1625915145-22de02e41a1725ff3ee52ab4368adbc3 (Свешников - Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций)

Б. Г. ВОЛОДИН, М. П. ГАНИН, И. Я. ДИНЕР, Л. Б. КОМАРОВ, А. А. СВЕШНИКОВ, К. Б. СТАРОБИН СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ И ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ Под общей редакцией заслуженного деятеля науки и техники РСФСР, доктора технических наук профессора А. А.

СВЕШНИКОВА ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Глава 1. Случайные события. з1. Соотношения между случайными событиями ~2. Непосредственный подсчет вероятностей ~3. Геометрические вероятности ~4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей ~5. Теорема сложения вероятностей ~6.

Формула полной вероятности ~7. Вычисление вероятностей гипотез после испытания (формула Байеса) ~8. Вычисление вероятностей появления события при повторных независимых испытаниях ~9. Полиномиапьное распределение. Рекуррентные формулы. Производящие функции Глава 11. Случайные величины з10. Ряд, многоугольник и функция распрсдслсния вс роятностей дискретных случайных величин ~11. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины а12.

Числовые характеристики дискретных случайных величин ~13. Числовые характеристики непрерывных случайных величин ~14. Закон Пуассона ~15. Закон нормального распределения з1б. Характеристические функции ~17. Вычисление полной вероятности и условной плотности вероятности после опыта для гипотез, являющихся возможными значениями непрерывных случайных величин Глава Н1. Системы случайных величин ~18. Законы распределения и числовые характеристики систем случайных величин ~19. Закон нормального распределения на плоскости и в пространстве.

Многомерное нормальное распределение з20. Законы распределения подсистем непрерывных случайных величин и условные законы распределения Глава 1К Числовые характеристики и законы распределения функций случайных величин 821. Числовые характеристики функций случайных величин 822. Законы распределения функций случайных величин 823. Характеристические функции систем и функций случайных величин 824.

Композиция законов распределения 825. Линеаризация функций случайных величин 826. Композиция двумерных и трехмерных нормальных законов распределения с использованием понятия векториапьных отклонений Глава К Энтропии и информация 827. Энтропия случайных событий и величин 828. Количество информации Глава И; Предельные теоремы 529. Закон болыпих чисел 830.

Теоремы Муавра-Лапласа и Ляпунова Глава ЪЧ1. Корреляционная теория случайных функций 831. Общие свойства корреляционных функций и законов распределения случайных функций 832. Линейные операции над случайными функциями 833. Задачи о выбросах в34. Спектральное разложение стационарных случайных функций 835. Вычисление вероятностных характеристик случайных функций на выходе динамических систем 8 36. Оптимальные динамические системы 8 37. Метод огибающих Глава РТЕ1. Марковские процессы ~ 38.

1~ели Маркова 8 39. Марковские процессы с дискретным числом состояний 8 40. Непрерывные марковские процессы Глава .Ж Методы обработки резулыпатов наблюдений 841. Определение моментов случайных величин по результатам опытов 842. Доверительные вероятности и доверительные интервалы 843. Критерии согласия 844. Обработка результатов наблюдений по способу наименьших квадратов 845. Статистические методы контроля качества ~46. Определение вероятностных характеристик случайных функций по опытным данным Ответы и решения Используемые таблицы со ссылками на литературу Литература ГЛАВА 1 СЛУЧАЙНЬИ~'.

СОБЫТИЯ й 1. Соотношения между случайными событиями Основные формулы Случайные события обозначаются латинскими буквами А, В, С, ..., У, К причем У вЂ” достоверное, а Р' — невозможное события. Равенство А = В означает, что появление одного из этих событий влечет за собой появление другого. Произведение событий А и В есть событие С = АВ, состоящее в наступлении обоих событий А и В. Сумма событий А и В есть событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В. Разность событий А и В есть событие С = А — В, состоящее в том, что А происходит, а В не происходит.

Противоположное событие обозначается той же буквой, но с чертой сверху. Например, А и А - противоположные события, причем А означает, что А не происходит. События А и В несовместны, если АЗ=К События Аь (1с;= 1, 2, ..., и) образуют полную грутпту, если в результате опыта обязательно должно произойти я хотя бы одно из них; приэтом Х А~=(У ь ! Решение типовых примеров Пример 1.1. При каких событиях А и В возможно равенство А+В =А? Решение. Сумма А+В представляет собой событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В. Если А+ В = А, то событие А включает в себя событие В Например, если событие А — попадание в область Я,ь а  — в я„то область Бл расположена в Яд Аналогично решаются задачи 1.1 — 1.3 и 1.8. Пример 1.2.

Из таблицы случайных чисел наугад выбраны два числа. События А и В соответственно означают, что выбрано хотя бы одно простое и хотя бы одно четное число. Что означают события АВ и А+В? Решение. Событие АВ означает наступление событий А и В, т. е. из двух выбранных чисел одно простое, а другое четное. Событие А+В означает наступление хотя бы одного из событий А и В, т. е. среди двух выбранных чисел имеется хотя бы одно простое или хотя бы одно четное число или одно из этих чисел простое, другое четное. Аналогично решаются задачи 1.4 — 1.7.

Пример 1.3. Доказать, что .ГВ = А + В я С С+ В = СО Доказательство. Если положить С=А в В=В то второе равенство . записывается в виде Л.+- В = ЛВ,. т. е. 4+ В = В. Поэтому достаточно доказать справедливость только первого равенства. Событие АВ означает не появление событий А и В. Про- тивоположное событие АВ означает что хотя бы одно из событий А или В имеет место, а это сумма событий А + В.

Поэтому АВ = А+. В Доказательство этого равенства можно также произвести геометрически, связав каждое событие с попаданием точки в соответствующую область. Лналогично решается задача 1.9. Доказанные в примере 1.3 равенства используются при решении задач 1.10 — 1.14. Пример 1.4. Электрическая цепь между точками Ми Ж составлена по схеме, приведенной на рис. 1. Выход из строя элемента а — событие А, элемента Ь» — событие В» (?с = 1, 2, 3).

Записать выражения для событий С я С, если С означает разрыв цепи. Решение. Разрыв цепи произойдет в том случае, если выйдет из строя элемент а или все три элемента В» (к = 1, 2, 3). Эти события соответственно равны А и ВзВзВз Поэтому С = А + ВзВзВз Используя равенства из примера 1.3, находим с = А +  »» = АВ Вф» = А 1Й+ В»+ В»з Аналогично решаются задачи 1.16 — 1.18.

Задачи 1.1. Что означают события А+А и АА? 1.2. Когда возможно равенство АВ=А? . 1З. Мишень состоит из десяти кругов. Ограниченных концентрическими окружностями с радиусами г» ()с=1, 2, .... 10), причем г1 < г2 « ... гш. Событие А» попадание в круг радиуса г» 1к=1, 2, .... 10) . Что означают события и В= .Я А„, С=и А»? »=1 »=5 1.4. События: А — хотя бы один из трех проверяемых приборов бракованный, В -все приборы доброкачественные. Что означают события: а) А+В; б) АВ? 1.5. События А, В и С означают, что взято хотя бы по одной книге из трех различных собраний сочинений„каждое из которых содержит по крайней мере три тома.

События А„и В» означают соответственно, что из первого собрания сочинений взяты з, а из второго 1 томов. Что означают события: а) А+В+С; б)АВС; в)Аз+Вз г) АзВз д) (АзВз+ВзАз)С 1.6. Из таблицы случайных чисел наудачу взято одно число. Событие А — выбранное число делится на 5; событие  — данное число оканчивается нулем. Что означают события А — В я АВ? 1.7. Событие А — хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное, событие  — бракованных изделий среди них не менее двух. Что означают противоположные события А и В'З? 1.8. Упростить выражение А = (В+ С) (В+ С) (В+ С). 1.9.