1625915345-25e0823d1194a9e698afe0ea9e51e06f (Годунов, Золоторева 1974 - Сборник задач по уравнениям математической физики)

здк втыка;..в ОГЛАВЛ ЕН Н Е 4 13 26 37 45 40 Бн 60 Г 20203 1581 72 71 04210!)-71 ф !1здательстпо «11аука», 1971, Предисловие « ° . . . . . . -. ° 5 1. Характеристики, соотношение на тзракгеристпкак, приведение к каноническому виду 4 2. Краевые задачи 3т 3. Интеграл эисрпш и диссипатштпыс краевые условия $ 4. Уравнение Гамильтона — Якобгь область еднистаен. ности 5 5.

Преобрзэоваппе Лапласа н метод Фурье для гиперболнческих систем $6. Уравнение Лапласа 3« 7. Сферические фупкнии н представления группы враШений $6. Разпостиые моголы Ответы ПРЕДИСЛОВИЕ Этот небольшой сборник, иллюстрирующий книгу С. К. Годунова «Уравнения математической физики», составлен нами из задач, предлагавшихся студентам Но. восибирского университета преподавателями, ведущими семинарские занятия. Задачи разрабатывались А. Б.

Шабатом, Е. В. Мамонтовым, В. В. Смеловым, Ю. Н. Ва. лицким, В. Г. Романовым и нами. На упражнениях разбирались обычно стандартные задачи, взятые из задачников М. М. Смирнова «Задачи по уравнениям математической физики» и Б. М. Будакз, А. А. Самарского, А. Н, Тихонова «Сборник задач по математической физике», а также целый ряд задач, пред назначенных для иллюстрации лекционного курса, читае. мого С.

К. Годуновым. Мы отобрали для этого сборника те из задач, решав. шихся на упражнениях в 1969 — 1972 гг., которые по своему характеру несколько отличаются от задач, входящих в распространенные задачники. Хочется надеяться, что эта книжка окажется полез. ным подспорьем как для изучающих основы теории дифференциальных уравнений с частными производными, так и для преподающих этот предмет.

Авторы. й 1. ХАРАКТЕРИСТИКИ, СООТНОШЕНИЕ НА ХАРАКТЕРИСТИКАХ, ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 1. П>сть дано уравнение д'и десс дти дсс и (х у) охс + 2Ь (х,у) — „, + с (х, У) д,, + д(х, У),сх + ди +е(х, у) —., +((х, у)и=А(х,у). Лпппя ср(х, у) =С называется характеристикой >равнения (1) если она является решением уравнения / дср >З дср дф Г дф >З а(.т, у) ~ д ~ + 2Ь(х, у) —, —;+ с(х, у) (-1 —,-! = О. (2) Иногда в качестве характеристического уравнения употреблякш следующее вырсокенпе: а(х, у) (ду)з — 2Ь(х, у) с(еду+с(х, у) (дх)з=О, (з) Оно получается из (2) с позсосссью соотношения др дф — да+ — ду = О.

дх ду Если Ьз-ас)0, то уравнение (1) называется гиперболическим; оио имеет два семейства характеристик, дифференциальные >ран ненни которых следующие: ос(у — (Ь -Р ) 'Ь' — ис) дх =- О; аду — (Ь вЂ” ) Ьа — ис) с(х = О. Если уз †ос, то уравнение (!) называется параболическпт, опо имеет одно сеьсейство характеристик, дифференциальное уран и н~е которого аду — Ьух =-О.

Если Ь' †(0, то уравнение (1) называется эллиптических. вещественных характеристик у него нет. 2. Пусть дана система уравнений Ои А —,+В =-)(х,р,и), где А =)еаза( В=[~а;Ь[, 14=1, 2,.::, Л вЂ” МатрППЫ, и = [из " и„]. ) =- [/ю ..., 7„] — вектора. Линни, вдоль которых ~~И Е дхЕ~~~ называются характеристиками системы (4). Требование, чтобы дает нам соотношения на характеристиках. Системы, у которых все характеристики вещественны, называют.

ся гиперболическими. Системы, не имеющие вещественных характсистнк, будем называть эллнптичесипмп. ели бе1((А((ФО, то характеристический определитель (5) может быть переписав в виде де(1[С вЂ” дЕ[ =О, 0х где С=А-'В и й =— лг 3. Пусть нам дана система уравнений ди с1п ди А д1 + В Вх + С с1, — †7(х У.

1 и), (7) где А = [а,а[. В = [Ьсз[, С = [!с,а! — матриды, и = [пт, ..., и„], ) = [[ы ..., [„] — вектора. Поверхности к(х, у, 1)=с, на которых зар Ор лр или, что то нсе самое,— бе(1)тА+$В+ПС~! =О, где (в, ть т) — вектор нормаля к поверхности, называется характеристиначи системы (7), а само уравнение сне(((тА+$В+з)С]= — О. (8) называется конусом характерпстнческих нормалей.

4 Пслп дана система уравнений второго порядка деи деп дтл дп дп 1 Л вЂ” '-1- 2 — + С вЂ”,. =- /~х, у, и, —., —.), дх» дхду ' су»= ~ ' ' ' дх' др)' где А, В, С вЂ” матрицы, а л и 1 — вектора, то лпппя н!х, д)=с 1 де называется характеристикой, если 11 †. — ~ уловлюворяет урза. а ' др~ нежно Со всеми названными определениями, а также с вопросом приведения к каноническому виду гиперболической системы первого порядка можно подробнее познакомиться в книгах: 1.

Годунов С. К. Уравнения математической физики, М., «11аука», 1971, гл. 1, й б, гл. !1, $ 9. 2, Петровский И. Г. Лскппн об уравнениях с частнымн производиымн. М.— Л., Гостехиздат, !950, гл. 1, $ б — 7. Найти характеристики у следующих уравнений и сис. тем: !. )'и, — бо, — со„= О, 1ия — ао, + бо„= 0 (уравнение Бельтрамп); 2. уи +и„„=О (уравнение Трикоми); З.уи,— и =0; 4. хи„+ 2хокх — и„— 2о„„= (х+у)з и, з ! ихх — о„— 2и,р + 2о,а+ ивв — оау — — 0; 5. и„— 2охи — иа„— — О, ! о„+ 2и,„— олд = 0 Тспстема Бнпадзе.

Если ввести обозначения го=и+!о, а=х+1у, х=х — 1у, она может быть переписана в форме х» = О)! 6. хти — у'脄— 2уг1„=0; дх ) дх) дра ди . дтн 8. — =ае— д! дка 1уравнение геплопроводности); 6 9. (1+ха) и — (!+ух) и +хи„+уи„=О. 10. Привести уравнение мшгимальных поверхностей д ( сс ~ д ' иу )+ —,( 1) =О к квазилинейному виду и найти характеристики.

11. Написать уравнение характеристик (~~ "х "у) с„~~ ~и~ ох "у) (! 12. Написать уравнение характеристик дх р. . + ду 13. Найти условие гиперболпчссости системы ди дса ди — + 7 — + й — = О. да дх их 14. Найти условие эллиптичности — (Р'«Р*)+ д (Р «Ру) — ΠР— Р(~ сух+Чаи) (уравнение Чаплыгина). 15. Найти условие эллиптичности системы ди ди — — — =О, ду дх д (Р'и)+ д (Р'о) =О д д (! оз цг) о и сопз1 Проверить эквивалентность условия эллиптичности з задачах 14 и !5.

Выписать уравнение конуса характеристических нормалей у следующих систем: др о с' ди дат ди 1 др — + — — =О, ро дх ди ! др — + — —., =О да ро ду (система, описывающая распространение звуковых волн В двумерном случае). дЕг — =о, дЕ, дг 17. ду го О, и го дЕг дЕ, — '„=о ду ан, 0 1 сг дх дНъ дг ду даг анг дг дг дЕг дН, дг дг гф + — '=о дн, ау !уравнения Максвелла). Есть ли у характеристического уравнения этой системы кратные корни7 18.

аг = Аг д + Аг д + Аг дг + атАг'К ач~ ач~ аач ач" (система уравнений Дирака), где 0 0 0 о — 1 !о о ~0 1 О 1 0 0 А.,= О О~э о о, ,0 0 1 О! 11 0 0 О! 'ΠΠΠ— 1 ~0 1 0 О! !!ΠΠ— 1 О!~ ;ΠΠΠ— 1~ Π— 10 О~ 11сследовать характеристическое уравнение этой системы на кратность корней. 19. аии = игу+ и„— сгу — гиг„ яии = а„+ агг — жу, — и„, еяии = гигг + гиду игг одс (уравнения к~ристаллооптики, а, и, гэ — константы). Исследовать характеристическое уравнение этой системы и выяснить, могут лн у него быть кратные корни. Описать проекции конуса характеристических нормалей па координатные плоскости. — + днг дг дН, — + дг дНг — + аг дЕ, 1 0 0 0 0 0 ~о о 0 — г г 0 20. Проверить, что гнперповерхность (1 — 1а) — (» — ха) — (У вЂ” Уа) — (в — ва) о=О является характеристической для уравнения и„=и +и„„+и„. 21.

Написать уравнение плоскостей, проходящих через прямую х=з, у=О, 1=2з и являющихся характеристиками системы =О, 22. Написать уравнение плоскостей, проходящих через прямую х=з, у=а, (=2з и явля1ощихся характеристиками системы 2 — + — (- 8 — =О, ди до даа д1 д1 ох до дм — + — =О, ги ду дю до до — + 4 — + — ' = О. д1 дх щ 23. Написать уравнение плоскостей, проходя~них через прямую х=з, у=2з, 1=а и являющихся характеристиками системы до до до — +2 —. + —.=о, д1 ох ду до до до +. +2 =щ~ д1 дх ду дм доз дм — — — — — = и.

О1 Ох ду 24. Написать уравнение плоскостей, проходящих че-. рез прямую х+у=1, 1=0 и являющихся характеристп- 4 —" д1 до 3— о( дц 2— дх + 3 — + 2 —. до дм д1 дх +уд'+5 и +5 — +б— до дм Оу д1 ками волнового уравнения дти д'и д'и д эа -т- Р дх' ' ду" ' Найти соотношения на характеристиках для следующих систем! д' -1-2 д" + О, де дв — — — +и О дт дх 1 ~ 2 В т ~ ~ |~ ~ ~ д~ да ~ ~ ~ о д ~ д д ~ | Г | ~ ~ | | | ~ | О О | ~ ~ Π— зр + д +За~<р, О, 3 д(р, д~ро е=сопз1 (Р, — приближение метода сферических гармоник для кинетического уравнения, цилиндрическая симметрия); 27. (1.(-хт)т+ — '-(- — (1+х') — и'+ — —.т+ — 'и =О, ди, г дит — — — — =О; дт х дх 28' д (Р + ~~~ 2'Р) ' д (~ М~ 2'Р) — О дх ду д (т Мп 2Ч'), д (Р— т сот 2Ч') дх т ду О~ т= т(Р) (система уравнений в напряжениях для плоской задачи теории пластичности); ! 29, иу — ох = О, (с' — ит) и„— ио(и„+ ех ) + (с' — от) о„= О (спстема, описывающая двумерный стационарный безвихревой поток); 30.

и,+Аи„=О, где Г )О О О , 'О О-1 О <' .ΠΠΠ— 211 (ди дсс 31. — "+ —,' =О, дС и.с ди, 2 дсп, 1 !"и„ д! ' 3 ' ис ' 3 'ис дих, с, ! 1 ди!... с ии„ дС 2А-';! и.с 2/си-! их дссл с, Ч дих сч 1 иих — +,: — +;, ' =-О, д! 2Л вЂ” 1 дх 2!У вЂ” 1 дх дия !И дил с 1 д! 2Ь'+1 их О (система приблнскепня негода сферических гармоник для односкоростного кпнетического уравнения, описывающего цлоскнй поток невзаимодействующнх частиц). 32. Доказать, что для гиперболической системы без кратных характеристик нельзя получить на характеристиках двух разных соотношений (т.

е. требование «ранг расширенной матрицы равняется рангу характеристической» однозначно определяет условия на характеристиках), Проиллюстрировать это на примере системы ди — =О, дс д! 'дх'дх Привести к каноническому виду следующие системы: в Ђ”— — =О, ди ди — — — =О; д! дх 34, 1'2и! + (2! — 1) и, — (2! + 1) и, = О, (2о! — (2!-) 1) и, + (2! — 1) и, == О; 35, ди д д ~ ~ с ~ х ~ ~ ~ ~ д ~ ~~ ч ~ к ~ ~ ! ! ~ ~~ ~ ~ ~ ~ | « ~ ~ ~ ~ ~! ди —, + (1 + х) — + и = О, дх ди ди — +(! +х) — ' — о =О; 36. ди ди д ~ ~ ~ х ~ д | ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~а ~ ~ ~~ ! ~ ч ~ с ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ !~ — + — +хи=О д! дх ди ор, гго 2 — + 4 — + 2 — ' = ухо — 2и — о, д1 дх дх др ди — -1- 8 — = 2ш — 2и — о, д1 дх д~о дв — + 3 — = 2и+ о+ 2и', дг дх 37.