Терлецкий Рыбаков Электродинамика, страница 9

В случае свободных зарядов, распределение которых мало меняется в пределах Л); можно заменить Еи В; на их средние (макроскопические) значения Е, В, так что из (13.8) с учетом (2.2) и (2.5) сразу вытекает (13.2). Однако в случае связанных зарядов их распределение существенно меняется уже в пределах одной поляризованной молекулы, так что подобную замену сделать нельзя и, следовательно, Г""*Фр""'Е+Д""В~/с. (13.9) Если обобщить соотношение (13.4), выражающее закон сохранения импульса, на случай электромагнитного поля в среде, т. е.

положить Г"" = Г+ Г"' = — ду/дг+ г(1у О, (13.10) то, согласно (13.9), выражения для Т и О будут уже отличаться от (13.5). Чтобы найти соответствующие изменения, необходимо вычислить Г""', т. е. плотность сил, действующих в электромагнитном поле на электрические и магнитные дипольные моменты молекул.

Но даже и в этом случае у и О, так же как я и Т, еще нельзя определить однозначно. Задача 13.2. Воспользовавгаись законом сохранения момента импульса, пока- зить, что тензор натяжений О должен быть симметричным, т. е. Ой=О»'. Задача 13.3. Рассчитать подьемную силу постоянного магнита, использовав тензор натяжений Максвелла. 42 й 14. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ Выясним теперь, как формулируется в электродинамике один из важнейших физических законов †зак сохранения энергии, и покажем, что электромагнитному полю, как и всякому другому материальному объекту, можно приписать энергию.

Рассмотрим электромагнитное поле в системе, состоящей из неподвижных проводников, диэлектриков и магнетиков, т. е. в среде, характеризуемой определенным образом распределенными и не зависящими от времени о(г), с(г) и 1г(г) или же соответствующими тензорами 6(г), й(г) и р(г) в анизотропной среде. Под действием силы (13.3) заряды в проводниках перемещаются и за 1 с поле совершает над каждым из них работу (Р, т, ), Плотность мощности, затрачиваемой на перемещение свободных зарядов, равна — '„>" (Г,г,)= — ,'> е,(г,Е,), ььи иьи т. е.

работа совершается только электрическн,и полем. (14.1) Задача !4.Е Как понять, что магнитное поле В может совершить работу над проводом с током или над железным шариком и в то же время не может излзенить знергию отдельного заряда? Р=ЩЕ) б) . (14.4) Преобразуем теперь ()Е), используя уравнения Максвелла (10.1): ()Е) = — (Е го! Н) — — Е— Учитывая, что (Е го! Н) =(Н го! Е) — с)!ч (ЕН), и используя урав- ь В присутствии сторонних сип, очевидно~ В=1 (Е+Е ")=У /о. В стационарной системе по закону сохранения энергии совершаемая полем работа будет рассеиваться в виде теплоты, т. е. выражение (14.1) должно представлять собой плотность выделяемой тепловой мощности г1.

Так как рассматриваются свободные заряды, то (см. з 13) можно заменить в (14.1) Е, на его макроскопическое значение Е. Тогда с учетом (2.5) найдем, что Ч =(ЗЕ). (14.2) Если же проводники подчиняются закону Ома, то Е) =аЕг уз/<т (14 3) Это дифференциальная форма закона Джоуля — Ленца, определяющего плотность тепловой мощности, выделяемой в проводящей среде*. Общее количество теплоты, выделяемое во всем объеме проводников за 1 с, равно пения второй группы (10.1), получаем ЦВ)- — ((Š— ) (Н вЂ” )) — Е1 ( — '~ЕН~~. О4.5) Если выполняется простейшая линейная связь 0 = вЕ, В = рН, где е, )г не зависят от времени (неподвижная среда), то (14.5) преобразуется к виду д =()Е) = — ди !ду — с)1у Б, (14.6) где ге= — 1(ЕР)+(ВН)], Б = — ( ЕН ).

(14.7) Подставляя (14.6) в (14.4), с учетом независимости поверхности о от времени находим (14.8) Последнее соотношение позволяет раскрыть физический смысл и и Б. В самом деле, так как левая часть (14.8) представляет собой работу за одну секунду, совершаемую электромагнитным полем в объеме )' над свободными зарядами, то, очевидно, правая часть (14.8) в соответствии с общим законом сохранения энергии должна быть связана с убылью энергии электромагнитного поля в объеме 1' или с притоком ее к этому объему. В частности, если рассмотреть стационарный процесс, когда дв/ду = О, то энергия электромагнитного поля в объеме )г не изменяется и джоулевы потери компенсируются притоком электромагнитной энергии извне.

Таким образом, мы убеждаемся, что вектор Я имеет смысл плотности потока электромагнитной энергии в среде. В другом частном случае, когда система не излучает и у(нЯ) с)о = О, выделение джоулева тепла связано с убылью энергии электромагнитного поля в объеме )г. Таким образом, и может быть интерпретирована как плотность энергии электромагнитного поля в среде*.

Теорема (14.6) впервые была доказана английским физиком Дэгс. Пойнтингом в 1884 г, и называется теоремой Пойнтинга, а Б — вектором Пойнтинга. Следует отметить, что теорема Пойнтинга является частным случаем более общей теоремы, * При этом очевидно, что только часть энергии и следует отнести собственно к электромагнитному подих другая гке часть ее запасается средой в виде энергии связанных зарядов и токов. Аналогичное замечание в общем случае справедливо и для вектора Я.

доказанной русским ученым Н. А. Умовым в 1874 г., т. е. раньше Пойнтинга, для любого вида энергии, распределенной в пространстве с некоторой плотностью ж. Умов впервые ввел в науку понят ие плотности потока энергии Б. В том случае, когда теплота не выделяется, дв1'д1+ йч Я =О, т. е. энергия ведет себя подобно распределенной субстанции, способной вытекать и втекать в заданный объем сквозь окружающую его поверхность.

Введенный Умовым вектор плотности потока энергии получил название вектора Умова. Поэтому вектор Пойнтинга для плотности потока электромагнитной энергии часто называют еще и вектором Умова--Пойнтинга. (14.9) Задача 14.2. Сфорльулироеать теорему 11ойнтинга нри наличии сторонних э.д.с, з 15. СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ Мы употребляли до сих пор абсолютную (гауссову) систему единиц СГС, основными механическими единицами которой являются сантиметр, грамм и секунда, а единица количества электричества определяется из закона Кулона (1.3).

Но главным в системе Гаусса является форма записи уравнений электромагнитного поля и выражения для силы, действующей на заряд: гог Н вЂ” — —.= — 1, йч В =4яр, 1 дп 4а. сьп с гоСЕ+- — =О, с1!чВ=О, 1дн с де 115.1) Пг аЕ, В=11Н, Е=е Е+-1чВ) 1дц 1. го1Н вЂ” — =-1, йчП=р, с де с 45 где с = 2,99792458 10'а см/с. Преиму1цеством этой системы является то, что уравнения имеют симметричный вид и содержат лишь одну размерную постоянную с, имеющую физический смысл скорости света в пустоте, и один безразмерный множитель 4я. Кроме того, в вакууме с = 11 = 1 и векторы индукций и напряженностей не различаются, что имеет простой физический смысл.

Хевисайд и Лоренц пользовались «рационализированной» системой Гаусса, в которой единицы количества электричества и силы тока выбраны так, что в основных уравнениях не содержится безразмерный коэффициент 4к. В системе Хевисайда— Лоренца уравнения поля и выражение для силы имеют вид гогЕ+- — =0 йчВ=О, !дВ с дс (! 5.2) 0=Е+Р=сЕ, В=Н+М=)4Н, Р=е Е+-)чВ3 причем для вакуума с=р=1.

Эта система отличается от системы Гаусса лишь тем, что в законы взаимодействия зарядов и токов входит множитель 1Я4я) [к примеру, закон Кулона имеет вид Р, = е,еД4ягз) ) и поэтому единица заряда в '4к раз меньше, чем в системе Гаусса. Соответственно единицы напряженностей полей в с 4к раз больше, так как сила, действующая на заряд в поле, имеет одинаковый вид в обеих системах. В последнее время в электро- и радиотехнике используется рационализированная система МКСА.

В ней, как видно из названия, используются основные единицы — метр, килограмм, секунда и ампер и, кроме того, из уравнений изгоняется коэффициент 4к (как это делали Хевисайд и Лоренц). Однако главное отличие этой системы состоит в том, что в уравнениях Максвелла отсутствует множитель с, но при этом для вакуума выбираются отличные от единицы с и р, т. е. векторы напряженностей и индукций различаются между собой.

В качестве единиц количества электричества, силы тока и напряжения выбираются соответственно кулон, ампер и вольт (так как они взаимозависимы, то достаточно выбрать лишь одну из этих единиц, например кулон). Вместо (15.1) в рационализированной системе МКСА имеем: гогН вЂ” —.=1, йч0=р, госЕ+ —.=О, йчВ=О, дн дв 15. 3 ( ) 0=соЕ+Р Н=ро В М, Р=е1Е+'1чВ]). Чтобы выразить Е, 0, В, Н, 1, р через соответствующие величины Е„, 0„В„, Н„)„р„в системе Гаусса, т. е.

найти коэффициенты в уравнениях г,=!!г, т,=Мт, е„=Де, Е,=эЕ, 0,=А), В,=ЬВ, Н,=АН, ч„=Яч, р„=Яр/Я~, ),=р,ч„=Я/Я~, с,=Яс, где т — масса заряженной частицы, перепишем (15.!) в новых единицах и приведем к виду !15.3), выбрав для этого соответ- ствующие коэффициенты э, с1, Ь, й и считая, что Я = 10~; М = 1Оз; Д =2 997 924 580. 46 Уравнения первой группы для вакуума в новых единицах примут вид Ьго!Н вЂ” — — = — —,1, с!дн 4и !2 .

сдс ся'' Ис)(цР=4п —,р, сЛЭ=эЕ, !2 (15.4) ЬН=ЬВ, Е= ~' эЕ+-'~ В~ . Чтобы (15.4) было эквивалентно (15.3), необходимо положить: сЬ/с(=1, Я~сп(4кД)=1; сэ/Ь=1„ (15.5) МЯЯДэ)=1; е =э/Ы; !ь =Ь~Ь. Подставляя с = 299 792 458 м/с и указанные выше значения Я, М и Д в (15.5), получаем: э '=29 979,2458; Ь=10» м/с; Ь=4к 10 э с/м; а=4к 299 792,458; с '=40к(29 979,2458)'; р =4к 1О ' с'1м'. Таким образом, в рационализированной системе МКСА выполняется соотношение сор =!/с~. Задача !5.!. Построить систему единиц деКС на основе уравнений (!5.2) при в=!ь=! дяя вакуума. СТАЦИОНАРНЫЕ ПОЛЯ Стационарные электромагнитные поля, т.

е. поля, не изменяющоеся со временем, поддаются наиболее полному опосанию о чаще всего встречаются на практике. Для решения соответствующих задач электростатике и магнитостатико было разработаны эффектовные математическое методы. Большое значение омеют различные приближенные методы (типа мулыпипольного раэломениял променение копюрых неизбемно при решенио большинства практических задач, возникающих, например, про расчете структуры поля поспюянного магнота, емкости конденсатора сломкой формы ело сопротивления некоторой системы электродов. Чрезвычайно поучительны о методы магнитостатики сверхпроводников, изучение которых стало особенно актуальным в свяэо с открытием в 1987 г.

высокотемперагпурной сверхпроводимосто. 8 16. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ, СОЗДАВАЕМОЕ ЗАДАННЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ЗАРЯДОВ. УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА Простейшими задачами теории электромагнитного поля являются стационарные задачи, когда все входящие в основные уравнения (10.1) величины не зависят от времени 1.