341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 2

К задачам, номера которых помечены соответственно одной или двумя звездочками, указания или решения даются в разделе «Ответы и указания«. Глава 1 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В 1. Векторная алгебра 1. Линейные операции над вектаржин. Вектором (геометрическим вектором) а называется множество всех направленных отрезков, имеющих одинаковую длину и направление. 0 всяком отрезке АВ из етого множества говорят, что он представляет вектор а (получен приложением вектора а к точас А). Длина отрезка АЕ) называется длиной (модулем) вектора а и обозначается сим- л волом (а) = (Ат»1. Вектор нулевой длины ь называется нулевым вектором и обозначается символом О.

Векторы а и Ь называются ровными а+в (а = Ь), если множества представляющих их направленных отрезков совпадают. Рис. 1 В ряде задач часто бывает удобно не различать вектор и какой-либо представляющий его направленный отрезок. Именно в атом смысле, например, слсдует понимать выражение »построить вектор». Пусть направленный отрезок А»» представляет вектор а, Приложив к точке В заданный вектор Ь, получим некоторый направленный отреаок ВС.

Вектор, представляемый направленным отрезком А»~, называется суммой векторов а и Ь н обозначается а+ Ь (рис. 1). Произведением вектора а на действительное число Л называется вектор, обозначаемый Ла, такой, что: 1) (Ла( = (Л( (а(; 2) векторы а и Ла сонаправлены при Л ) О и противоположно направлены при Л < О. 1,1. Доказать, что операция сложения векторов обладает следующими свойствами: а) а+О=а; б) а1 + аз = аз + аг (коммутативность); в) а1 + (аз + аз) = (а1+ аз) + аз (ассоциативностпь); г) да В) Ь (а+ Ь = 0) (вектор Ь называется вектором, противоположным вектору а, и обозначается символом -а); 3 Гл.

1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия д) Чаи аг Э! аз (а~ + аз = аг) (вектор аз называется ровностями векторов аг и а~ и обозначается символом яг — а~) 1,2. Доиазать равенства: а) -а= (-1)а; б) аг — аг = аг+ ( — аг); в) а = ~а~но, где ао — ори вектора а, т.е. вектор единичной длины, сонаправленный с велтором а (а ф О). 1.3. В параллелепипеде АВСВА'В'С'В' векторы нт, п, р представлены ребрами АЗ, АВ, АА' соответственно.

Построить векторы: 1 1 1 а) гп+и+р; б) -гн+ -и — р; в) — иг — и+ -р. 2 2 2 1 1.4. Даны векторы аг и аг. Построить векторы Зйм — аг, а~ + 1 + 2аг — а~ — аг. ' 2 1.5. Доказать, что: а) операция умножения веитора на число обладает следующими свойствами: Оа = ЛО = О, (ЛтЛг)а = Л~(Лга); б) операции сложения векторов и умножения их на числа связаны следующими двумя свойствами дистриброгивяости: Л(а~ + аг) = Ла~+ Ляг и (Лс+ Лг)а= Лга+ Лга. 1.6.

Доказать равенства: 1 1 а) а+ — (Ь вЂ” а) = — (а+Ь); 2 2 1 1 б) а — — (и+ Ь) = -(а — Ь). 2 2 Каков их геометрический смысл? 1.7. Аг1, ВВ и Сг'" — медианы треугольника АВС. Доказать равенство АМ + ВВ + Сг = О. 1.8. АФ и Влт — медианы треугольнииа АВС. Выразить через р = АФ и с1 = ВМ векторы АВ, В с: и СА. 1.9. В параллелограмме АВСВ обозначены: Ат1 = а, АВ = Ь. Выразить через а и Ь веиторы МА, МВ, Мд и МВ, где М— точка пересечения диагоналей параллелограмма. 1. Векторная алгеб а 1.10.

В треугольнике АВС АМ = оА.В и СФ = 1УСЛ$. Полагая АЗ = а и АС = Ь, выразить АУ и ЗЛУ через векторы а и Ь. 1,11. АВСРЕŠ— правильный шестиугольник, причем АВ = , В(.' = с1. Выразить через р и с1 векторы С1л, РФ, Ег', г'А, А, АВи АЕ. 1112. М вЂ” точка пересечения медиан треугольника АВС, О— произвольная точка пространства. Доказать равенство ОЛт" = -'(ОА+ ОВ+ Од). 3 1.13. В пространстве заданы треугольники АВС и А'В'С'; М и М' — точки пепесечения их медиан. Выразить вектор ММ' через векторы АА', ВВ' и С '.

1.14. Точки Е и Р— середины сторон АР и ВС четырех— ~ 1 угольника АВСР. Доказать, что Е~' = -(А.о + РС). Вывести 2 отсюда теорему о средней линии трапеции. 1.15. В трапеции АВСР отношение длины основания АР к длине основания ВС равно Л. Полагая АС = а и ВлЛ = Ь, выразить через а н Ь векторы АЯ, ВИ Слл и Р А 1.16. В треугольнике АВС АЛл = оАЗ и АМ = ~ЗАС. а) При каком соотношении между а и Д векторы МФ и Вд коллинеарны. б) Пусть о и ф таковы, что векторы ММ и ВС неколлинсарны.

Полагая Вд = р и МУ = с1, выразить векторы АВ и АС через р и с1. Система векторов ам ..., а1 называется линейно зависимой, если существуют числа Лм ..., Л„такие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и Л|а~ +... + Л„а„= О. В противном случае система называется линейно независимой.

1.17. Доказать следующие геометрические критерии линейной зависимости: а) система а1,аз линейно зависима в том и только в том случае, когда векторы а1 и аз коллинеарны, т.е. их направления совпадают или противоположны; б) система а1, аз, аз линейно зависима в том и только в том случае, когда векторы а1, ат и аз ко,ннланарны, т. е.

параллельны некоторой плоскости; в) всякая система из и > 4 векторов линейно зависима. '10 Гл. 1. Векторная алгебра я анзлятлческая геометрия 1.1Б, На стороне АР параллелограмма АВСР отложен вектор =1 1 — З АК длины (АК ! = — )АЦ, а на диагонали АС вЂ” вектор Аь длины 5 — 1 — х )Аь( = — (Аг4. Доказать, что векторы К1 и ХМ коллинеарны и б найти Л такое, что К1 = Л Х.Й. 1.19. Разложить вектор з = а+ Ь+ с по трем некомпланарным векторам: 1з = а+ Ь вЂ” 2с, с) = а — Ъ, г = 2Ь+ Зс. 1.20 Найти линейную зависимость между данными четырьмя некомпланарными векторами: р = а+ Ь, с) = Ь вЂ” с, г = а — Ь+ с, 1 в =Ь+ — с.

2 1,21. Даны четыре вектора а, Ъ, с, с). Вычислить их сумму, если известно, что а+ Ь + с = ай, Ь + с + Й = 1за и векторы а, Ь, с некомпланарны. 1.22, Доказать, что для любых заданных векторов а, Ь и с векторы а+ Ь, Ь + с и с — а компланарны. 1.23. Даны три некомпланарных вектора а, Ь и с. Доказать, что векторы а+ 2Ь вЂ” с, За — Ь+ с, — а+ 5Ь вЂ” Зс компланарны. 1.24. Даны три некомпланарных вектора а, Ь и с.

Вычислить значения Л, при которых векторы Ла+Ь+с, а+ЛЬ+с, а+Ь+Лс компланарны. 1.25, Даны три некомпланарных вектора а, Ь и с. Вычислить значения Л и )з, при которых векторы Ла+ )зЬ + с и а+ ЛЬ+ ззс колли неарны. 2. Бааис и координаты вектора. Упорядоченная тройка иекомплакаркых векторов ем ез, ез называется базисом в множестве всех геометрических векторов. Всякий геометрический вектор а может быть единственным образом представлен в виде а = Хзез + Хзез + Хзез числа Хз, Хз, Хз называются координатами вектора а в базисе 21 = = (ез, ез, ез).

Запись (1) называют также разложением вектора а по базису Ж. Аналогично, упорядоченная пара ем ез кеколлинеариых векторов называется базисом л) = (ем ез) в множестве геометрических векторов, компланарных некоторой плоскости. Наконец, всякий ненулевой вектор е образует базис тз = (е) в множестве всех геометрических векторов, колликеарных некоторому направлению. Если вектор а есть линейная комбинация векторов ам ..., а„с коэффициентами Лм ..., Л„, т.е. 1.

Векто ная алгеб а то каждая координата Х;(а) вектора а равна сумме произведений коэффициентов Лы ..., Л„на одноименные координаты векторов аы ... а 7 И и Х;(а) = У ЛвХ,(аэ), 1= 1, 2, 3. э=1 Базис З = (ем ег, еэ) называется прямоугольник, если векторы ем ег и еэ попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом случае приняты обозначения ег =1, ег =з ез =1с. (2) Пуоекцисб вектора а па вектор е называется число пр,а = (а! соыр, где = (а, е) — угол между векторами а и е (О < ~р < я).

оординаты Х, У, Я вектора а в прямауголъном базисе совпадают с проекциями вектора а на базисные орты(, 1, (с соответственно, а длина вектора а равна (3) Числа Х соз о = соз (а, 1) = Х +1 +гг' У х' ~ л ~ г' ° д= (,1)= г соэ'у = соэ(а, 1с) = Хг+уг+Вг называются направляющими косинусами вектора а. Направлянгщие косинусы вектора совпадают с координатами (про- 1 екцнями) его орта ао —— — а. (а( 1.26.

Задан тетраэдр ОАВС. В базисе из ребер ОА, ОВ и ОС найти координаты: а) вектора Рг~~, где Р и Š— середины ребер ОМ и ВИ; б) вектора Ог", где Р— точка пересечения медиан основания АВС. 1.27. В тетраэдре ОАВС медиана АЬ грани АВС делится точкой М в отношении 1АЙ(: (Мг ( = 3: 7. Найти координаты вектора ОМ в базисе из ребер ОА, ОИ, ОИ. 1.28. Вне плоскости параллелог амма АВСР взята точка О. В базисе из векторов ОА, Огг и ОС найти координаты: а) вектора ОЯ, где М вЂ” точка пересечения диагоналей параллелограмма; б) вектора Огт", где К вЂ” середина стороны АР. 12 Гл. 1, Векторлал алгебра к алалкткческая геометрия 1.29. В трапеции АВСР известно отношение длин оснований: = Л. Найти координаты вектора СМ в базисе из векторов ~АВ( ~Ж! А1) и АВ.

1.30. В треугольнике АВС АЙ = оАМ, АФ = ~3АС (а, ~3 ~ ф О, 1; а~у ~ 1), Π— точка пересечения СМ и ВУт'. В базисе из векторов ОЯ и ОМ найти координаты: а)'* вектора ОА; б) векторов АВ, ВИ и СА. 1.31. В треугольнике АВС АК = аА.В, ВМ = ~ЗВАЛ, Сг' = = уСА. Пусть Р, Я и Л вЂ” точки пересечения прямых ВР и СК, СК и АМ, АМ и ВР соответственно. В базисе из векторов АМ и АС найти координаты векторов АР, В~~ и СЯ.

1.32. Дан правильный пятиугольник АВСРЕ. В базисе из векторов АВ и АВ найти координаты: а) векторов АС и АВ; б) векторов Вд, СР и РВ. 1.33. Дан треугольник АВС, АМ = — АВ, АЛ = -АС. Пря- 3 ' 2 мая МРУ пересекает ВС в точке К. а Найти координаты вектора АК в базисе из векторов АМ иА б) Доказать, что векторы р = АВ + КМ, с1 = Вд + МХ~ и г = СА + Мг1 коллинеарны и определить коэффициент у в равенстве р = ус1. 1.34. В тетраэдре АВСР РМ вЂ” медиана грани ВСР и Я— центр масс этой грани.

Найти координаты векторов И$ и А~) в базисе АВ, АС и АМ. В дальнейшем, если не оговаривается противное, векторы представлены своими координатами в некотором прямоугольном базисе. Запись а = (Х, У, Я) оаиачает, что координаты вектора а равны Х, У н Я, т.е. а = Х1+ У) + Лс. 1.35. Заданы векторы а1 = ( — 1, 2, О), аз = (3, 1, 1), аз = 1 = (2, О, 1) и а = а~ — 2аз + -аз. Вычислить: 3 а) )а~ ~ и координаты арта а~ о вектора а1; 1. Векторнал алгеб а 13 б) соа (а»,,1); в) координату Х вектора а; г) пр а.