Ег4, здесь 9 = 9, 16г = 16, 9 16 = = 0; 9Егв ~ Ев, 16Ем ~ Ез. 4.4ТО. Евь = 10Е4ь Ю 36Евь~ 10Евь =' Еэ, 36Евь ~' Еь. 4.471. ах + Вх+ 7+ 1, где а,,О, у 6 И, 1 = (хз — 2хг + + 4)К[х]. 4.473. З Всякий идеал вальда Е имеет вид иЕ, где и б Е. Элементы фактор-кольца Е/пЕ имеют вид а + иЕ, где а 6 Е.

Проверим, что имеется ровно и смежных классов: 0 + иЕ, 1 + иЖ, ..., (п — Ц + + иЕ. Действительно, пусть а + иŠ— смежный класс; разделим а на и с остатком: а = ии + т, 0 < т < и; теперь а + пЕ = (пи+ т) + пЕ = = т + (пи + иЕ) = т + иЖ. Сложение смежных классов осуществляется по правилу (тз + иЕ) + (тз + пЕ) = т + пЕ, где т = (тз + тг) шоб и. Аналогично для умножения: (тз + иЕ)(тг + иЕ) = т' + пЕ, где т' = = (тгтг) шоп и. Очевидно, смежные классы можно поставить вовзаимно однозначное соответствие элементам кольца вычетов Ж„: Й 6 Е„-ь -+ Ь + пЕ.

При этом сложению смежных классов будет соответствовать сложение по модулю п в кольце вычетов, а умножению — умножение ,по модулю и. Следовательно, имеет место изоморфизм Е/иЕ ~ Е„. > 4 4Т4 О+ 4Ев, 1+ 4Ев, 2+ 4Ев 3+ 4Ев 4 475. а) Ег~ б) Ев 44Т6 0 щх]/( з цщ ] ( цех]/( з цть[ ] ( л+ + цть[х]/(хз цщ, ] 4 477. р'В/р"В (з = О, 1, ..., п). 4.479.

Необязательно. 4.480. З Определим отображение эг: Вз Э... Ю В„-ь (Вз/Хз) чг... 9 (В /1„) по формуле ~р(тм ..., т„) = (тз + 1з, ..., т„+ 1„). Непосредственно проверяется, что ~р — гомоморфизм и 1сегу = Хз Ж... Ю 1„. Так как 1шэг = = (Вз/1з) к... ® (Вя/Хя), то по теореме об изоморфизме мы получаем требуемое. с» 4.481. з Построим отображение дл В -ь В/аВ Ю В/ЬВ, полагая эг(т) = (т + аВ, т + ЬВ). Ясно, что ьэ — гомоморфизм. Найдем его ядро. Если эз(т) = О, то т б аВ и т 6 ЬВ, т.е. т = ах = Ьд при некоторых х, д б В. Так как В = аВ + ЬВ, то 1 = аи + Ьв при некоторых и, в б В. Ответы и указания 287 Отсюда получаем: х = ахи + Ьхо = ги + Ьхо = Ьри + Ьхо 6 ЬВ, а значит, г = ах б аЬВ, Мы доказали, что )сего« С аЬВ.

Ясно, что аЬВ С )сег«о. Следовательно, аЬВ = 1сег р. По теореме об изоморфизме получаем искомый изоморфизм. > 4.482. З Разложим многочлен хэ — 1 на неприводимые над полем И множители: хэ — 1 = (х — 1) (хт + х + 1). Многочлены х — 1 и х + х + 1 взаимно просты, поэтому запишем И[х]/(хэ — 1)К[х] ~ К[х]/(х — 1)К[х] 9 К[х]/(хт + х + 1)К[х]. Из примера 27 этого параграфа следует, что И[х]/(хэ + х + 1)К[х] ~ И[0], где 0 — корень многочлена хт + х + 1 любой из двух, например, -1+ ~3~ В= 2 ). Так как В 6 К[1] и 1 б К[0], то К[0] = К[4] = С. Следовательно, К[х]/(х — 1)К[х] ~ К 9«С. с«4.483.

С. 4.484. Я 9 Я[С], где С = -1+ «Л 2 4.485. К 9 К 9 «С. 4.486. С 9 «С. 4.487. Жэ 9 Еэ. 4.489. а) х = 39 (пюс(60); б) х = 187 (пюс(210). 4.490. 2бхт + х — 3. 4.492. 3. 4.493. 1. 4.494. 2. 4.495. 2. 4.496. 2. 4.497. Нет. 4.498. Да. 4.499. Да. 4.505.0т + 2В. 4.506.В+ 2. 4.507.40э + 2В. 4.508. х(0+ 2). 4509 ~20 4510 Вэ+Вэ Вт+В Вэ+Вт+1 да+О+1. 4.511.2.

4.512. 1. 4.513. 3. 4.514. а) го и — Ет (простое подполе) и само поле Ь'; б) Го ~ Жт (простое подполе), Ь1 (поле из 4 элементов) и само поле Г. 4.515. -(~/8 + 2~/2 — 4~Г2). 4.516. — (-ЗВэ + 50э + 20 + 7), 6 31 ' где 0 = ~3. 4.517. — ( — 5 — 9Я+ 19К25). 4.519. а) Да; б) иет; 176 «в) да; г) да. 4.520. Например, О. 4.521. Например, Вт + 1.

4.522. Да. 4.523. Нет. 4.525. 6. 4.526. 9. 4.52Т. 18, 4.528. 48. 4.529. -(рт — р). 2 4.530. 240. 4.531. 60. 4.532. Например, хт + В. 4.533. Например, х4 + + Вх + 1, где Вэ = 0+ 1. 4.534. гПшг Г = 1. 4.535. гПш, С = 2; базис: 1, 1. 4.537. Йппгг'„= ит. 4.541. з Если а б А, а ф О, то а не является делителем нуля, поэтому отображение А + А, х «-~ ха, является вложением. Ввиду того, что гПп«А ( со, мы получаем, что Аа = А. Аналогично доказывается, что аА = А. Значит, иа = а при некотором и б А. Отсюда следует, что хиа = ха, а потому хи = х при всех х 6 А. Таким образом, и — правая единица. Далее, хир = хр при всех р, следовательно, ир = р, т.е.

и — левая единица. Равенство Аа = аА = А ' показывает, что всякий элемент а ~ 0 имеет обратный. Это означает, ,, что А — тело. ~> 4.542. Так как (аа)а = (а + Ь)а = ат + Ьа = 2а + Ь и а(аа) = а(а + Ь) = ат + аЬ = а + Ь, то алгебра А неассоциативна. ~> 1+а+а 4.543. < Положим и = , Нетрудно проверить, что ад = ди = и 3 Ответы и указания 288 для всех д е С, а аначит, их = хи для всех х Е КС. Кроме того, и = и. Значит, КС = КСи Ю КС(1 — и). Идеал КСи — одномерная алгебра, изоморфная полю К. Идеал КС(1 — и) двумерный, его базис — и, ю, где и = 1 — и, ю = а(1 — и).

При этом оэ = о, ою = юе = ю (т.е. ив единица алгебры КС(1 — и)), юэ = аэ(1 — и) = (Зи — 1 — а)(1 — и) = = Π— (1 — и) — а(1 — и) = — о — ю. Таблица умножения этой алгебры выглядит так: Элемент ю удовлетворяет уравнению юэ = — е — ю, т.е. ю — корень многочлена хэ + х + 1. Значит, КС(1 — и) ы К[ю[ '— ы ь.. Итак, КС = = КСи ю КС(1 — и) В К ю ь.. Отсюда следует, что групповая алгебра КС имеет ровно 4 идеала: О, КС, КСи, КС(1 — и).с 4.544. Да. Указание. Достаточно проверить ассоциативность (ху)» = х(уз) для х, у, х Е (а, Ь). 4.545. и = а — Ь вЂ” единица алгебры А.

4.547. См. таблипу: 4.548. а) Нет; б) да. 4.549. р — д — т. 4.550, О, г'С, РСи и ГС(1 — и), где и = †. 4.553. а + Ь вЂ” с. 4.552. а = 1, Д = О, 'у = О б = 1. 1+д 2 ) 4.556. а) -1 + 24 + 4у + ЗЬ; б) -4 — 41 + 2у; в) — 512(1 + 1 + у + Ь); 1 1, 1 г) — (3 — 21 + у). 4.558. а) Нет решений; б) х = -(1 + у)Ь-(1 — 1) = 14 2 2 = -(1 + 1 — у + Ь); в) х = р1 + 1у + бй, где Дэ + уэ + бэ = 1. 4 1,, 1, 4.559.

х = -(2 — 21+ у), у = -(1 — у' + 2Й). 4.560. Нельзя, так как Ц фу(. 4.561. К. .