Терлецкий Рыбаков Электродинамика, страница 5

Тогда все такие заряды, находящиеся в призме с высотой 1пг)Л1 и основанием Л5, пройдут за время Лг через площадку ЛЯ. Учитывая, что плотность выделенных 19 ных уравнений, из которых следуют все остальные. По существу, именно это и было сделано Дж. К.

Максвеллом (1864). Но сначала обратим внимание на то, что все опыты проводились с макроскопическими телами, т. е. с телами, содержащими большое число заряженных частиц (Ж 10хз). Поэтому и уравнения, которые могут быть выведены из этих опытов, тоже должны быть макроскопическими. Чтобы приспособить к новым условиям уже известный математический аппарат, про1це всего положить в его основу понятие физически бесконечно малого обьема Л'г'. Под последним обычно понимается объем, достаточно малый по сравнению с объемом Р' макроскопического объекта, но вместе с тем содержащий достаточно много частиц, чтобы отношения типа ЛД/Л 'г', где ЛД = 2 е,, — полный заряд внутри Л $; ккз мало менялись при изменении Л $'.

Последнее означает, что характерный размер Лг'" намного превосходит среднее расстояние между частицами 1. Если ввести характерный размер макроскопического объекта (г.= Р пз),то станет ясно, что 1з«Л1«<2 з (2.1) электрических зарядов равна 1 Р„= —,1 ео (!рз;) находим заряд, пересекший площадку Л5 за отрезок времени Л1 со средней скоростью т: Рис. 2.1 ЛД„=(пт)Л(Л5р,= — 2, (пт)ее ( 1вЫ') Теперь, чтобы найти полный заряд ЛД, достаточно лишь просуммировать ЛД„по всем возможным интервалам 1„: ЛД= 2 (пть)е,. (щ')А(А5, а (2.4) где введена плотность электрического тока 1 — — еьти ак,.„, ' ' Из (2.4) сила тока сквозь поверхность 5 равна (2.5) з'=) (п3) с)5. (2.6) Запишем теперь закон сохранения электрического заряда (1.2) для некоторого объема Р; окруженного замкнутой поверхностью 5 (рис.

2.2). В этом случае (2.6) и теорема Гаусса — Остроградского дают 1=1(ПЛ) Д5=) с11уЛД Р'. В предположении, что поверхность 5 не изменяется со временем, (1.2) примет вид — рс) ьг= ~ —,~с) (г= — с(1ч)сз)г. 1' Так как объем )г выбран произвольно, то др)д(+йч)=0 (2.7) (закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме). Задача 2.1. Показать, что при бесконечно малом смеи1ении зарядов на вектор бв ик плотность р изменяется на бр= -Йч(рбв). (2.8) 20 Мы уже говорили о делении зарядов на связанные и свободные.

Сохраняя обозначения р и 1 для плотностей свободных зарядов и токов, полные плотности, очевидно, можно представить в виде р лали р ! р сил' )полл 1+)лил' (2 9) Иногда* встречается несколько иное деление зарядов: на собственные (принадлежащие веществу) и внесенные (или сторонние), причем первые удовлетворяют условию нейтральности среды (р-* б и=о, (2.10) то избыточный заряд можно условно объявить свободным. В большинстве электродинамических задач предполагается, что закон сохранения имеет место как для свободных, так и для связанных зарядов в отдельности, т. е. исключаются процессы перехода связанных зарядов в свободные и обратно. Поэтому разумно принять, что др"""(д(+ йц1"'"" = О, (2.11а) др "ю)дг+ йц1'""' = О.

(2.11б) Задача 2.2. Показать, чта из уславил нейтральности (2.10) и закона сохранения связаннага заряда (2.! !б) вытекает следующее представление для связанных зарядов и таков: р""'= — б(ч Р, (2.!2) 1'"' = дР(де ь с го! М, (2.13) где введенные паляризаваннасть Р и намагниченность М исчезают вне веществаь'. Выразить через Р и М динальный р и магнитный ш моменты образца, определяемые следующим образом: рм)р""'гбгг, (2.14) шю — ~ [г1""*1бю с~ (2.15) " Смг Ландау Л. Д., Лифшиц Е.

М. Электродинамика сплошных сред. М. 1982, Гл. 2. *ь Физический смысл векторов Р и М будет выяснен в 8 7, 8, (2 в — [р ьб!' — 0 Рис. 2.2 где интеграл берется по всему объему вещества. Мы, однако, не будем отдичать собственные заряды от связанных, т. е. будем полагать р"'мр' ', хотя такое отличие иногда бывает существенным (например, при описании ионизованной среды — плазмы). Если же связанные заряды не удовлетворяют условию нейтральности з 3.

ЗАКОН КУЛОНА И ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ Рассмотрим совокупность точечных зарядов еь помещенных в точках гь По закону Кулона, каждый из зарядов е; создает в окружающем пространстве электрическое поле Е;(г)=е;К;(Кэ, (3.1) где К;= — г — гь Согласно принципу суперпозиции, полная напряженность поля равна Е(г)=2 Е;=,') — ',Кь ! (3.2) Для перехода к макроскопическому описанию разобьем все пространство на ячейки ЛР"„' с центрами г„' и перепишем (3.2) в виде Е(г) =„'>" 2" — ', Кь 1еЛУ С другой стороны (см.

(2.1)), К;=г — г;=г — г~нК'„, и поэтому, вводя, согласно (2.2), макроскопическую плотность заряда р(г), найдем лх (я,)' (л,)' Заменив суммирование по ячейкам Л1'„' объемным интегралом, вместо (3.2) получим Е( )= Р» Ко (3.3) где К=г — г'. Выражения (3.2) и (3.3) являются исходными для установления одного из важнейших уравнений электродинамики, которому подчиняется электрическое поле Е (г). Рассматривая Е(г) как объективную реальность, мы как бы забываем о силовом происхождении Е, о лежащем в основе (3.2) законе Кулона.

22 В дальнейшем мы изучим сначала наиболее простой случай, допустив, что распределение зарядов и токов задано, т. е. р""" и )"""' суть известные функции ~ и г. Поскольку здесь не выделяются связанные заряды, этот случай эквивалентен электромагнитному полю в вакууме. В последующем мы максимально приблизим задачу к реальной, приняв, что известно лишь распределение свободных зарядов и токов, т.

е. р и ). Этот случай является наиболее общим и соответствует рассмотрению электромагнитного поля в веществе. Принимая полевую гипотезу, мы предполагаем объективное существование в окружающем пространстве физической величины Е(г) независимо от того, помещается ли в точку г пробный заряд или нет, Подсчитаем поток поля Е; сквозь замкнутую поверхность (рис. 3.1): 1Ц;=ф (ПЕ!)ДБ. Вводя телесный угол Рис.

3.1 П лБ(п1ь ) К-з под которым виден элемент поверхности Ы из точки гь заключаем, что ) 4яе; при г;н 1; О при г;е )г, где 1г — объем, заключенный внутри Б. Поэтому поток полного поля Ф= (пЕ)Ы=~Ц=4я ~ ерп4яД, 1 Е $ где Д вЂ” заключенный внутри поверхности Б заряд. Используя макроскопическое представление о распределенном заряде, получаем ф(пЕ)дБ=4я) рс)Е (теорема Гаусса в интегральной форме). Применяя теорему Гаусса †Остроградско (3.4) ф (пЕ) бБ = ) йч Е б 1г и учитывая, что объем Е произволен, приходим к дифференциальной форме теоремы Гаусса: йч Е = 4яр. (3.5) Будем считать это уравнение справедливым для электромагнитного поля независимо От границ применимости закона Кулона, гз т.

е. не только для статического, но и для зависящего от времени поля Е. Выясним теперь, не противоречит ли (3.5) уравнению (3.3). Решение этой задачи, как и многих других, значительно облегчается, если использовать введенную английским физиком П. А. М. Дираком б-функцию б(х). Это обобщенная функция*, т.

е. нельзя говорить о каких- либо ее значениях, определены лишь интегралы от ее произведения с какой-либо достаточно «хорошей» (например, непрерывной) функцией у'(х). При этом для любого с>0 +з ) 7'(х) б(х) гзх= у'(0). — з Трехмерная б-функция определяется с помощью аналогичного равенства ( ('(г) б(г) с((У=)(0), (3.7) Ь[гр(х)) =2 ~ чз'(х,) ~ (3.8) Задача 3.3. Показать, что справез)пиво слез)уюзцее представление для Б-4ункции: ()= сй з (3.9) * Истоки теории обобщенных функций относятся к работам Эйлера, Коши и Пуассона по расходяшимся интегралам. Однако строгая теория обобщенных функций была создана лишь в нашем веке трудами Н.

Ьз. Гюнтера (1924), С. Л. Соболева (1936) и «7. Шварца (1946), двухтомная монография которого «теория распределений» (1950-- 1951) подытоживает все этн исследования. ГдЕ Г=ОО)гв. В связи с анализом свойств Ь-функции здесь уместно привести определение Ь-функции, данное Л. Эйлером. В своей классической работе «Метод нахождения кривых линий ...», посвященной решению изопернметрической задачи, он прихолит к слелуюшей формуле лля вариации функционала 7 (у(х)] в окрестности некоторой точки хь: Ь)=Б)Е(у, у)дх= (Ьу(х — х )[хз' — (2,')'„)Ох, где Ьу(х — хь)--«треугольная» функция, график которой имеет вид равнобедрен- ного треугольника с основанием дх и высотой а/ах, восставленной в точке х'. Полагая в пределе с(х О, Эйлер из условия Ь(=О выводит свое знаменитое вариационное уравнение хз'=(с,')'„.

Нетрудно видеть, что при этом «треугольная» функция переходит в Ь-функцию, т. е. йш — Ьу(х — хь)=Ь(х — хь). в .оа Задача 3.1. Выразит~ Ь(г — а) и Ь(г) через одномерные Б-4ункции в декартовых, цилиндрических и с4ерических координатих. Задача 3.2. Показать, что если 4ункция зр (х) имеет набор однократных нулей (х,), ти его физически можно интерпретировать как плотность точечного заряда. Убедиться с его помощью, что (3.3) является решением уравнения (3.5), > довлетворяющим»словию потенциальности го1Е=О. (3.10) Задача 3.4. Сфера радиуса а заряжена равномерно зарядом 12. Найти напряженность Е поля вне сферы, внутри нее и на ее поверхности.

б 4. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ Для получения основного уравнения, которому подчиняется индукпия магнитного поля, порождаемого постоянными токами 1(г), воспользуемся законом Ампера (1.11). Запишем его с учетом (2.6): ф (Вг(1) = — (п1) с(5, с в (4. 1) где 5 в правоориентированная поверхность, натянутая на контур С. Применяя теорему Стокса, находим (и го( В) с(5 = — (в1) 115. с(В (г) = 1 г( )г' ()'К1 К (4.4) где Кь— я г — г'; 1': — 1(г'). Интегрируя (4.4) по всем распределенным токам, находим В(г) =- (1'К) —,. (4.5) Задача 4.!.