Терлецкий Рыбаков Электродинамика, страница 10

В этом случае производные по времени равны нулю и система 110.1) разбивается на две подсистемы — (Э) и (М): йу1)=4кр, го( Н = 4к1('с, го(Е=О, (Э) г)1УВ =О, (М) О=Е+4кР В = Н+4кМ (в простейшем случае О=БЕ). (в простейшем случае В =ВН). При решении электростатических задач используется система (Э), а при решении магнитостатических — -система (М). Однако плотность тока 1, входящая в (М), в наиболее распространенном случае определяется из закона Ома: )=о'(Е+Е"'с), т. е. зависит от Е.

В этом случае для нахождения 1 необходимо использовать решение системы (Э). Из-за наличия токов проводимости магнитостатические задачи в общем случае относятся к стационарным, но неравновесным системам, так как в последних происходит непрерывное выделение теплоты. Электростатические же задачи относятся к равновесным системам.

Перейдем к рассмотрению электростатических задач. Уравнения электростатики 1Э) позволяют определять напряженность электрического поля: 48 1) во всем пространстве по заданному распределению зарядов; 2) в некоторой области )г по заданным условиям на ее границе о и заданному распределению зарядов внутри 3) в диэлектрической среде при наличии заряженных проводников; 4) в диэлектрической среде при наличии внешнего поля с напряженностью Ео. Рассмотрим первую задачу. Уравнения электростатики в вакууме имеют вид о)уЕ=4лр, го1Е=О.

(1 6.1) Эти уравнения можно использовать и для определения напряженности Е поля в диэлектрике, если задано распределение связанных зарядов р""'= — с)!чР, которое надо добавить к плотности р свободных зарядовв. Так как го1Е=О, то Е = — агам гр = — Чср, 116.2) где гр — электростатический потенциал. Подставляя (16.2) в (16.1), получаем ст<р= — 4лр, (16.3) т. е. уравнение Пуассона для потенциала гр. В случае р=О оно превращается в уравнение Лапласа Л р=о. (!6.4) Уравнения Лапласа и Пуассона суть дифференциальные уравнения в частных производных эллиптического типа. Как известно, для их решения необходимо задавать определенные граничные условия, т.

е. значения гр или (пЕ) на границе 5 рассматриваемой области. В физике наиболее важно решение задач при естественных граничных условиях, когда о-+ос. В этом случае обычно полагают, что ср(г)-+оопп! при г- оо. В простейшем случае гр О. При решении многих задач приходится использовать общее решение уравнения Лапласа. Чтобы найти его, изучим некоторые свойства этого уравнения. задача 16.1.

Убедиться, что функция сч=(ат)' являстсч решепием !в общем случае комплексным) уровнепия лтопласо, если при 1>2 считать, что а — постоякпый изотропяый вектор, т. е. аз=О. Чтобы удовлетворить условию аз =О, выберем декартов вектор а=(1, О, 1) и запишем ср, в сферических координатах: гр, = г' (сов Э+ 1яп 3 сов сс) '. (16.5) Заметим, что гр, г ' можно представить в виде конечного ряда Фурье по и * В случае однородной диэлектрической среды, когда е=сопз1, а)уЕ=4пр/е, т. е. можно использовать все результаты, вытекающие из (16.1), осуществив в последних замену р ь р/е. Имея это в виду, далее мы будем рассматривать лишь случай вакуума. (сох Э+ !Зт 9 соя а)'= Р,(соз 9)+ ! +2 „'ь" 'Р7(со89)созта, (16.6) „, (!+гп)! коэффициентами которого являются полиномы Лежандра Рь(соъЭ)=Ро(созЭ) и присоединенные полиномы Лежандра 2» Р7(со89)=! '~ (соз9+!8!пЭсозсс) созтссс)сс.

(16Л) . ((-ьт)! ) ! 2к!! о Задача 16.2. Вычислить Рр(со»в) при 1=0, 1, 2. Задача 16.3. Доказать, используя (16.7), справедливость разложения 1 "( — 1)',1 " а' — — (аи)'-= 2, „, Р,(созЗ) (а<г), (16.8) !г — а!,ь Л из которого вытекает еше одно представление для полиномов Лежандра: г! ! 1 Р,(созЗ)=( — 1)' (а!7)! —, (16.9) а'!! г* где созЗ=(аг)даг), а постоянный вектор. Задача 16.4. Доказать, что если ьр (г) --.решение уравнения Лапласа, то г з!О(гг з) также его решение при гзьО (теорема Кельвина). Показать, что другими его решениями будут (а)Г) ср(г) и (а !е9]) ср(г), где а — постоянный вектор. Указанных свойств уравнения Лапласа вполне достаточно для построения его общего решения. В самом деле, по теореме Кельвина, решением, например, будет функция (г~О) г ! ср! (гг ' ) = г ' ! (сок Э+ ! яп 9 сох сс)!.

(16.10) В частности, при 1=0 находим простейшее решение ср=1!'г, отвечающее полю точечного заряда. Выражение г ' 'Р,(со89), согласно (16.9), также является решением при гФО, так как оно получается из 1/г 1-кратным действием оператора (аЧ). Если рассмотреть оператор (ез !гЧ))=д!да, то с его помощью можно выделить из (16.5) любую компоненту Фурье. В самом деле, если подействовать на (16.5) оператором П !т'+— то останется лишь член, содержащий ехр(!тсс). Таким образом, каждый член ряда Фурье в (16.5) или (16.10) является решением уравнения Лапласа. Поэтому, используя принцип суперпозицни, общее решение уравнения Лапласа можно записать в виде Ю ср(г)= ~ (а,г'+Ь,г ' ') ,'ь Р7(со89)(с„созта+с( япта), (16.11) !=о и=о где аи Ьп с»о й(„— произвольные постоянные.

50 (18.4) Задача 16.5. Предположив, что потенциал гр не завипап от одной из координат, показать, что общее решение соо>пветствутщего двумерного уравнения Лапласа в цилиндрических координатах илгеет вид гр=(Ьоч-ао!пг)(сои+до)+ 2 (а„г" +Ь г ")(с сиота+д„япта), (!6.!2) =1 где а, Ь„, его д — произвольные постолнлые; т=о, 1, 2, $ 17. ПОТЕНЦИАЛ ПРОСТРАНСТВЕННО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ЗАРЯДОВ Потенциал точечного заряда е, помещенного в начале коор- динат, согласно (3.9), равен гр = е/г. Убедимся, что это решение можно использовать для нахож- дения потенциала пространственно распределенных зарядов. С этой целью представим с помощью 6-функции плотность произвольно распределенного заряда р в виде р(г)=)р(г')6(К)с)Ь", К=г — г', и подставим в уравнение Пуассона (16.3): Лср(г)= -4я) р(г')6(К)с)Ь". С другой стороны, из (3.9) Л (1/зс) = — 4к6(К), поэтому (17.1) можно переписать: (17.2) Лср(г)= р(г')Л вЂ” с)Г=Л вЂ” "' с)Г.

Следовательно, решение уравнения Пуассона (16.3) во всем пространстве имеет вид ср(г)= ( )с))г'+<ро(г), (!7.3) ср (г) = — с) Ь". (17.4) Такой выбор согласуется и с законом Кулона (3.3), который не противоречит (17.3) только при условии 57ср =О. 5! где ср (г) — некоторое решение уравнения Лапласа. По своему физическому смыслу потенциал с)з должен задаваться распределением бесконечно удаленных зарядов, не входящих в р(г). Поэтому если считать, что в плотности р(г) учтен вклад всех имеющихся зарядов, в том числе и находящихся в бесконечности, то можно положить ср„(г)вяО и Задача 17.1. Записать решение уравнения Пуассона в сл>чае сферически-симметричного распределения заряди р (с).

Задача 17.2. Показить, что решение (17.4) удовлетворяет естественному граничному условшо ье О нри с со, только если р (г) убывает нри с со быстрее, чем с з. В физических приложениях часто приходится искать решение уравнения Пуассона в некоторой области 1; ограниченной замкнутой поверхностью 5. В этом случае по аналогии с (17.3) положим (17.5) Как видно, (17.5) является решением уравнения Пуассона и удовлетворяет заданным граничным условиям на 5, если сро удовлетворяет уравнению Лапласа и определенным граничным условиям на 5.

В итоге задача сводится к решению уравнения Лапласа в области К при некоторых граничных условиях на 5. Как мы убедимся позже, в физических задачах могут встречаться три типа граничных условий: 1) на 5 задан потенциал ср (задача Дирихле); 2) на 5 задана нормальная составляющая поля (пЕ) (задача Неймана); 3) на одной части 5 задан потенциал ср, а на другой ее части — нормальная составляющая поля (пЕ) (смешанная граничная задача).

Покажем, что в любом случае эти условия определяют напряженность Е поля однозначно. В самом деле, если это не так и существует два разных зпешения уравнения Лапласа ер~'~ и ер з), то их разность и=ср~~' ер'оз) также удовлетворяет уравнению >1 и = О, причем на 5 либо и = О, либо (пЧ) и = О. Поэтому если применить теорему Гаусса — Остроградского к вектору иЧи, для которого й(ч(иЧи)=(Чи)з, то 1)~(Чи) с1)г=уи(пЧ)ис)5=0, к з что возможно только при Чи~О.

Доказанная теорема единственности очень важна, так как вызывает уверенность в правильности найденных частных решений, если они удовлетворяют граничным условиям. я 18. пОтенЦиАл пОВеРхнОстных и линейных ЗАРЯДОВ Если заряд сосредоточен на некоторой поверхности 5, то, вводя поверхностную плотность заряда г)(г), определяющую заряд на элементе поверхности е)5 согласно формуле с)Д = т)с)5, легко 52 получить из закона Кулона выражение для потенциала ср (г) = ~ с15'.

(18.1) Но (18.1) можно вывести и из общей формулы (17.4). Так, если поверхность 5 задается уравнением 1'(г) = О, то удобно ввести новые координаты и', и', и', в которых новое уравнение поверхности есть и'=О. С этой целью положим из =.)'( ) (18.2) и будем считать г=г(и', из, из). Но элемент объема с)г'=с)ос)1, где с(1 — смещение вдоль нормали к поверхности, которое с учетом (18.2) равно с)! = с)ХЛЧЯ = с1изЛЧ 11. (18.3) Теперь ясно, что для согласования (18.1) с (17.4) необходимо положить р(г) = т) /ЧЯЬ (из ) = т) ~ЧЯ 8( 1(г)1.

(18.4) При практическом использовании формулы (18.1) ее удобно записывать в координатах и'. Для этого можно исходить из выражения для объема (см. задачу 9 приложения): с)) = ~~с)исс)пзс(из =с)5с)из 1ЧГ1-с (18.5) где /аг дг 8=с)ес~)д,„)), Яа=( —,.—,). ( аи' ва') (18.6) („~ „г) сР(г) = ~ з 8ыЯзг ь" 1г с)и' с)и . (18.8) Если заряд оказывается сосредоточенным вдоль некоторой линии С, то вводится линейная плотность заряда х(г), определяющая заряд на элементе длины Л по формуле с(Д=хЖ Тогда 53 Но на поверхности из=О вектор дг/диз совпадает с нормалью, а векторы дг/ди', дг/диз лежат в касательной плоскости.