1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (Люстерник, Соболев 1965 - Элементы функционального анализа)

З77Л УДК 5!З.88+Ы9.55 Лазарь Аронович Люстерния, Владимир Иванович Соболев Влсментм фуикцноиальаого авализа Мч 1665 г., 621 стр. с илз. Редакторы Н. П. Купцов, В. И. Битюпкое Теде. редактор А. А. Блазовещеиская Корректор С.

Н. Вмельяяова Сдано в набор 2/!Х 1085 г. Подписано к печзтн 22/Х! !065 г. Бумага бзх108/ьм Физ. печ. л. !б Ю. Условв. печ. л. 26,65. Уч.-изд. л. 24,66. Тираж 20000 екз. 17-13778. Цена книги 1 р. 43 к. Заказ М 18Н. Издательство «Наука» Главная редакпия физико-математической литературы Москва, З-71, Леиниский прч 16. Леиииградскаа типография 68 2 имени Евгение Соколовой Главполнграфпрома Государствевиаго комитета Совета Мииистров СССР по печати. Иемайаввсквй проспект, 66.

2-2-3 41.60 ОГЛАВЛЕНИИ Предисловие ко второму изданию.............. Б в е д е н и е. Обобщение основных понятий анализа, геометрии и алгебры Г л а в а !. Метрические пространства........... 9 1. Функциональнаи зависимость. Пространство. Упорядоченность . 2. Метрические пространства . 3. Примеры метрических пространств 4.

Полные пространства. Полнота некоторых конкретных пространств . 5. Пополнение метричесиих пространств . 6. Теоремы о полных пространствах .......... 7. Принцип сжатых отображений 8. Сепарабельные пространства Г л а на 1!. Линейные нормированные пространства . 9 1. Линейные пространства . 2. Линейные нормированные пространства . 3. Линейные топологические пространства . 9 4. Абстрактное гильбертово пространство . 9 5.

Обобщенные производные и пространства С. Л. Соболева Глава !! !. Линейные операторы . й 1. Линейные операторы 8 2. Линейные операторы в линейных нормированных пространствах . 9 3. Линейные функционалы . $ 4. Пространство линейных ограниченных операторов . 5. Обратные операторы 6. Пространство Банаха с базисом Г л а в а 1 Ч. Линейные функционалы .

й 1. Теорема Банаха — Хана и ее следствия 9 2. Общий вид линейных функционалов в некоторых функциональных пространствах . 9 3. Сопряженные пространства и сопряженные операторы 8 4. Слабая сходимость последовательностей функционалов и элементов . Г л а на т7. Компактные множества в метрических и нормированных пространствах 9 1. Определения.

Общие теоремы . и 2. Критерии компактности множеств в некоторых функциональных прострзнствах . 9 3. Универсальность пространства С [О, !! $ 7 11 11 15 19 29 33 40 43 53 57 57 68 77 83 95 122 122 133 143 145 153 164 172 173 180 196 212 222 222 236 256 оглавления Г да в а Н!. Вполне непрерывные операторы . 9 1. Вполне непрерывные операторы . б 2. Линейные операторные уравнения с вполне пепрерывными операторами . й 3. Принцип Шаудера в его применения .

й 4. Полнав непрерывность оператора вложения С. Л. Соболева. Глава Н!!. Элементы спектральной теории самосопряженных операторов в гнльбертовом пространстве . б 1. Саиосопряжеивые операторы . 9 2. Унитарные операторы. Проекционные операторы б 3. Положительные операторы. Квадратный корень из положительного оперзтора . б 4. Спектр самосопряженного оператора .

й 5. Спектральное разложение саносопряженного оператора й 6. Неограниченные линейные операторы. Основные понятия н определения . $7. Самосопряженные операторы и теория расширений сниметрическнх операторов . $8. Спектральное разложение неограниченного самосопряженного оператора Функцви саиосопряженного оператора $ 9. Примеры неограниченных операторов . Г л з в а НП!. Некоторые вопросы дифференциального н интегрального исчислений в линейных нормированных пространствах й 1. Дифференцирование н инте~ рирование абстрактных функций числового аргумента б 2.

Разностные схеиы и теорема Лзкса . й 3. Дифференциал абстрактной фувкцин . б 4. Теорема об обратном операторе. Метод Ньютона . 5. Однородные формы н многочлены . 6, Дифференциалы и производные высших порядков .. й 7. Дифференцирование функций двух переменных 6 8. Теорема о неявных функциях . 9. Приложения теоремы о неявных функциях . й 10. Касательные многообразия . б 11.

Задачи на зкстремум . Дополнения 1. Классы Ар. р ) 1 . !!. Непрерывность в среднем функций класса 5р!О) . 1!!. Теорена Боля — Браузра . !Н. Два определения и-й производной функции вещественного переменного Литература Предметный указатель . Указатель обозначений 261 261 268 287 295 305 305 3!О 31? 322 333 349 359 370 390 406 406 423 434 441 449 456 465 467 473 480 489 493 493 499 502 508 51! 520 ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ С момента выхода в свет первого издания настоящей книги прошло свыше десяти лет.

За это время происходило как всестороннее развитие функционального анализа, так и интенсивное проникновение идей и методов функционального анализа в различные разделы математики, да и не только математики. функциональным анализом начинают все более широко пользоваться механики и инженеры, не говоря уже о физиках, которые одни из первых стали применять функционально-аналитические понятия и методы в своих теоретических исследованиях. Поэтому нет необходимости обосновывать вначимость функционального апалнза н его место в системе математических дисциплин.

Развитие функционального анализа и все возрастающий интерес к нему со стороны широких кругов математиков, физиков и механиков имели следствием появление ряда превосходных курсов и монографий, посвященных общему функциональному анализу. Достаточно назвать книги Л. В. Канторовича н Г. Г!. Акилоза [12[, А. Н. Колмогорова н С. В. Фомина [14[, В. И.

Смирнова[29[, Б. 3. Вулиха [6[. Н. И. Ахиевера и И. М. Глазмана [3[, Ф. Рисса и Б. Секефальви-Наля [27[, Н. Ланфорда и Дж. Т. Шварца [10[ и др. Однако нам кажется, что предлагаемое второе издание настоящей книги не лублирует названные курсы и монографии. Во втором издании в основном сохранен элементарный характер изложения, и поэтому наша книга нам представляется более лоступной для начинающего по сравнению с другими книгами.

По сравнению с первым, второе издание книги перепланировано, выпущен ряд небольших по объему вопросов, чаше всего либо несколы<о выпалавших из общего плана изложения, лноо носивших иллюстративный характер, доба- ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ алеко довольно много нового материала. Наиболее значительными добавлениями является включение пространств С. Л. Соболева и теорем вложения для этих пространств, теории Рисса — Шаудера линейных операторных уравнений с вполне непрерывными операторами в произвольных банаховых пространствах, принципа неподвижной точки Ю.

Шаудера, основ спектральной теории неограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве. Вместе с тем, как и в первом издании, не развиваются или не рассматриваются такие важные разделы функционального анализа. Как топологические линейные пространства, нормированные кольца, теория представлений, полуупорядоченные пространства, обобщенные функции и их приложения и пр.

Авторы исходили из известного принципа К. Пруткова о невозможности объять необъятное и отсылают читателя. интересуюшегося указанными вопросами, к другим монографиям. Подготовляя второе излание нашей книги, мы использовали ряд курсов и монографий по функциональному анализу. Это в первую очередь книги Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова, В. И. Смирнова, Ф. Рисса и Б. Секефальви-Надя. При изложении спектральнор теории линейных операторов в гильбертовом пространстве мы в основном следовали плану и идеям А. И. Плеснера 124, 25К который был горячим пропагандистом спектральной теории линейных операторов, да и функционального анализа вообше, в годы, когда начиналось широкое развитие этого раздела математики в нашей стране.

Рукопись книги прочитали А. И. Перов, Д. А. Райков н Я. Б. Рутицкий, сделавшие много ценных замечаний. Ряд предложенных нми улучшений изложения использован в книге, н мы приносим им искреннюю благодарность. Авторы ВВЕЛЕНИВ ОБОБщение основных понятий АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИИ И АЛГЕБРЫ В начале настоящего столетия возникла новая аналитическая дисциплина, так называемый ф у н к ц и о н а л ь н ы й анализ. Основные понятия и методы функционального анализа постепенно складывались в недрах более старых областей математического анализа: в вариационном исчислении, в теории дифференциальных уравнений, в теории представления и приближения функций, в численных методах анализа и особенно в теории интегральных уравнений.

Сущность функционального анализа состоит в том, что ряд понятий и методов из элементарных глав математического анализа (и смежных областей алгебры и геометрии) переносится на объекты более обшей и более сложной природы, причем широко используются геометрические и алгебраические методы. Такое перенесение, связанное с обобщением основных понятий анализа, позволяет подходить с единой точки зрения к вопросам, ранее рассматривавшимся изолированно в специальных аналитических дисциплинах, устанавливать связи между, казалось бы, далекими математическими теориями и тем самым способствовать открытию новых математических фактов. Чтобы убедиться в справедливости последнего утверждения, достаточно указать на ряд теорем существования решений дифференциальных, интегральных и иных уравнений, полученных в последние годы методами функционального анализа, или на функционально-аналитическую разработку приближенных методов анализа.