1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (Найфэ - Введение в методы возмущений), страница 7

— Прим. ред. аа Гл. 2. Врямие разложения и источники неравномерности Общее решение уравнения (2.1.24) имеег вид «р =~(й)+а(Ч), (2.1.30) где $=х — Ву, т)=х+Вр. Из условия на бесконечности (2.1.26) следует, что и= О, а условие (2.1.26) дает /= — Т(й)/В'). Поэтому ерт = — Т (Д/В. Подстановка ер, в (2.1.27) дает р.я„— В'ч . =/И'(7+1) ГГ. (2.1.32) Записав левую часть (2.1.32) в переменных й и Ч, будем иметь — ) /'1". (2. 1. ЗЗ) эйэч = ев Решение этого уравнения имеет вид вв' е т)+й(~) /и'(у+ 1) ., (2.1.34) 1Лз (2.1.28) можно получить, что функция /е' (й) должна иметь вид Ь ($)= те рТ Т + — [1 — у 1Т вЂ” ТТ.

(2.1.36) Поскольку осевая составляющая скорости и равна (/(1+гр„), имеем — =1 — е — +и' [ — ~1— и т г ~ т йее(у+1)ч и — В ' )Ве~ 4Вт '~Т *— — — ° — еуТ Т вЂ” ТТ ~ +0(е ). (2.1.36) О Здесь строится рещение в верхней пплуплсскпсти у~о. Пития в нижней пплуплпскпсти будет симметричен ему птипсительип прямой р=о.— Йрим. ред.

Для у= 0(1) третий член в (2.1.36) ограничен и является поэтому малой поправкой ко второму члену, который в сво1о очередь при е — О является малой поправкой к первому члену. Однако с ростом у до значений порядка 0 (е-') или больших третий член сравнивается по порядку со вторым и, далее, с первым членом.

Это объясняется наличием слагаемого (1/2) (у+ 1) МеВ ерТ'Т", из-за которого отношение и,/и, не ограничено при у пп. Хотя в рассматриваемой задаче и не присутствуют тригонометрические функции, слагаемое это может трактоваться как вековой член. 2. Д Бесколесном обласош 2лпь Обтеаанне сферы прн малых чнслах Рейноаьхса Четвертым примером, показывающим трудность, возникающую при бесконечной области, является несжимаемое равномерное обтекание сферы при мазом числе Рейнольдса. Для осесимметричного течения полная система уравнений Навье †Сток в Рнс. 2.2. сферической системе координат, изображенной на рис. 2.2, задает следующее безразмерное уравнение относительно функции тока ф (г, 0) (и, =фа/г'з1п О, ив = — ф„/г з1п О): '® '" = с' мп О (, фв д ф, дО+ 2 с(К Оф„— 2 — ) Ю'ф (2. 1.37) 1гв т где )с =(7а/т — число Рейнольдса (т — кинематическая вязкость) и использовано обозначение де Мпв д/ ! д~ ЯФ дсе ' ее дО(, ыпО дО/' (2.1.38) Граничные условия на поверхности сферы требуют обращения в нуль скорости; в безразмерном виде будем иметь ф(1, О) =ф,(1, 0)=0.

(2.1.39) Из условия равномерности потока на бесконечности имеем ф(г, О) — г*з!п'О при г 1 2 (2.1.40) Соотношения (2.1.37) †(2.1.40) определяют корректно поставленную задачу относительно функции тока ф. Будем искать формальное разложение типа Пуанкаре, справедливое при малых Й: 40 Гл. 2. Прямые раемгмения и исяиннияи неравномерности Подставляя (2.1.41) с учетом условия (2.1.40) в уравнение (2.1.37), разлагая при малом )т и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях К, получим для коэффициентов: при йе 85'ф~ = О, (2.1.42) 4ф, (1, О) = ф„(1, О) = О, (2. 1.43) 4),(г, О) — гез!пеО при г оо; ! (2.1.44) при )т Ю фе = ~'Фез й 4ре у+ 2 с!аде 2 ) 15 фе, (2.1 ° 45) т' з~ ф,(1, О) = р„(1, 0)=0, (2.1.45) еК,(г, 0)=о(г') при г- оо. (2.1.47) Условие (2.1.44) подсказывает, что фе надо искать в виде фе = ! (г) з!пе О, (2.1.48) Подставив функцию этого предполагаемого вида в (2.1.42), получим уравнение 1 — т+ —,.' —,.

=О. ге 47" а!' и! (2. 1.49) общее решение которого имеет вид '! = с,г'+ с,г'+ сер+ с,г-е. (2.1.50) Из граничного условия (2.1.44) имеем с,=0, с, =1/2, а граничные условия (2.1.43) дают с,= — 314, с,=1/4. Окончательно имеем фе= — ~2г' — Зг+ — ~ з!пеО, 1 I 11 (2.1.51) е Это решение было получено Стоксом !185Ц. Подставив ф, вида (2.1.51) в уравнение (2.1.45), получим ЭГ2 З бр'ф, = — — '~ —,—,+ — )з!пеОсозО. (2.1.52) Уравнение (2.1.52) и граничные условия (2.!.48), (2.1.47) подсказывают, что частное решение будет иметь вид ф =д(г) з!пе Осоз!1.

(2.1.53) Функция 5 должна удовлетворять следующим уравнению и граничным условиям: у1Ъ' 1„— — — +— 12и" 24д' 9 Г 2 3 1 т (2.1.54) ге ге 4 ! ге ге г4 ) ' д (1) =у' (1) = О, (2.1.55) 5(г)=с(ге) при г- оо. (2.1.56) 2.2. Малый парамегпр пра старшей производной Общее решение уравнения (2.1.54) имеет вид у=Ь,г-~+Ь,+Ьег'+Ь,~' — 1аг'+зз +у —. (2.1.57) 3 Зс г ф = — ~ 2ге — Зг + 1 — †„ + †„, ) з1п' О соз О. (2.1.58) 3 I е Трудность, связанная с прямым разложением, здесь вновь возникает из-за наличия бесконечной области.

Двучленное разложение 1 1 Х чг= — ( 2г' — Зг+ — ) з!и'Π— — )тг ~2гт — Зг +1 — — +-г~ х 4(, ) З2 г г) хз!птбсозО+0(йт) при И вЂ” О (2.1.59) удовлетворяет граничным условиям на поверхности и не удовлетворяет граничным условиям на бесконечности. Таким образом, это разложение перестает быть справедливым при больших г.

Это обстоятельство носит название парадокса Уайтхеда !1889], впервые получившего это решение !1889) методом последовательных приближений и указавшего первым на его неравномерность. 2.2. Малый параметр при старшей производной 2.2.1. Пример второго порядка Чтобы проиллюстрировать трудность, связанную с наличием чалого параметра при старшей производной, рассмотрим следуюций пример (Латта [19641): вУ" +У'+У=О, О<х~1, у(0) = а, у (1) = Ь. Здесь е — малое положительное число. Будем искать сначала пра- вое разложение вида и у= ~ч", е"у„(х), е <ф1. =о (2.2.3) Из граничного условия (2.1.56) следует, что Ь„=Ь,=О.

Однако даже такой выбор Ь, и Ь, не обеспечивает требуемого поведения функции д при г — оа нз-за наличия члена — (3/16)г'. Ясно, что никаким выбором Ь, и Ь, этот недостаток нельзя устранить. Более того, невозможно отыскать другое частное решение уравнения (2.1.52), которое обеспечило бы соответствующее поведение функции ф, при г — ао. Граничные условия (2.1.55) требуют, чтобы Ь„=-Ь , = — 3/32. Следовательно, 42 Гв. 2. Примеси разложении и исоижнини неравномерности Подстановка в (2.2.1) и приравнивание коэффициентов при равных степенях е приводит к уравнениям у,+у.=о, (2.2.4) Уо+ У» Уев и (2.2.5) у Ье' " + еЬе' " (1 — х) + 0 (е') .

(2.2.6) Значение в нуле У=Ье(1+е), вообще говоря, отличается от а из (2.2.2). Следовательно, погрешность в (2.2.3) не является равномерной на [О, Ц и разложение вблизи нуля нарушается. Для понимания природы неравномерности обратимся, далее, к точному решению уравнения (2.2.1) с усповиями (2.2.2): (иев — Ь) ев "+ (Ь вЂ” ое' ) ев " у = где — ! ~ )еà — че зыв= 2 (2.2.8) Можно показать, что предел при фиксированном х (пп у (х, е) =Ье'-" (2.2.9) е о соответствует первому члену в (2.2.6) и удовлетворяет граничному условию у(1)=Ь.

Чтобы понять, что же происходит в граничной точке к=О, вычислим у, используя (2.2.7), с точностью порядка е, обозначив эту величину через у. При е- О имеем з, = — 1+0(е), з,= — +1+0(е). (2.2.10) ! е Следовательно, У =Ье' + (а — Ье) е <"~иге'+ 0(е). (2.2.11) В проведенных выше вычислениях член, пропорциональный ехр 1 — (х/е)+х), был учтен, поскольку оценка проводится Нетрудно видеть, что для приближения порядка и величину у„, можно считать известной, и, следовательно, у„для любого п задается дифференциальным уравнением первого порядка. Отсюда следует, что решения уравнений (2.2.4) и (2.2.5) не могут удовлетворить обоим граничным условиям (2.2.2), и одно нз них должно быть опущено.

В п. 4.1.2 показано, что должно быть опущено граничное условие в нуле. Решив уравнения для первых двух слагаемых и наложив граничное условие у(1) =-Ь, по- лучим 2.2. Малый параметр при старшей праиэеадпай 43 не только для случая е О, но также и для спучая х — О, По способу построения (2.2.11) можно сделать вывод, что порядок погрешности равномерен на !О, 11. На рис. 2.3 схематически показано поведение у и первого слагаемого из (2.2.6), которое будем обозначать у. Видно, что у согласуется с у всюду, за исключением малой окрестности нуля, в которой у быстро меняется, чтобы удовлетворить граничному условию. Таким обра- 2,3 Рнс. 2.3.

зом, функция у(х; а) является непрерывной при а~О и при а=О терпит разрыв. В самом деле, справедливы соотношения 1пп !'пп у (х; е) =а, (2.2.12) е Ол О 1нп !пп д (х; е) =Ье, (2.2.13) л-: Ое-~О которые показывают, что точное решение у(х; е) сходится к у (первое слагаемое в (2.2.6)) неравномерно. 2.2.2. Ойтеаанне тела прн польшах чнслах Рейнальлса Рассмотрим двумерное вязкое несжимаемое обтекание тела поступательным потоком, показанного на рис. 2.1, Полная система уравнений Навье — Стокса для установившегося течения И Ге.

2. Прямом ривеоисения и источники неравномерности определяет следующее уравнение для функции тока чр(и=-фе, о=- — чр„; и и о — компоненты скорости по осям х и у): ("-. '-,—. ) '- Ԅà — чр„— т 7' ) е чр =- О. д д ! (2.2.14) Здесь 1с = УЦи — число Рейнольдса, и — кииематическая вязкость жидкости. Уравнение (2,2.14) нужно дополнить граничными условиями. На поверхности тела, у =-Р(х), обращаются в нуль обе компоненты скорости; таким образом, Гфи [х, г (х)1+ вр„[х, г (х)1 =0, (2.2.15) ф [х, Р(х)) = О.

(2.2.16) Второе условие означает обращение в нуль касательной к телу составляющей скорости (так называемое условие прилипания), в то время как первое условие означает обращение в нуль нормальной составляющей скорости. Третье условие имеет вид чр(х, у) - у (на бесконечности вверх по течению). (2.2.17) Пытаясь построить прямое разложение вида и ф(х, у; й)= ~, 'б„(й)ф (х, у) при й — аа, (2.2.18) т=о где Б,(Р)= 1, б (й) =о[6„ ,(й)) при й аа, мы получим следующее уравнение для первого слагаемого (не- вязкое течение): (2.2.19) Это уравнение является дифференциальным уравнением не четвертого, а третьего порядка. Поэтому ф, не может удовлетворить всем граничным условиям (2.2.15) и условию (2.2.17); одно из них следует опустить. Поскольку при невязком течении возможно скольжение по телу, опустить следует граничное условие (2.2.16). Поэтому полученное решение для ф, является при Я оо очень хорошим приближением точного решения вдали от тела и становится несостоятельным вблизи тела.