Терлецкий Рыбаков Электродинамика, страница 7

Заметим, что только на основании условия нейтральности (2.10) дать такую интерпретацию вектору Р еще было нельзя (см. задачу 2.2). Очевидно, что электрическое поле Е создается как свободными, так и связанными зарядами. Поэтому внутри диэлектрика уравнение (3.5) должно быть записано в виде йч Е = 4я (р+ ре), или с учетом (7.1) (11ч(Е+4яР) =4яр. Вводя обозначение 0=Е+4яР, (7.6) получаем сйч 0=4кр, (7.7) где 0 электрическая индукция. Она может быть интерпретирована как напряженность электрического поля, которое создавали бы свободные заряды плотностью р в вакууме.

В общем случае поляризованность Р может очень сложно зависеть от напряженности Е поля. Однако для большинства диэлектриков при не слишком большой напряженности эта зависимость линейная. В самом простом случае изотропного диэлектрика Р=кЕ, (7.8) где я — коэффициент поляризации вещества, или диэлектрическая восприимчивость. С учетом (7.8) 0=(1+4кх)Еь еЕ, (7.9) где с=1+4яя---диэлектрическая проницаемость. Нетрудно видеть, что это определение е согласуется с (1.20).

В самом деле, для всех простейших диэлектриков х>0. Поэтому е>1 и 0>Е. Согласно (7.7), поле О, создаваемое точечным зарядом е, совпадает с полем Е, создаваемым тем же зарядом в вакууме (см. (1.4)). Следовательно, напряженность поля, создаваемого зарядом е в диэлектрике, в е раз меньше напряженности поля, создаваемого тем же зарядом в вакууме. Поэтому закон Кулона в диэлектрической среде имеет внд $я=е,е г~(егз) (7.10) э а. МАГНЕТИКИ. НАМАГНИЧЕННОСТЬ Магнетик, или намагничивающуюся среду, удобно описывать как совокупность элементарных внутримолекулярных токов 3! Рис.

8.1 Рис. 8.2 (гипотеза Ампера), часто называемых токами налгагничеззия*. Так как каждый молекулярный ток замкнут, то эффективно его можно представить в виде линейного тока У;, охватывающего некоторую площадку 5; (рис. 8.1) с геометрическим моментом Ь,=) пс1о. В таком случае магнитный момент молекулярного тока 4, по определению, равен (8.1) пз!=)ьЯ;)с. Задача 8.1. Показать, что формула (8.1) согласуется с определением магнитного момента (2.15). Макроскопически каждую точку магнетика можно характеризовать налзигниченностью (8.2) геЛУ ~сь равной, очевидно, средней плотности магнитного момента в среде. Для выяснения роли, которую играет этот вектор в описании магнетиков, удобно воспользоваться моделью двух сред. Иначе говоря, по аналогии с диэлектриком будем рассматривать магнетик как наложение противоположно направленных распределенных токов 1+ и 1, компенсирующих друг друга при отсутствии намагничения.

Эти токи можно представить себе в виде стационарных потоков двух сред, заряженных соответственно положительно и отрицательно. При намагничивании (например, под влиянием внешнего поля Во) токи 1 и 1 сместятся в каждой точке друг относительно друга на некоторый вектор и, в результате чего появится полный ток 1 через поверхность о, натянутую на некоторый контур С. * Эти токи обусловлены как движением электронов вокруг ядер в атомах, так и собственным вранзением электронов (спиноаыа магнетизм).

32 В самом деле, элемент о) контура С опишет при смегцении на вектор и площадку пдо= [йд)) (рис. 8.2). Но !г) ~ имеет порядок размера молекулы и в макроскопической теории может считаться бесконечно малым. Поэтому убыль потока 1~ через 5, которая и определяет ток 1, равна (8.3) с Воспользовавшись теоремой Стокса, приведем (8.3) к виду 1=3 (в)м)ио где )н=гоГ[й)'3 (8.4) — плотность тока намагничения. Пользуясь модельной формулой (8.4), можно уже сравнительно просто показать, что )н = с Гог М.

Для этого по аналогии с представлением = — ",> е г;= — 2 е г;8(г' — г;)Й$" введем сначала плотность 1; молекулярных токов, т. е. положим После этого введем смещения гь «положительных» молекулярных токов с плотностью 1;+ относительно «отрицательных» и применим (8.4) для вычисления 1и. Тогда М в (8.5) имеет вид (с точностью до градиента произвольного скаляра) ьэ г или [см. (4.3)) М= 1' 1;+ [й;оЦ. (8.6) ~~ЛГ сг Рис. 8.3 33 2 з згх Предположим, что контур С получается смещением из С; (рис.

8.3). Тогда, поскольку геометрический момент замкнутой поверхности равен нулю, т. е. увЫ=О, находим 1 [в);ЙЦ = 1 и Ы+ 1 и, д5= — Б,'+ В; . с; в,' 5, Поэтому (8.б) с учетом равенства 1;+ =1; =1 примет вид М= ' ,'~ 1,'(В,'+В,-)= — ' ,"~ 1гЪ„ ~ели ~ел~ что совпадает с (8.2). Задача вд. Показать, что нлотность тока намагниченил (а5) не дает вклада в ноевый гиок через какое-либо сечение образца. 8 9. УЧЕТ ТОКОВ НАМАГНИЧЕНИЯ И ПОЛЯРИЗАЦИИ Если воспользоваться представлением (2.13) для плотности связанных токов 1""', то видно, что 1 =1Р+)м (9.1) где )м = с го1 М вЂ” плотность тока намагничения, а 1Р— дополнительная плотность тока, названная плотноопью тока поляризации: (9.2) 1Р = дР/дь Физический смысл этого тока проясняется, если воспользоваться представлением (7.5) для вектора Р: бв ) ьбя Очевидно, что плотность )Р тока связана с изменением относительного расположения зарядов в молекулах, чем и обусловлено ее название.

Если имеется намагниченная и поляризованная среда, то в уравнении (6.3), содержащем плотность тока )„„и, необходимо учесть токи намагничения и поляризации. Очевидно, это уравнение следует записать в виде !дЕ 4к. Гог  — — — = — (1+1Р+)м). с бе с 34 Используя (8.5) и (9.2), получаем го! ( — 4яМ) — — — (Е+ 4яР) = — ь с дг с (9.3) Вводя обозначение Н= — 4яМ (9.4) и замечая, что (см.

(7.6) ) Е+ 4пР ив О, приводим уравнение (9.3) к виду 1 дп 4л. го1 Н вЂ” — — = — 1, (9.5) сдг с и 1О. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В СРЕДЕ Запишем уравнения Максвелла в среде в виде 1 дП 4я. го! Н вЂ” — — = — 1, (1) для электромагнитного поля го! Е+ — —.=О, 1 дВ (11) (10.1) с)1УВ=О, г(1у Р = 4пр, ь Однако ясно, что логичнее было бы, по аналогии с х и е для диэлектриков, назвать так соответственно — и и !1р, так как вектор В, а не Н, служит лля непосредственного описания магнитного поля. 35 где Н вЂ” вектор напряженности магнитного поля. Отметим, что в общем случае намагниченность М весьма сложно зависит от магнитной индукции В.

Это хорошо видно на примере ферромагнетиков. Однако существуют и такие магнетики, у которых для не очень сильных полей намагниченность пропорциональна магнитной индукции В. К ним относится большинство диамагнетиков и парамагнетиков. Для них можно положить М = аВ, т. е.

[см. (9.4) ) Н =(1 — 4дсг) В = В/1г, где 11'!г = 1 — 4ягк. Эти линейные зависимости можно записать в виде М=)(Н, (9.6) В =(1+4я)() Нкя (ьН, (9.7) где у=се(г=(р — 1)/(4п) — п=(11 ' — 1)1'(4я). Исторически первоначально магнитное поле вводилось посредством закона Кулона для фиктивных магнитных зарядов, поэтому у названа магнитной восприимчивостью, а 11 магнитной прониг1аемостью*. Как мы уже отмечали, существует два вида простейших магнетиков: диамагнетики и парамагнетики. Для диамагнетиков 0<11<1, т.

е. — !1'(4н)<у<0 (а<0), а для парамагнетиков 1г>1, т. е. Х>0 (сг>0). причем (10.2) 13=Е+4лР, Н= — 4лМ, ф 1 г ( ) 4 с 5 5 ф (Ес)!) + — — (пВ) Ы = О, с 5 ф (п13)с)5=4л рс)~; (пВ)Ю=О, (10.4) причем правоориентированная поверхйость Я, натянутая на контур С, считается не зависящей от времени. в н.

3АкОн ОмА В ДиФФеРенЦиАльнОЙ ФОРме В макроскопической физике и в инженерной электро- и радиотехнической практике токи создаются в проводниках под действием поля Е и сторонних э. д. с., характеризуемых некоторой напряженностью Е "в. Сторонними называются силы, отличные от сил, действующих на заряды в электромагнитном поле, но способные перемещать заряды и создавать токи. Сторонние силы могут быть химического, диффузионного, механического и другого происхождения.

Возникают они при наличии градиента плотности, температуры и вследствие других факторов. Сторонние силы действуют, например, в гальванических элементах, аккумуляторах, термопарах и т. п. В широком классе проводников сила тока 1 пропорциональна напряжению Г12, т. е. справедлив линейный закон Ома (1.18). Однако при наличии сторонних э. д, с. этот закон должен быть обобщен и заменен законом Кирхгофа для участка цепи*: ~К12 с' 12+ н 12~ (1 1.1) Я Как и в 11ц4), проводник в 111.1) считается неподвижным. 36 где Р и М зависят от Е и В.

Для простейшего, но широко распространенного класса диэлектриков и магнетиков Р и М пропорциональны Е и В. Для таких веществ Р4 аЕ, В=)2Н, (10.3) где е и )2, вообще говоря, суть функции координат и времени. Система уравнений (10.1), (10.3) является уравнениями Максвелла в том виде, как они первоначально были сформулированы.