1625914372-3c7f1fec4e5fa71fe15f0043e00407ef (Найфэ - Введение в методы возмущений), страница 5

Здесь коэффициенты а„являются функциями только переменной х. Говорят, что разложение (1.6.!) равномерно приаодно, Проверка сходимости рядов с помощью отношения двух соседних членов показывает, что у„и и о, а следовательно, и правая часть (1.5.13), расходятся для всех значений х. Однако для болыпих х слагаемые в и и о убывают быстро с ростом номера, так что (1.5.13) задает асимптотическое разложение для больших х. Для малых х первые несколько членов в (1.5.2) дают вполне хорошую точность.

В самом деле, первые 9 членов дают значение е',(2) с точностью до 11 значащих цифр. Однако с ростом х число членов, необходимых для обеспечения такой точности, быстро растет. При х ==4 восемь членов дают точность до третьей значащей цифры, в то время как такую точность обеспечивает первый член асимптотического разложения (1.5.13). При дальнейшем рост~ х с гораздо меньшей затратой труда можно получать хорошую точность, используя асимптотический расходящийся ряд (1.5.13). Гм 1. Введение если м — ! )'(х; е) = ~ а,„(х) 6,„(е)+Их(х; е), т 0 И,~(х; е) =0(бх(е)) равномерно для всех рассматриваемых х. (1.6.2а) (1.6.26) 3!и (х + е) = =япхсоза+созхз!и е=- кк 4 ав эа кь к~ =-3!пх~ ! — + — — — +...

)+совхоз — + — — — +... ~!=— 2! 4! б! ' ' ' ) 1 3! 5! 7! е~ з к4 э4 = 3!их+ асозх — — 3!и х — сов х+ — 5!их+ — созх— 2! 3! 4! Я эб аУ вЂ” япх — созх+... при е — О. (1.6.3) 6! 7! Заметим, что коэффициенты при всех степенях е ограничены для всех значений х, поэтому а (х) не более сингулярно, чем а„, (х), и как следствие этого разложение является равномерно пригодным. Для получения неравномерно пригодного разложения разложим для малых е функцию 1(х; е).=) х+е. Получим а тот ! (х; е) = $~ х+ е = $~ х (1 + — ) к) — е э~ к~ =$'х (1+2.

8 '"+!6" +' '). (1.6.4) 8к'" Каждый член этого разложения, исключая первый, имеет особенность при х=О и является более сингулярным, чем предыдущий. Следовательно, разложение не является равномерно пригодным. Справедливость его нарушается в окрестности х -- О. Размеры области неравномерности могут быть оценены в некоторытк случаях с помощью предположения о том, что два после- В противном случае говорят, что разложение является неравномерно пригодным (такое разложение часто называют сингулярным разложением возмущения). Для того чтобы условия равномерности (1.6.2) выполнялись, необходимо, чтобы для каждого т слагаемое а„(х) б„(е) было мало по сравнению с предыдущим а,(х) б„, (а). Поскольку при е О имеем 6 (е) =- =о(б„,(е)), для равномерности разложения мы должны требовать, чтобы для всех рассматриваемых х а (х) было не более сингулярным, чем а„, (х).

Другими словами, каждый член должен быть малой поправкой к предыдущему члену независимо от значения х. Равномерно пригодным разложением является следующее: вг да. Нвравививрнив ровловввнив довательных члена имеют один и тот же порядок. Для (1.6.4) это дает — — --О(1), х=0(е). (1.6.5) Это можно было усмотреть, вспомнив, что ряд Тейлора функции [1 + (е/х))ыв сходится только при ~е!х(, меньшем единицы.

В качестве второго примера неравномерно пригодного разложения рассмотрим разложение ехр (- — е() для малых е. Эта функция имеет следуюший равномерно сходящийся для всех ( ряд Тейлора: (1.6.6) Ясно, что функция ехр( — ег) может быть приближенно представлена конечным числом членов только в том случае, когда произведение ег мало. Поскольку е — малая величина, сказанное означает, что г= — О(1). Если г имеет порядок 0(е 1), то величина ег не мала, и усеченный ряд перестает быть справедливым, Например, для г'=2е-в первые два члена дают для ехр( — 2) значение, равное — 1.

Нетрудно установить, что если в приведенном выше ряде сохранить конечное число членов, то усеченный ряд может давать удовлетворительное приближение только до некоторого значения г', после которого функция ехр( — ег) и усеченный ряд отличаются друг от друга на величину, превосходяшую заданный предел точности. Добавление дополнительных членов к усеченному ряду увеличит значение (, вплоть до которого усеченный ряд дает удовлетворительное приближение, до нового значения р'. Однако при ( ) р разность между ехр ( — е1) и новым усеченным рядом вновь превзойдет заданную точность. Таким образом, для получения разложения, удовлетворительного для всех г, необходимы все члены ряда.

То обстоятельство, что асимптотические разложения по параметру не являкпся равномерно пригодными и перестают быть справедливыми в некоторых областях, является скорее правилом, чем исключением. Эти области, которые упоминаются иногда как иоераничные слои, носят название обласвпей неравномерности, Фридрихе [19551 обсуждал появление этих неравномерностей в различных областях математической физики в обзорной статье. Большинство методов теории возмушений было развито с целью превратить неравномерные разложения в равномерно пригодные. В гл. 2 обсуждаются источники неравномерности; в остальных главах развивается техника сведения неравномерных разложений к равномерным. Гл. д Введение 1.7.

Простейшие действия над асимптотическимя разложениями Для определения приближенных решений дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений мы предполагаем, что разложения можно подставлять в уравнения и выполнять над ними простейшие действия, такие, как сложение, вычитание, возведение в степень, интегрирование, дифференцирование и умножение. Правила действий будут выведены без обоснования, хотя некоторые из разложений расходящиеся. Условия, при которых указанные действия могут быть обоснованы, изучались Ван-дерКорпутом [1956], Эрдейи [1956] и де Брейном [1958], Правила сложения и вычитания могут быть обоснованы в общем случае.

Если, например, [ (х; е) '!Р а„ (х) ~г„ (е) при е — О, д(х; е) —,'~Ь„(х) ч„(е) при е О, (1.7.1) где гр„(е) — асимптотическая последовательность, то имеем (Эрдейи [1956]) п((х; е)+~у(х; е) ~ч~,'[аа„(х)+рЬ„(х)] <р„(е). (1.7.2) Если, кроме того„г(х; а) и а„(х) — интегрируемые функции х, то л Х ) г(х; е) дх,'Ягр„(е) ~ а„(х)г(х при е- О. (1.7.3) а а Если же 1'(х; е) и Ч~„(е) — интегрируемые функции е, то ] Г(х; е) де- ~чР~а„(х) ) <р„(е) йе при е — О.

(1.7.4) Правило умножения для общего случая не определяется, поскольку в формальном произведении рядов ~ч~а„(х)ф„(е) и ~Ь„(х) ~р„(е) встречаются все произведения вида ~р„(е) ~р„(е), которые в общем случае невозможно расположить так, чтобы получить асимптотическую последовательность. Иными словами, умножение определено в тех случаях, когда в результате получается асимптотическое разложение. Это имеет место для всех асимптотических последовательностей гр„, для которых произведения ~р„~р„либо образуют асимптотическую последовательность, либо имеют асимптотическое разложение.

Важным классом таких последовательностей является набор степеней е. Так, если при е — О имеем г(х; е) 'ь',а„(х)е", п(х; е) ~~РЬ„(х)е", Упражнения то при е — О справедливо соотношение ) (х; е) и (х; е) ~~у~,'с„(х) еп, (1.7.6) где с„(х) = ~~.', а„(х) Ь„„(х). (1.7.7) Возведение в степень не может быть обо=новано для общего случая. Формальное проведение втой операции в том случае, когда она не обоснована, приводит к неравномерностям. Например, равенство 1 е 1 е' Р'+ =~ ()+ —, —,— —,- — е+...~ .Р -О(1.7.8) не обосновано при е7х=О(1), потому что его правая часть яв- ляется неравномерным разложением в области х= О(е).

Анало- гично, равенство — =1 — ех+е'х' — еах" +... при е — 0 (1.7.9) 1+ ах Уиралскенпи 1.1. Определить при е -~0 порядок следующих выражений: е 1+ в1пе )Ге(1 — е), 4п'е, !000е'~т, !п О+в), !+сове' ыт веси т е, 1 — сове' 1+2е ~ е 1п — 1 Ме ! ~! 1 1п(1+2в)1 1 1.1- е сь1ые1 1е т йа 1.2. Расположить следующие выражения в ряд по убывающему порявсу при малых е: еа, емв, 1п(1пе"т), 1, еме 1пе-а, е1пе-т, е Ые, 1пе-т, вага, е, ев1пе-т. не обосновано при ах=-О(1), потому что правая часть его неравномерна для больших х.

В общем случае не обосновано также дифференцирование асимптотических разложений по такой переменной, как х, или по параметру возмущения е. Так же как при возведении в степень, дифференцирование, не будучи обоснованным, ведет к неравномерностям. Гл. 1. Безделие 1.3. Разложить каждое из следующих выражений прн малом з, сохранив три члена: (а) 1 — — ез! — — еЧ„ ! ! 2 3 (б) 11+е соз ))-т, (В) (1+ей)э+е и ) (г) яп (3+гаага+3'о)„з), (д) агсз)п ~ ) 1+ 2в — е' '";/!+а .4. ЬУ 2 ~ Э-Э, Э-*Э„~ (3~2) и — à à — д з — Ч)1 величину 6 прн ма.чем е. сохраняй трн члена.

1.3. Найти с точностью до второго порядка решение уравнения к=1+ехэ, е(( 1, н сравнить его с точным рещением при е=0,1 и к =0,001. 1.3. Показать. что асимптотическое разложение функции Е (Х) = 3! — ат (' соз 1 для больших х имеет вид 1 2! 4! г . / 1 3! 5! Р(х)=~ — — + —.— — '+... ) з!их+11 — — — + — ' —...) сов х.

х хз хз '1 хз хэ хз Сходнтси лн этот ряд? Оценить остаточный член сверху н показать, что при к сс он стремится к нулю быстрее, чем последний член разложения. 1.7. Найти при х=0 два члена разложения для з, если х=з — (агЗзз)— — (Звэг10эз). 1,3. пусть к=э+а(2 — (273) зггэ)+(4273)еэзтгэ.