Не смотрите,что для педВУЗов.см на год(1965).Изучение начать с 6 страницы.Счастливой ботвы!, страница 8

15), отсекающая на осн скорости отрезок, равный в выбранном масштабе скорости о„и наклоненная к оси о времени под углом а = агс (д-. Расстояние, пройденное точкой за время 1, изобразится площадью фигуры ОАВС. В данном случае площадь равна: (о 4+ сн) О нег+ я 2 2 Но о= ос+а(, следовательно, ов "= ос+а( й дз = (о + а1) Ж. или 35 Интегрируя это выражение, получим: з = ~(аг+о,) Й = — +цф+С,. 2 (2.29) В выражение (2.29) входит произвольная постоянная, так как, интегрируя, мы нашли расстояние, которое тело прошло за время й ио не указали, от какого положения тела это расстояние отсчитйи валось нами. Чтобы сделать условие задачи определенным, надо задать вто- рое начальное условие.

Положим, при Т = О, з = О, т. е. в момент начала отсчета времени точка находилась в начале отсчета расстоя- ний. Подставив начальное условие в формулу (2.29), получаем: Сз = 0 и. следовательно, з = пэ(+ —" (2.30) 2 Таким образом, зная зависимость расстояния от времени, можно дифференцированием (аналитическим или графическим) вычислить скорость и ускорение, с которыми движется точка; и обратно, получив измерением ускорение или скорость, как функции времени, интегрироранием (аналитическим илн графическим)вычислить расстояние.

В последнем случае необходимо задать начальные условия, т. е. при вычислении скорости необходимо знать ее значение в какой-то определенный момент времени, а для вычисления расстояния — величину расстояния, пройденного точкой к определенному моменту. (Обычно момент времени берется совпадающим с началом счета времени. Поэтому и данные эти называются начальными условиями.) Необходимость задания начальных условий обусловлена вечностью н непрерывностью движения.

Наши наблюдения или расчеты могут обнаружить изменение состояния движения тела лишь начиная с некоторого момента, который мы только условно считаем началом движения. Задавая начальные условия, мы тем самым фиксируем это начальное состояние движения. 9 В. УСКОРЕННЕ ПРИ КРНВОЛИНЕННОМ ДВИЖЕНИИ. НОРМАЛЬНОЕ Н ТАНГЕНННАЛЬНОЕ УСКОРЕННЯ В общем случае криволинейного неравномерного движения скорость изменяется как по величине, так и по направлению. Полное ускорение, которым обладает движущаяся точка, определяет оба вида изменения скорости. Попытаемся найти его составляющие, одна из которых характеризует изменение только направления скорости, а другая — изменение величины ее. Рассмотрим криволинейное движение, при котором скорость постоянна по величине, ио изменяется по направлению, Пример 36 такого движения — равномерное движение точки по окружности (рис.

16). Пусть в двух близких точках А, и А, скорость имеет значения о, и о„которые отличаются только направлением (и, = оа). Век- торы о и па направлены по касательным к окружности, т. е. пер- пендикулярны радиусам ОА, и ОА,, проведенным к точкам касания. А, Перенесем вектор о, параллельно са- ге мому себе в точку А~ и, соединив концы т -ь ь векторов и, и п„получим приращение око-,' 5 ч рости Ьп„.

Угол, образованный векторами скорости нри точке А„ как видно из чер- р В па тежа, равен центральному углу Ьа, образованному радиусами ОАа и ОАг Из подобия треугольников В~А,Ва и АаОАа следует: ВеВе АеВ, АсА, ОА, Рис. 16. 11ентростремительное ускорение при равномерном двн. женин точки по окружности. или ао„о откуда Ьо» ое (2,31) Перейдем к пределу, уменьшая промежуток времени Ьг. При уменьшении Ьг точка Аа приближается к А,, и в пределе они сливаются. Так как величина (модуль) скорости по условию постоянна, так же как и радиус данной окружности )с, то правая часть равенства (2.31) — величина постоянная н, следовательно, Ло„ 1пп —" = 1„= —. а.е Ь1 " й' (2.32) Зт Вектор Ьп„составляетс направлениями о, и са некоторый неизвестный угол.

Однако в пределе (когда точки сливаются) угол 1ао' Ьа О, а л'.АаВ~Ва — =90'. Следовательно, в пределе ускорение 1„, совпадающее по направлению с Ьо„, перпендикулярно вектору скорости о, в точке А„или, что то же, направлено по радиусу окружности ОА,. Вектор )„всегда направлен внутрь окружности, так как направление движения меняется в сторону вогнутости кривой. Таким образом, при равномерном движении точки по окружности изменение направления скорости происходит при наличии ускорения Д, направленного перпендикулярно вектору скорости по радиусу к центру окружности. Это ускорение носит название центростремительного или нормального 1радиус окружности совпадает с нормалью кривой). Рассмотрим движение по произвольной плоской кривой. Выделим на траектории 1рис.

1?) малую дугу А/Аа, которую точка проходит за время /з/. Построим векАз торы о, и оз, которые теперь от/ личаются не только направлением, но и абсолютной величиной: 1 вас,в -р 3 / / / / / / ор ох+ Вм озава. Перенеся вектор оз в точку А„ построим вектор приращения скорости /зо. На отрезке А/В/, изображаютцем вектор о„, отложим отрезок А/В„равный по длине Рис. 17. УскоРение пРи криволи- вектору оз Отрезок В/В равен нейном движении. изменению величины модуля скорости за промежуток времени /з/, т. е.

В,В, = о, — оь Разложим вектор /ао на две составляюшне Ьо, и Ло„, из которых первая совпадает по направлению со скоростью о, и равна отрезку В,В, (изменению величины скорости), 'Ф + а вторая, равная разности векторов Ло — /зо„совпадает с отрезком Вв В,. Так как А,Ва = А,Вз, то легко видеть, что построение составляющей Ло„аналогично проделанному выше для случая равномерного движения по окружности. В математике доказывается, что весьма малую дугу любой плавной кривой можно заменить дугой окружности некоторого радиуса г. Окружность, которая в Рис.

18. Круг и радиус кривизны различны в разных точках кривой, пределе совпадает с бесконечно малой дугой произвольной кривой, называется кругом кривизны этой кривой в данной точке(имеется в виду точка, в которую в пределе стягивается малая дуга). Радиус этой окружности называется радиусом кривизны и аос . ыи 1пп — =7', = —, ы-о Ы Й (2.34) 1, — ускорение, направленное по касательной в данной точке траектории и численно равное производной от величины вектора скорости по времени, называется тангенциальным.

Таким образом, вектор полного ускорения 7' при криволинейном движении может быть разложен на центростремительное ускои~ рение, численно равное 1„ = †, направленное к центру кривизны г и изменяющее направление скорости, и тангенциальное ускорение, Ии численно равное 1, = —, направленное по касательной к траек. ш торин и изменяющее величину скорости. Численное значение полного вектора ускорения: (= .~/( — ")г ' ( — ')'. (23Ч Из рисунка 17 видно, что вектор полного ускорения в криволикейном движении всегда направлен внутрь траектории, так как 39 центр окружности — центром кривизны. Очевидно, в разных точках кривой круг кривизны, его радиус и центр различны (рис. 18). Вернемся к нашему чертежу. Будем уменьшать промежуток времени Ы, за который точка описывает дугу А,А,.

При этом дуга стягивается в точку, векторы п, и оз сближаются. По достижении некоторого, достаточно малого значения Лг' дуга А,А, станет настолько малой, что ее можно заменить дугой круга кривизны. С этого значения Лг' отношение Ло„к Лг станет приближенно равным дал ~Ма — — (что легко получить, рассматривая треугольники М А~ОАз и ВаА~В,). С переходом к пределу, когда точки А~ и Аз сливаются, скорость о, — ~ по угол а — 0 и угол А,В,Ви — 00 '. (2.88) ю о Ы Направлено центростремительное ускорение по радиусу кривизны в данной точке к центру круга кривизны. Так же как и при равномерном движении по окружности, центростремительное ускорение изменяет направление скорости, но теперь величина его зависит от радиуса кривизны и меняется вдоль траектории от точки к точке.

Вторая составляющая изменения скорости Ло,, направленная вдоль по в пределе равна разности величин скоростей о, н оз в двух сливающихся точках А, и Аз. Разделив Ло. на Л(и перейдя к пределу, получим: ' еЬ '4ь Ф тангенциальная составляющая ускорения направлена по касательной, а центростремительная — в сторону вогнутоок сти траектории вдоль радиуРФо са кривизны. Если скорость В ьФ фут ф оое, л со временем возрастает, век- Э вТ тор 1 составляет острый угол с направлением движения, если скорость уменьшается— Рис. !9. Вектор полного ускорения тупой. при криволинейном движении Направление вектора пол- ного ускорения может быть задано углом, который он образует либо с касательной, либо с радиусом кривизны (рис. 19): ! (2.36) !а В заключение отметим, что только прн равномерном обращении по окружности полное ускорение всегда направлено к одной точке — к центру кривизны и всегда нормально к траектории.

Если движение происходит по какой-то иной кривой, а полное ускорение все-таки направлено все время к одной и той же точке, то оно уже не во всех точках траектории нормально к ней, так как каждой точке кривой соответствуег свой круг кривизны. На некоторых участках траектории обязательно возникнет тангенциальная составляющая ускорения, которая изменит величину скорости. Например, искусственный спутник Земли, двигаясь по эллиптической орбите, должен проходить ее с переменной по величине скоростью, так как ускорение его всюду направлено к центру Земли.

$ 7. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА. УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ И УГЛОВОЕ УСКОРЕНИЕ Произведем следующий опыт. Зажмем вертикально в тиски стальной брусок а толщиной 1О мм и длиной 150 — 200 мм (рис. 20). На бруске укрепим два зеркальца б на разных расстояниях от его верхнего конца. Луч света, пройдя вертикальную щель и отражаясь от зеркал, как показано на рисунке, падает на дальнюю стенку аудитории. Закрутим верхний конец бруска пальцами. Зайчик на стене сместится от своего первоначального положения и разделится на две части. Для части„отраженной верхним зеркальцем, смещение больше, для части, отраженной нижним, — меньше.

Мы обнаружим при этом, во-первых, что стержень, который казался нам весьма твердым, можно закрутить сравнительно неболь. шим усилием, во-вторых, что части стержня закручиваются различно, т. е. стержень деформируется. Следовательно для изучения того, как движется стержень, надо изучитьдвижение всех его точек. Все окружающие нас тела способны при соответствующих условиях в большей или меньшей степени деформироваться. Однако для значительного класса тел и задач оказывается возможным отказаться от учета деформаций и рассматривать перемещение тела как целого. Так, если освободить нижний конец бруска и повернуть брусок, то световая черта переместится без заметного искривления.