1625914362-11a8036d73c00e672a09f4a0afc6cc0e (Сидоров, Федорюк, Шабунин 1989 - Лекции по теории функций комплексного переменного)

ББК 22Л61.5 С34 УДК 517.53/55(075.8) Наложены основы теории функций коиил~ кено~о гп ~ч псиного. Наряду с траднцноянымн разделами курса и конго подробно рассмотрены многозначныо аналитические фу««икки и элспсптпрпыо аспмптотическне методы. Кроме того, в ней рассмотрены аналого мыкая тоорил обыкновенных линейных дифференциальных -уравш,ппй второго порядка.

задачи Цнрнхле для уравнения Пуассона па плоскости, некоторые физические задачи теории поля, операционное нсчнслоппе. 2-е нзд.— 1982 г. Для студентов ннжепорно-фнзическпх в фнзнко-технических специальностей вузов. о1602070000 — 02793 89 033(02).09 18БХ 5-02-013954-8 1в«е) иелательство «наука», Главная релаииии физико-математическая литературы, гртз1 е иемеиеииами, 1ззц исправлеииае, 1заа Сн дорон Ю. В., Ф еда рвгк М. В., 92 п Л у и п и М.

И. Лекцпн но теории фуннцнй иоийлененого переменного: Учеб, для вузов.— 3-е нвд., вопр.— Мп Наука. Гл. ред. фна.-мат. лнт., 19Я9.— 180 с.— 1ЯПИ 5-02-0!3934-8. ОГЛАВЛЕНИЕ Предвслозке . Глава 1. Введение....... ° ° ° ° ° ° ° $1. Комплексные чпсла......., .. ° 2. Последовательвости в рлды комплаксвых чисел 3. Кривые к области ва комплакспой цлоскостп $4. Непрерывные фувкцав комплексвого перемевпого $5. Ивтегркровавве функций комплексвого перемевкого $6.

Фувкцшг згй з Глава П. Регулярвые фуввцив 7. дифференцируемые функции. Условия Ноши — Римана 8. Геометрвческвй смысл производной $ 9. Интегральная теорема Коши $10. Интегральная формула Коши М. Степеквые ряды 12, Свойства регулярных Фувкцкй 13. Обратвая фупкцвя 14.

Теорема едшютзеввостя $15. Аналитическое продолжение $16. Интегралы, зззвсзщие от параметра . Глаза П1. Ряд Лорава. Изолврозаввые особые точил одвозвачвого характера $17. Ряд Лорана $18. Изолкрозавкые особые точке одкозвачкого характера . $19. Теорема Лиуввлля Глава 17. Мвогозвачвме аяалитвчесвве фуввцвв . $20. Понятие авалаткческой функция $21. Функция 1п з $22. Степеввая фуввцвя.

Точки зетзлеввя авалитвческвх фуякпкй $23. Перзообразвая авалвтвческой фувкцвв. Обратвые трвговометрвче скво фувкцвк $24. Регулярвые зетзк аюшатвческвх фупкцвй 25. Гравкчвые особые точки 26. Особые точки авачкшческвх функций. Понятие о римавозой поверхвостк $27. Аналитическая теория обывкозеивых лвкейвых дпфферекцвальвых уразвеввй второго порядка Глаза Ч. 'Георпя вычетов в ее првложеввя $28.

Теоремы о вычетах $29. Вычпслевке определеввых ввтегралов с помощью вычетов 7 7 18 24 57 57 64 75 83 86 89 161 107 109 Ш 121 121 126 136 139 139 145 153 164 169 187 192 203 218 218 228 Оглавления 473 475 1 30. Принцип аргумента и теордма Руше...... 252 4 31. Рааложевие мероморфной фувкпяи на элементарные дроби 256 Г л а в а !Г!. Конформные отображения......., 267 $32.

Локальные свойства отображений регулярными фувкциямв 267 3 33. Общие свойства конформных отображений..... 273 3 34. Дробно-лвнейная функция......... 279 ! 35. Конформные отображения елементарными фуннциями .. 288 1 36. Принцип симметрии......,..., 3!2 4 37. Интеграл Крвстоффеля — Шварца...., ., 323 1 38. Задача Дирихле.......,,... 335 1 39. Векторные поля на плоскости........ 350 4 40. Некоторые фиеические задачи теории поля..... 358 Г л а а а УП. Элементарные аснмптотические методы.... 366 $41, Простейшие асвмптотические оценки...., 366 4 42.

Асимптотические рааложеиия.....,... 383 $43. Метод Лапласа............. 390 % 44. Метод стацяонарвой фазы...,....,, 402 $45. Метод перевала.......,..... 410 $46. Метод контурного интегрирования Лапласа..... 425 Гл а в а ЧП1. Операционное исчисление........ 436 1 47. Основные свойства преобразования Лапласа.... 436 1 48. Восстановление оригинала по изображению..., . 444 1 49. Применение преобразования Лапласа к решению линейных уравнений............. 457 ! 50. Колебании струпы под действием мгновенных толчков 464 Список литературы Предметный указатель ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга написана авторами на основе их более чем двадцатилетнего опыта преподавания теории функций комплексного переменного в Московском физико-техническом институте.

Эта книга является учебником для студентов высших технических учебных заведений с повышенным курсом математики. Авторы полагают, что она может оказаться полезной также при самостоятельном изучении курса ТФКП. Основное внимание в книге уделяется методам ТФКП, кото-' рые часто применяются в прикладных задачах (разложения в ряды, конформные отображения, вычисление интегралов с помощью теории вычетов, асимптотнческие методы). Материал книги авторы старались изложить так, чтобы максимально помочь читателю овладеть основами ТФКП.

С этой целью в книге подробно разобрано большое количество примеров. Авторы надеются, что эти примеры помогут читателю глубже усвоить теоретический материал курса и приобрести навыки в решении задач. Книгу условно можно разделить на две части. Первая часть (главы 1 — П1, У, У1) содержит тот необходимый минимум сведений по ТФКП, которым должен овладеть современный инженер-исследователь.

Глава 1 носит вводный характер, в ней содержатся основные сведения о комплексных числах и непрерывных функциях комплексного переменного. В главе П изложены основные свойства регулярных функций, включая понятие аналитического продолжения и аналитические свойства интегралов, зависящих от параметра. В главе 1П рассматриваются ряды Лорана и особые точки однозначного характера. Глава У посвящена теории вычетов и ее приложениям. Рассмотрено много важных типов интегралов от однозначных и неоднозначных аналитических функций, в частности интегральные преобразования математической физики (Фурье, Меллина, Лапласа), интегралы типа бета-функции, В главе У1 рассматрйваются свойства конформных отображений, подробно изучаются отображения элементарными функциями и даются приложения: задача Дирихле, векторные поля на плоскости, некоторые физические задачи теории поля.

пгедисловез Вторая часть (главы 1У, У11) рассчитана на более подготовленного читателя. Глава 1Ч посвящена многозначным аналитическим функциям. В ней подробно изучены аналитические свойства и приведены основные формулы для вычисления значений важнейших элементарных функций. Особое внимание уделяется вопросу о выделении регулярных ветвей многозначных аналитических функций. Эта глава содержит аналитическую теорию обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка. В главе т'11 изложены основные асимптотические методы (метод Лапласа, метод стационарной фазы, метод перевала, метод контурного интегрирования Лапласа и некоторые другие методы), В главе Ч1П рассмотрены основы окерацнонного исчисления.

Первое издание книги вышло в 1976 году. Для второго издания (1982 г.) книга была дополнена и частично переработана. Настоящее третье издание печатается с небольшими изменениями. Авторы с глубокой благодарностью вспоминают профессора В. В. Шабата, прочитавшего рукопись первого падания книги н сделавшего много полезных предложений.

Авторы Глава 1 ВВЕДЕНИЕ 3 1. Комплексные числа х,=х, и у,=у,; сумма и произведение двух комплексных чисел соответственно равны (х„у,)+(х„у,) = (х, + х„у, + у,), (хо У~) (хм Уз) =(хауз У~Ум х~У2+х2У~) ° Из формул (2), (3) вытекают, в частности, соотношения (х„ 0) + (х„ 0) = (х, +х„ 0), (х„ 0)(х„ 0) = (х,х„ 0), (2) (3) которые показывают, что операции над комплексными числами вида (х, 0) совпадают с операциями над действительными числами х. Поэтому комплексные числа вида (х, 0) отождествляются с действительными числами: (х, 0) = х. Комплексное число (О, 1) называется мнимой единицей и обозначается буквой ~, т. е.

1= (О, 1). Вычислим по формуле (3) произведение 1 ю'=Р. Имеем 0 =1 1-(0, 1) (О, 1)=(-1, 0)= — 1. 1. Определение комплексного числа. Комплексными числами называются пары (х, у) действительных чисел х и у, если для них определены понятие равенства и операции сложения и умножения следующим образом: 1. Два комплексных числа (х„у,) и (х„у,) считаются равиььви тогда и только тогда, когда х~ = х, и у, = уз. 2.

Су„злой двух комплексных чисел (х„у,) и (хм уз) называется комплексное число (х, + х„у, + у,), 3. Произведением двух комплексных чисел (х„у,) и (х, уз) называется комплексное число (х,хз — у уз, х уз+ хзу~) ° Для обозначения равенства, суммы, произведения и других операций над комплексными числами применяются те же знаки, что и для действительных чисел. Таким образом, по определеньпо комплексного числа (х„у,) =(х,, у,) тогда и только тогда, когда Гл. ь Введение Из формул (2), (3) вытекают также равепства (О, у) (О, 1) (у, 0)=(у, (х, у)=(х, 0)+(О, у)=х+ 1У.