Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы!, страница 9

Хотя и в этом случае, как увидим ниже, брусок должен деформироваться, но деформация чрезвычайно мала, и оптическая установка ее не обнару- 8 живает. В ряде задач мы можем Х вместо реального тела рассмат- о ривать некоторую физическую абстракцию — абсолютно недеформируемое, или абсолютно Рнс. 20. закруанаанне стального твердое, тело. бруска рукой.

Абсолютно твердое тело— воображаемое тело, в котором расстояние между любыми двумя точками остается постоянным во все время движения. При поступательном движении абсолютно твердого тела все его точки испытывают одинаковые перемещения, обладая одинаковыми скоростями и ускорениями. Прямая, соединяющая две произвольные его точки, перемещается параллельно самой себе.

Надо заметить, что поступательное движение не обязательно прямолинейно. На рисунке 21 показан пример поступательного криволинейного движения. Существенно, что для характеристики поступательного движения твердого тела в целом достаточно знать движение какой- либо одной его точки. Поэтому для кинематического изучения поступательного движения абсолютно твердого тела мы можем пользоваться методами, разработанными в кинематике материальной точки. При вращательном движении тела его точки описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, являющейся осью вращения.

Точки, лежащие на осн вращения, остаются неподвижными. В общем случае тело может участвовать одновременно в двух движениях: поступательном и вращательном. Сложное движение совершают, например, точки колес экипажа, ступня велосипедиста, нажимающего педаль, и т. п. (если движение рассматривается в сис- 41 Рис. 22„Угловое переие- птение, Рис. 21, «Чертово» колесо (нриволииеаиое поступательное движение). некоторой плоскости, в которой лежат ось вращения и произвольная точка тела А (рис. 22). Угол «р, на который поворачивается вместе с телом плоскость за время т', называется угловым перемещением тела.

Так как недеформнрующееся тело вращается как целое,то величина углового перемещения не зависит от выбора точки А и является кинематической характеристикой движения тела в целом. Если угловые перемещения тела б«р за произвольные равные промежутки времени М одинаковы, то вращение называется равномерным. При неравномерном вращении угловые перемещения тел Йр в произвольные одинаковые промежутки времени М различны.

ар Предел, к которому стремится отношение —, при безграничном Я2 теме отсчета, связанной с Землей; относительно системы отсчета, жестко связанной с экипажем, точки колес или ступни велосипедиста участвуют только во вращательном движении). В этой главе мы изучим вращательное движение абсолютно твердого тела. Примем во внимание, что в результате отсутствия деформаций все точки абсолютно твердого тела, лежащие в некоторой плоскости, проведенной через ось вращения, во все время движения остаются в той же плоскости. Зафиксируем в момент времени г = О положение уменьшении промежутка времени Лг', называется мгновенной угловой скоростью тела или просто угловой скоростью: ш = Иш — в = —, (2.37) и-о Ь« ~й ' где ~р задано как функция времени.

В случае равномерного вращения тела угловая скоростьг ьэ (2.38) где ~р — угловое перемещение, совершенное телом за любой конечный промежуток времени й Величина угловой скорости, как и угловое перемещение,— характеристика движения тела как целого. Очевидно, понятия углового перемещения и угловой скорости имеют смысл толькодлятела конечных размеров и неприменимы к материальной точке.

Ког. да же говорят «угловое перемещение», «угловая скорость точки», то имеют в виду перемещение и скорость поворота радиуса, проведенного от оси вращения к данной точке, т. е. системы точек, лежащих на этом радиусе. За единицу угловой скорости принимают такую скорость вращения, при которой тело за одну секунду поворачивается на угол в 1 один радиан.

Зту единицу обозначают так: —, или сгк '. Найдем связь между угловой скоростью вращения тела и линейной скоростью его отдельных точек. Возьмем произвольную точку тела. Пусть радиус окружности, которую точка описывает вокруг оси, равен г. За промежуток времени Лг радиус повернется на угол Ьу, который можно измерить дугой окружности Лз, пройденной при этом точкой: аа = гну. (2.39) Разделим правую и левую части равенства (2.39) на М.

При переходе к пределу (при йт — О) получим: в«вт — =г —, (2.40) Й~ Ж' или о = гь, (2.41) Линейная скорость тонка вращающегося тела пропорциональна радиусу окружности, опись«ваемой данной тонкой, и угловой скорости вращения тела, При неравномерном вращательном движении быстрота изменения угловой скорости характеризуется угловым ускорением: Лн во «=- Йп (2.42) ь~-о Ь~ щ или (2.43) «З (2.45) 4 з. уГлОВАя скОРОсть и уГлОВОе ускОРение кАк ВектОРы. СВЯЗЬ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ УГЛОВОЙ И ЛИНЕЙНОЙ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ДЛЯ ТЕЛА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ Для полной характеристики вращательного движения тела недостаточно знать величины углового перемещения, угловой скорости и ускорения.

Необходимо указать еще положение в пространстве оси вращения, Так как все точки тела вращаются в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, то тем самым будет определено положениетраекторий (окружностей), по которым движутся точки тела. Наконец, должно быть указано направление вращения. Единица углового ускорения определяется в соответствии с уравнением (2.42) как отношение единицы угловой скорости к единице 1 времени. Ее обозначают: †„„ или сек '.

Найдем связь между линейным ускорением произвольной точки вращающегося тела и характеристиками вращательного движения. Как мы установили ранее, каждая материальная точка, движущаяся по окружности радиуса г, обладает центростремительее ным ускорением 1„= — . Подставив в зто выражение значение линейной скорости из формулы (2.41), получим: щи (2.44) Величина тангенциального ускорения: ле л 1,= — = — ( г). Ж Й Так как для данной точки г = сопз1, то йо 1, =г — =ге. щ Величина полного ускорения: 1=) )„'+1;=гр'-*+а. (2. 46) Составим отношение /, к /„: (кр = (2.47) !и Оно не зависит от г, т. е. угол, который образует вектор полного ускорения с радиусами, проведенными от оси вращения к различным точкам тела, имеет в данный момент времени одно и то же значение для всех точек тела. Зададим угловую скорость в виде вектора, численно равного величине угловой скорости и отложенного по оси вращения в таком направлении, что, глядя с его конца на какую-либо точку вращающегося тела, мы увидим ее движущейся против хода часовой стрелки.

Другими словами, направление вектора угловой скорости связано с направлением вращения правилом буравчика: вектор углавой скорости откладывается по оси вращения в направлении поступательного движения острия буравчика, когда рукоятка его вращается в направлении вращения тела (рис. 23). Начало вектора го может быть помещено в любой точке осн с з Л вращения, т. е. вектор угловой ~К от скорости — скользящий вектор. Для проверки предположения о векторном характере угловой скорости произведем следующий опыт. На центробежной машине (рис. 24) установим шар, ось которого наклонена к оси вра- Рнс.

23. Вектор угловой щения центробежной машины. Шар может одновременно участвовать во вращении вокруг собственной оси ОО и вокруг оси центробежной машины О'О'. Для того чтобы сделать видимым положение плоскостей, в которых происходит вращение, на шаре нанесены о, Рнс. 24. Лемонстрвцня сложення угловых скоростей нв центробежной мешнне. крупные точки. При вращении они прочерчивают линии, лежащие в плоскости вращения и перпендикулярные оси вращения. Последовательно приводя шар во вращение вокруг оси ОО н О'0', а затем одновременно вокруг обеих осей, мы увидим, что в последнем случае ось результирующего вращения занимает положение между осями 00 н 0'0'.

Конечно, этот опыт дает лишь некоторое качественное подтверждение того, что угловая скорость— векторная величина. Строго говоря, необходимо убев диться в возможности сло- ~~\ в ження векторов угловон скорости, заданных вышеуказанным способом, по правилу параллелограмма. Рнс. 25. Схема сложения угловых сноросте». нием скоростей в, и оЧ.

.э. Таким образом, вектор угловой скорости ы численно равен величине угловой скорости, лежит на оси вращения, и направление его связано с направлением вращения правилом буравчика. Положим, точка участвует в двух вращательных движениях с угловыми скоростями о1, и сох (рис. 25). За малый промежуток времени И точка переместится, участвуя в первом вращении, на отрезок дуги АБ, участвуя во втором, — на отрезок дуги БВ. Очевидно, эти два перемещения эквивалентны перемещению по малой дуге АВ.

Если промежуток времени М достаточно мал, то дуговые перемещения настолько малы, что нх можно приближенно заменить отрезками хорд АБ = Лзь БВ = Лэх, АВ = Лвх и считать (также приближенно) лежащими в одной плоскости, т. е. достаточно малые дуговые перемещения, и только малые, могут считаться векторами (так как в указанном приближении они подчиняются правилу сложения векторов). Отложим на осях вращения ОА' и ОБ' векторы угловых скоростей Оа = го1 н Об = сох. Длины этих отрезков, очевидно, пропорциональны длинам перемещений Лэ, и Лв„ так как го,= — ', соя= — ', г = ОА = ОБ =ОВ.

ТреугольгМ гИ ники АБВ н Оав подобны, так как их углы (х.Оав и х'.ВБА) с пропорциональными сторонами (Оа и АБ, ав и БВ) равны. СлеАВ лн довательно, ОВ = — = —, н угловая скорость результигог гИ рующего вращения сое = — получается геометрическим сложеьм гЬЕ Вектор го в известном смысле условен, его направление зависит от нашего выбора. Если условиться откладывать вектор угловой скорости в противоположную сторону, то изменится только порядок математических операций с ним.

Поэтому его называют псевдовектором. При векторных вычислениях всегда нужно помнить о принятом его направлении. Поскольку угловая скорость — вектор, то приращение ее также вектор и, следовательно, вектором является угловое ускорение: ~Ъ е = —. (2.48) щ' Если ось вращения не изменяет положения в пространстве, то вектор углового ускорения лежит, как и вектор го, на оси.

При этом изменяется только величина вектора угловой скорости, а направление его остается неизмен- о' ным. Если угловая скорость возрастает, то векторы Лго и в направлены так же, как и вектор угловой скорости го, а если скорость вращения убывает, векторы Лго и е направлены противоположно вектору угловой скорости.