1625915148-9c9f9a2bacef72b603fa281986313335 (Ширяев 1979- Вероятность)

121 144 80 )66 А.Н.Ширяев ВЕРОЯТНОСТЬ Настоящее учебное пособие иредставляет расширенный трехсеместровый курс лекций по теории вероятностей. Нервая часть посвящена элементарной теории вероятностей и иредназначена для первичного ознакомления с иредметом. Во второй части излагаются математические основания теории вероятностей, базирующиеся на аксиоматике Колмогорова. В третьей части рассматриваются случайные ироцессы с дискретным временем — случайные последовательности (стационарные, марковские, мартингалы).

Во введении дан исторический очерк становления теории вероятностей. В историко-библиографической сиравке ириводятся источники результатов и указывается дополнительная литература. В конце каждого параграфа даются задачи. Книга рассчитана на студентов и аспирантов математических отделений университетов. ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ 6 игре с бросанием монеты ВВЕДЕНИЕ 9 8 10. Случайное блуждание. П.

105 ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ 14 Нринцип отражения. Закон ТЕОРИЯВЕРОЯТНОСТЕЙ арксинуса 8 1. Вероятностная модель 14 8 11. Мартингалы. Некоторые 114 эксперимента с конечным ирименения к случайному числом исходов блужданию ~ 2. Некоторые классические 27 8 12. Марковские цепи. модели и расиределения Эргодическая теорема. в 3. Условные вероятности. 34 Строго марковское Независимость свойство 8 4.

Случайные величины и их 43 ГЛАВА П. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 144 характеристики ОСНОВАНИЯ ТЕОРНИ 8 5. Схема Бернулли.1. Закон 57 ВЕРОЯТНОСТЕЙ больших чисел 8 1. Вероятностная модель 5 6. Схема Бернулли. П. 67 эксперимента с Нредельные теоремы бесконечным числом (локальная, Муавра— исходов. Аксиоматика Лапласа, Нуассона) Колмогорова з 7.

Оценка вероятности 8 2. Алгебры и п-алгебры. 152 «успеха» в схеме Бернулли Измеримые иространства 8 8. Условные вероятности и 86 8 3. Способы задания математические ожидания вероятностных мер на относительно разбиений измеримыхпространствах з 9. Случайное блуждание. 1. 94 8 4. Случайные величины.

1 186 Вероятности разорения и 8 5. Случайные элементы 192 средняя ~ 6. Интеграл Лебега. 197 иродолжительностьири Математическое ожидание 292 357 8 7. Условные вероятности и 226 условные математические ожидания относительно оалгебр Я 8. Случайные величины. П 248 8 9. Построение процесса с 260 заданными конечномерными распределениями я 10. Разные виды сходимости 267 последовательностей случайных величин 8 11. Гильбертово пространство 279 случайных величин с конечным вторым моментом 8 12. Характеристические функции я 13. Гауссовские системы 316 ГЛАВА П1. СХОДИМОСТЬ 328 ВЕРОЯТПОСТНЫХ МЕР.

ЦЕПТРАЛЬНАЯ ИРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА я 1. Слабая сходимость 328 вероятностных мер и распределений з 2. Относительная компактность 337 и плотность семейств вероятностных распределений я 3. Метод характеристических 342 функций в доказательстве предельных теорем я 4. Центральная предельная 350 теорема 8 5. Ьезгранично делимые и устойчивые распределения ГЛАВА 1Ч. 366 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬПОСТ И И СУММЫ ПЕЗАВИСИМЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 8 1. Законы «нуля или единицы» 366 з 2.

Сходимость рядов 371 з 3. Усиленный закон больших 376 чисел 8 4. Закон повторного логарифма 384 ГЛАВА Ч. СТАЦИОНАРНЫЕ (В 390 УЗКОМ СМЫСЛЕ) СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬПОСТ И И ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ 8 1. Стационарные 1в узком 390 смысле) случайные последовательности.

Сохраняющие меру преобразования 8 2. Эргодичность и 393 перемешивание 8 3. Эргодические теоремы 396 ГЛАВА Ч1. СТАЦИОНАРНЫЕ 402 (В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ) СЛУЧАЙНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬПОСТ И. Е2 теОРия 8 1. Спектральное представление 402 ковариационной функции 8 2. Ортогональные 412 стохастические меры и стохастические интегралы з 3. Спектральное представление 418 стационарных (в широком смысле) последовательностей 8 4. Статистическое оценивание 430 ковариационной функции и спектральной плотности 8 5.

Разложение Вольда 437 8 6. Экстраполяция, 445 интерполяция и фильтрация з 7. Фильтр Калмана — Ььюси и 457 его обобщения 467 529 534 467 477 533 484 496 549 503 554 562 511 566 569 573 575 575 575 524 529 ГЛАВА УП. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬПОСТ И СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ОЬРАЗУЮЩИЕ МАРТИНГАЛ ~ 1. Определения мартингалов и родственных понятий 9 2. О сохранении свойства мартингалыюсти при замене времени на случайный момент 5 3. Основные неравенства 8 4. Основные теоремы о сходимости субмартингалов и мартингалов 9 5. О множествах сходимости субмартингалов и мартингалов 9 6.

Абсолютная непрерывность и сингулярность вероятностных распределений 9 7. Об асимптотике вероятности выхода случайного блуждания за криволинейную границу ГЛАВА УТП. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬПОСТ И СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ОЬРАЗУЮЩИЕ МАРКОВСКУЮ ЦЕПЬ 9 1. Определения и основные свойства 9 2. Классификация состояний марковской цепи по арифметическим свойствам переходных вероятностей (и) к 9 3. Классификация состояний марковской цепи по асимптотическим свойствам вероятностей (и) )) З 4.

О существовании предельных и стационарных распределений ~ 5. Примеры ИСТОРИКОЬИБЛИОГРАФИЧЕСКАЯ СПРАВКА ЛИТЕРАТУРА ПРЕДМЕТПЫЙ УКАЗАТЕЛЬ УКАЗАТЕЛЬ ОЬОЗНАЧЕНИЙ Латинский алфавит Готический алфавит Греческий алфавит ПРЕДМЕТПЫЙ Абсолютная непрерывность мер 212, 213, 511 Абсолютно непрерывный тип распределения 170 Авторегрессионная схема 407 Аксиоматика Колмогорова 144, 149 Аксиомы теории вероятностей 23, УКАЗАТЕЛЬ 149 Алгебра множеств 21, 145, 152 — тривиальная 21 Альтернатива Гаека — Фельдмана 521 — Какугани 515 Атом разбиения 21 Базис ортонормированный 28; Байеса теорема 37 — формула 37 Банаховское иространство 277 Белый шум 405 Берри — Эссеена неравенство 75, 356 Борелевская алгебра 157 — функция 186 Борелевское множество 157 — иространство 243 Блуждание частицы 28 Вероятностная модель 14, 23, 144, 149 — — в расширенном смысле 146 Вероятностное иространство 23, 149 — — каноническое 262 — — полное 169 Вероятность 23, 147, 149 г — апостериорная 37 — анриорная 37 — классическая 24 — первого возвращения 538 — — попадания 538 — разорения 94.

99 Винеровская мера 185 Винеровский ироцесс 326 Взаимная характеристика 476 Вольда разложение 441 Выборки неунорядоченные 15 †упорядоченн 15 Гауссовская система 316, 324 — случайная величина 249. 317 Гауссовский вектор 318 — ироцесс 326 Гауссовско-марковский ироцесс 326 Гильбертово иространство 279 — — сепарабельное 284 Двумерная гауссовская плотность 250 Дисперсия 52, 248 Доверительный интервал 84 й-система 165 Задача о размещении 17 — о разорении 95 — о совпадениях 24 Закон арксинуса 112 — больших чисел 57, 347 — — — Бернулли 61 ††в марковских цепей 134 — — — Пуассона 349, 564 — «нуля или единицы» Бореля 368 — — — — для гауссовских последовательностей 522 — — — — Колмогорова 368, 500 — — — — Хьюитта и Сзвиджа 370 — повторного логарифма 385 Игла Бюффона 238 Игра благоириятная 473 — неблагоприятная 473 — сираведливая 473 Изинга одномерная модель 33 Изометрическое соответствие 419 Измеримая функция 186 Измеримое иространство 146 — — (Я,В (Я)) 156, 166 — — (Я",В (Я")) 158, 175 — — (Я",В (Я")) 159, 178 (Ят Н (Яг)) 161 182 — — (С,В (С)) 164 — — (Х1,В (1))) 164 (Пй1 /Ох)Р1) 165 Импульсная переходная функция 423 Инвариантные множества 393, 400 Индикатор множества 44, 64 Интеграл Лебега 197, 199 — Лебега — Стилтьеса 199, 214 — Римана 222 — Римана — Стилтьеса 221 — стохастический 416 Интегральная теорема Муавра— Лапласа 73 Интегрирование с помощью подстановка 225 Интерполяция 450 Испытание 41 Исход 14, 150 Квадратическая вариация 489 — характеристика 475 Класс, оиределяющий сходимость 335 Ковариационная матрица 249 — функция 326, 403 Ковариация 52, 249„312, 403 Компактность 337 Компенсатор 475 Конечномерные распределения 261 Корреляционная функция 403 Коэффициент корреляции 52, 249 — — максимальный 259 Кривая регрессии 253 Критерий Карлемана 315 — сходимости Коши 274, 275, 276 Кумулянты 308 Лебеговская мера 169 Лебеговское множество 169 Лемма Бореля — Кантелли 271 — Бореля — Кантелли — Леви 506 — Кронекера 378 — Пратта 226 — Теплица 377 — Фату 203 Линейная независимость 282, 283 Линейное многообразие 281, 284 — — замкнутое 284 Локальная абсолютная непрерывность мер 511 Локальная иредельная теорема 68 Марковская цепь 121, 124, 267, 529 — — однородная 530 — — стационарная 132 Марковский момент 469 — процесс 263 Марковское свойство 124, 529 Мартингал 114, 467 — квадратично интегрируемый 475 †локальн 470 †обобщенн 469 — обращенный 476 — равномерно интегрируемый 498, 500 Мартингал-разность 474 Мартингальное преобразование 471 Математическое ожидание 48, 197, 199 Матрица ковариации 249 — неотрицательно определенная 305 — переходных вероятностей 124 — псевдообратная 327 Мера абсолютно неирерывная 170, 511 — вероятностная 147 — дискретная 169 — конечно-яддитивная 146 — Лебега 168, 169, 176, 178 — Лебега — Стилтьеса 173 — полная 169 — сингулярная 171 — счетно-аддитивная 146 — конечная 146 Метод моментов 342 — Монте-Карло 239, 383 — наименьших квадратов 508 — характеристических функций 343 Момент остановки 96, 116, 469 Моменты 199 — абсолютные 199, 210 —.смешанные 308 Монотонный класс 153 Паборы неупорядоченные 15, 17, 183 — упорядоченные 15, 17, 183 Пезависимость 34, 39 — алгебр 39 †линейн 282, 283 — случайных величин 46, 195 ††элеме 195 — событий 39 — приращений 326 Некоррелпрованность 53, 249 Неравенства Бесселя 281 — Буркхольдера 489 — Гельдера 210 — Дворецкого 496 — Дуба 485 — Дэвиса 490 — Иенсена 209 — Колмогорова 371, 487 — Коши — Буняковского 49, 209 — Леви 389 — Ляпунова 210 Неравенства Маркова 563 — Марцинкевича — Зигмунда 489 — Минковского 211 — Рао — Крамера 83 — Отгавиани 496 — Чебышева 58, 209 — Хинчина 489 Норма 276 Нормальные числа 382 Обобщенная теорема Байеса 245 — функция распределения 173 Обновляющая последовательность 439 Обратное уравнение 129 Оператор сдвига 533 Определяющий класс 335 Ортогонализация Грама — Шмидта 283 Ортогональные меры 511 Относительная компактность 338 Отношение правдоподобия 121 Отображение измеримое 391 — сохраняющее меру 391 Оценивание ковариационной функции 430 — спектральной плотности 432 Оценка 53, 81, 251, 465 — несмещенная 81 почти" — оптимальная 53, 54, 251, 281, 441 состоятельная 81 — эффективная 81 Оценки спектральной плотности Бартлета435 — — — Журбенко 435 — — — Нарзена 435 Неремешивание 395 Нересечение множеств 20, 150 Нереходная вероятность 124, 263, 531 Нериодограмма 433 Нерпендикуляр 281 Плотность 170, 176, 177, 213 Плотность семейств распределений 338 Нолиномы Бернштейна 66 — Нуассона — Шарлье 286, 287 — Эрмита 285, 286 Нолнота 169, 276, 277, 279 Нолунорма 276 Носледовательности периодические 404 — регулярные 43 8 — сингулярные 438 — скользящего среднего 406 — стационарные в узком смысле 390 — — в пптроком смысле 402 — частично-наблюдаемые 453 Ночти наверное (почти всюду) 201 Нредсказуемая последовательность 467 Нредставления Леви — Хинчина 360, 364 Нринцип отражения 107 — подходящих множеств 154 Нродолжение меры 224 Нроекция 281 Нроизводная Радона в Никодима 213 Нростое случайное блуждание 554 Нространство исходов 14 — элементарных событий 14 Процесс броуновского движения 326 — ветвящийся 126 — винеровский 326 †гауссовск 326 — гауссовско-марковский 326 †марковск 263 — с независимыми приращениями 326 — условно винеровский 326 Прямое произведение мер 41 — — пространств 41, 165 Прямое произведение а-алгебр 158 †уравнен 129 Пустое множество 21, 150 Равенство Парсеваля 285 Равномерная интегрпруемость 204 Разбиение 21, 311 Разложения Вольда 441 — Дуба 475 — Крикеберга 495 — Лебега 512 Размещения 16 Разность множеств 21, 150 Распределение безгранично делимое 357 — бернуллиевское 45, 170 — бета 172 — биномиальное 28, 45, 170 — гамма 172 †гауссовск 172, 177 †геометрическ 170 — гипергеометрическое 32 — двустороннее экспоненциальное 172 †дискретн 169 ††равноме 170 †инвариантн 131 — Коши 172 — логарифмически нормальное 255 — многомерное 46, 175 — — гипергеометрическое 32 — мультиномиальное 31 †нормальн 172, 177 — отрицательно биномиальное 170 — Пуассона 77, 170 — равномерное 172 — сингулярное 171 — стационарное 131, 132 — Стьюдента 172, 258 — устойчивое 357 — хи 258 — хи-квадрат 172, 258 — экспоненциальное 172 Распределение вероятностей процесса 194 — — случайной величины 45, 186 Расстояние Леви 337 Расширенная случайная величина 188 Регулярные условные вероятности 240 — — распределения 241 — функции распределения 241 Свертка распределений 256 Секвенциальная компактность 339 Семиинварианты 308 Симметрическая разность множеств 55, 150 Сингулярные меры 511 Система ортонормированная 280 Скалярное произведение 279 Слабая сходимость 329, 331 Случайная величина 43, 186 — — абсолютно непрерывная 187 — — дискретная 186 — — инвариантная 394 — — комплексная 194 — — непрерывная 187 — — иростая 186 Случайное блуждание 94, 105 Случайные векторы 46 — последовательности 194, 326 — процессы с дискретным временем 194 — — с непрерывным временем 194, 326 — — с ортогональными приращениями 416 Случайные элементы 192 Смешанная модель авторегрессии и скользящего среднего 409 Событие 20 Событие достоверное 21 — невозможное 21 События перестановочные 370 Согласованности свойство 178 — условие 261 Состояния цепи апериодические 537 — — возвратные 539 — — достижимые 535 — — невозвратные 539 — — несущественные 534 — — нулевые 539 — — положительные 539 — — сообщанициеся 535 — — существенные 535 Сочетания 16 Спектральная мера 410 — плотность 411 — функция 410 Спектральное представление ковариационной функции 409 — — стационарной последовательности 418 Спектральные окна 435 Среднее значение 48 Средняя длительность блуждания 94, 101 Стандартное отклонение 248 Статистика Бозе — Эйнштейна 18, 19 — Максвелла — Больцмана 18, 19 — Ферми — Дпрака 18, 19 Статистическая независимость 34 Стохастическая матрица 124 — — дважды 553 — мера 412 — — конечно-аддитивная 413 — — ортогональная 413 — — элементарная 413 — последовательность 467 Стохастический интеграл 415 Строго марковское свойство 139 Структурная функция 414 Субмартингал 467 Сужение меры 181 Сумма множеств 21, 150 Супермартингал 468 Схема Бернулли 57 — серий 348 Сходимость в основном 331, 336 — в среднем квадратическом 268 — — — порядка р 268 — в смысле Е' 268 — с вероятностью единица 268 — по вероятности 268 — по распределению 268 — почти всюду 268 — почти наверное 268 — рядов 371 о-алгебра 146, 152, 190 — остаточная 367 — хвостовая 367 Теоремы Берри — Эссеена 75, 356 — Бпркгофа — Хинчина 396 — Бохнера — Хинчина 305 — Вейерштрасса 66 — Герглотца 409 — Дуба 477, 485, 494 — Ионеску Тулчи 264 — Кантелли 376 — Каратеодори 167 — Колмогорова 178, 182, 261, 374, 377, 379, 444, 451 -- Колмогорова — - Хинчина 371 — Лебега о мажорпруемой сходимости 204 — Леви 499 — Макмиллана 65 — Марцинкевича 306 Теоремы Муавра — Лапласа 73 — непрерывности 343 — о баллотировке 118 — о двух рядах 373 — о замене переменных под знаком интеграла Лебега 213 — о монотонной сходимости 202 — о нормальной корреляции 323 — о сходимости под знаком условных математических ожиданий 232 — о трех рядах 374 — Пойа 305 — Прохорова 338 — Пуассона 76, 349 — Радона — Пикодима 213 — Фубини 215 — Хелли 340 — центральная предельная 343, 347, 350 — зргодическая 130, 396, 400 Тождества Вальда 480 Уравнение Колмогорова — Чэпмена 128, 263, 531 — обратное 129 — прямое 129 Уровень значимости 84 Усиленный закон больших чисел 376, 379 Условие Линдеберга 350 — Ляпунова 354 Условная вероятность 34 — — относительно разбиений 87 — — — случайных величин 87, 88, 229 — — — о-алгебр 226, 228 — — регулярная 240 Условное математическое ожидание 86 — — — в широком смысле 281 — — — относительно разбиений 89 — — — — случайных величин 92, 229 — — — — событий 226, 234 — — — — о -алгебр 226, 227 Фазовое пространство 124 Фильтр 423 — Калмана — Бьюси 457 — физически осуществимый 423 Фильтрация 453 Формула обращения 301 .