341_1- Сборник задач по математике для втузов. В 4-х ч. Ч.1_ (ред) Ефимов А.В, Поспелов А.С_2001 -288с (Ефимов, Поспелов - Сборник задач по математике), страница 10

)М) Тогда множество точек М, удовлетворяющих условию р(М, Р) х2 у2 = сопв$ = е > 1, есть гипербола — — — = 1, где а = ое и о2 52 оз = с2 — аз 9~ 1.272. Убедившись, что точка М вЂ” 5, — ) лежит на гиперболе хз — — — = 1, найти фокальныс радиусы этой точки и ес расстояния 16 9 до директрис, х2 у2 1.273. Найти точки гиперболы — — — = 1, находящиеся на 9 16 расстоянии 7 от фокуса г1. 3, К явые на плоскости 49 1.274.

Написать уравнение гиперболы, если известно, что ее фокусами являются точки Гг( — 3, -4) и г2(3, 4), а расстояние между директрисами равно 3,6. 1.275. Написать уравнение гиперболы, если известны ее эксцснтриситет е = Я, фокус г'"(2, — 3) и уравнение соответствующей директрисы Зх — 9+ 3 = О. 1,276. Показать, что кривая, заданная уравнением ху = 1 или 1 9 = —, есть равносторонняя гипербола.

Написать ее каноническое х' уравнение, найти эксцентриситет, фокусы и уравнения директрис. х 9 1.277*. Написать уравнение касательной к гиперболе — — — = а2 52 = 1 в ее точке Мо(хо, уо) х 9 1.278. Составить уравнения касательных к гиперболе — — — = 16 64 = 1, параллельных прямой 10х — Зу + 9 = О. х2 1.279. Составить уравнения касательных к гиперболе — — — = 20 5 = 1, перпендикулярных прямой 4х + Зу — 7 = О. х2 92 ° 1,280. Доказать, что касательные к гиперболе — — —, = 1, про- о2 веденные через концы одного н того же диаметра, параллельны. 1,281. Написать уравнения касательных, пРоведенных из то*пги.4( — 1, -7) к гипеРболе У,гм го х — у =16. 2 2 мгх, у> х2 92 1.282. На гиперболе — — — = 1 найти р 24 18 точку Мо, ближайшую к прямой Зх+ 2у+ 1 = = О, и вычислить расстояние от точки Мо до атой прямой.

1.283. Доказать,что касательная к гиперболе в ее произвольной точке М составляет уу равные углы с фокальными радиус-векторами ГГЛ2 и Гзд'.Г этой точки. Рис, о 2 2 1.284*. Из правого фокуса гиперболы — — — = 1 под углом 3 5 4 гт (гг с сг < -гг) к оси Ох направлен луч света причем сбег = 2. 2 7 Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от гиперболы. Парабола с каноническим уравнением дт = 2рх, р > О, имеет форму, изображенную на рис, 6. 50 Гл.

1. Векториая елгеб и аналитическая геометрия Число р называется яарометлром параболы, точка Π— ее ееротиноб, а ось Ох — осью параболы. Точка Г ~-, О) называется фокусом параболы, вектор г'5т — фогр нольным радиус-вектором, а число т = ~М~ — фекальным радиусом точки М параболы. Прямая Рч х = — — перпендикулярная оси и проходящая на рассто. р 2' янин — от вершины параболы, называется ее диреншрисой. 2 1.285. Построить следующие параболы и найти их параметры: а) уз =бх; б) х2= 59; в) у2 = — 4х; г) х2 = — у.

1.286. Написать уравнение параболы с вершиной в начале ко- ординат, если известно,что: а) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично 1 относительно оси Ох и р = —. 2' б) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку М(4, -8); в) фокус параболы находится в тачке и'(О, — 3). 1.287. Написать уравнение параболы, если известно, что вер- шина ее находится в точке А(хо, уо), параметр равен р, ось па- раллельна оси Ох н парабола расположена относительно прямой х = хо: а) в правой полуплоскости; б) в левой полуплоскости. 1.288. Установить, что каждое из следующих уравнений опре- деляет параболу, найти координаты ее вершины А и величину параметра р: а) у2=4х — 8; б) х2=2 — у; 2 в) у = 4х2 — 8х+ 7; г) д = --х2+ 2х — 7; д) х = — — у2 + у; е) х = 292 — 12у+ 14, 4 1.289.

Доказать следующие утверждения: а) Если М(х, у) — произвольная точка параболы у2 = 2рх, г(М) — ее фокальный радиус, а р(М, Р) — расстояние от точки М до директрисы (см. рис. 6), то выполняется равенство г(М) р(М, Р) 3 3. Кривые на плоскости 51 б) Пусть заданы точка Р ~-, 0) и прямая 11: х = — —. То/р р ~2' ) 2 (Л$( гда множество точек М, удовлетворяющих условию р(м, в) = сопэс = 1, есть парабола у~ = 2рх. 1.290. Вычислить фокальный радиус точки М параболы уз = = 12х, если у(М) = 6.

1.291, Написать уравнение параболы, если известны: а) фокус Р'(4, 3) и директриса 11: у + 1 = О; б) фокус Г(2, — 1) и директриса 11: х — у — 1 = О. 1.292. Написать уравнение касательной к параболе у~ = 2рх в ее точке Мо(хо Уо) 1.293. Написать уравнение касательной к параболе у~ = 8х, параллельной прямой 2х + 2У вЂ” 3 = О. 1.294. Написать уравнение касательной к параболе х~ = 16У, перпендикулярной прямой 2х + 4у + 7 = О. 1.295. Написать уравнения касательных к параболе у~ = Збх, проведенных из точки А(2, 9). 1.296. На параболе уз = 64х найти точку Мо, ближайшую к ррямой 4х + Зу — 14 = О, и вычислить расстояние от точки Мо до этой прямой. 1.297. Доказать, что касательная к параболе в ее произвольной точке М составляет равные углы с фокальным радиус-вектором точки М и с лучом, исходящим из точки М и сонаправлснным с осью параболы, 1.298.

Из фокуса параболы у~ = 12х под острым углом а к оси 3 Ох направлен луч света, причем Сба = —. Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы. 3. Уравнение кривой в полярной системе координат. Говорят, что на плоскости введена полярная система координат (О, и), если заданы: 1) некоторая тачка О, называемая полюсом; 2) некоторый луч и, исходящий кз точки О и называемый полярной осью, Полярны(ни координатами точки М ф О называются два числа: по- ллрныо радиус г(М) = (ОМ! > 0 и полярный Угол у(Ы) - — угол, на который следует повернуть ось и для того, чтобы ее направление совпало с направлением вектора Овт' (пря этом, нак обычно, у(М) > О, если поворот осуществляется против часовой стрелки, н р(М) ( О в против- ном случае).

Запись М(г, у) означает, чта тачка М выест полярные координаты г я у. Полярный угол у(М) имеет бесконечна иного возможных значений (отличающихся друг ат друга на величину вида 2тп, и 6 Ж). Значение 52 Гл, 1. Векторнал адгеб а и аналитическая геомет ия полярного угла, удовлетворяющее условию О < у < 2х, называется главкы и. В некоторых случаях главным значением полярного угла называк»т значение у, удовлетворяющее условию -х < у < в.. Пусть на плоскости введены правая декартова прямоугольная система координат Оху (т. е. такая, что кратчайший поворот от аси Ох к оси Оу происходит против часовой стрелки) и полярная система (О, и), причем полярная ась совпадает с положительной полуосью абсцисс. Тогда связь между декартовыми прямоугольными и полярными координатами произвольной точки М у О дается формулами х = тсову, у = тв1пу; т = »'хэ+рэ, Сбу = —. (8) У х Уравнение кривой в полярных координатах имеет вид Р(т, у) = О или т = у(у).

Оно может быть получено либо непосредственна, исходя иа геометрических свойств кривой, либо переходом к полярным координатам в уравнении этой кривой, заданном в декартовых прямоугольных координатах. Пример 2. Построить кривую, заданную уравнением т = бсаву. О Прежде всего заметим следующее: если тачка М(т, у) принадлежит заданной кривой, то для этой точки сову = — > О, и, следовательно, вся 6 кривая расположена в секторе -- < у < †. 2 2 Для тога чтобы построить кривую, перейдем в ее уравнении к декартовым координатам. Умножив обе части уравнения т = 6 саву на т, получаем тэ = бт саву, откуда на основании формул перехода (8) имеем хэ + дэ = бх, или (х — 3)э + рэ = 9. Таким образом, заданная кривая— окружность радиуса 3 с центром в точке Ма с координатами ха = 3, уа=Оилита=3 'ра=О ~> тсовусавп+ та!пув1пп — р = О, гсов (у с») = Р или т= р сав (у — и) (9) Пример 3.

Вывести уравнение прямой в полярной системе координат. < Если прямая Ь проходит через полюс и ее угловой коэффициент по отношению к полярной оси равен к, то уравнение этой прямой имеет вид сбр=1. Пусть теперь прямая А не проходит через полюс. Напишем нормальное уравнение этой прямой в декартовой прямоугольной системе координат хаааа+ рсав)» — р = О и перейдем в этом уравнении к полярным координатам. Получаем (учитывая, что сав,б = жп а): 3.

Кривые на плоскости 53 Уравнение (9) и есть искомое уравнение прямой в полярной системе координат. Оно может быть получено и непосредственно из следующего очевидного факта: М Е Ь сФ пр„г = г соз (у — а) = сопэФ = р (рис. 7). Р Рис. 7 Ркс. 8 Пример 4. Пусть à — эллипс, ветвь гиперболы или парабола, Р— фокус этой кривой, Π— соответствующая директриса. Вывести уравнение кривой Г в полярной системе координат, полюс которой совпадает с фокусом, а полярная ось сонаправлена с осью кривой (рис. 8). 0 Общее свойство эллипса, гиперболы н параболы состоит в следующем (см.

задачи 1.251, 1.270 и 1.289): Ф М ЕГО =сопэФ=е, р(М, г') (10) где с — эксцентриситет кривой (е < 1 для эллипса, е > 1 для гиперболы и е = 1 для параболы). Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через — (р — парар е метр кривой, называемый полуфокальным диаметром). Тогда из рис. 8 следует, что р(М, Е) = г и р(М, 0) = — + г соз ~р. Подставляя эти =р е выражения в (10), получаем р/е+ гсоз~о откуда р T = 1 — е соэ <р (и) 1.300. у = 1. 1302. хг+уг пг 1.304.