1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (Мейз Дж 1974 - Теория и задачи механики сплошных сред), страница 8

ГЛ. !. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ 1.8. Доказать, что (О, . О), = О, ° О. Согласно (1.71), 0 = Рс есет и О, = Р;сесеп Поэтому Оц ° 0 = Р;е;ег ° Ррцерец — — 01сРрц (е. ° е ) есец и (О ° О) = Р!сРрц (е» ер) ецес = Ррцец (ер ° е!) есРя Ррцецер ° Ряе ес Оц О. 1.9. Показать, что (О Х и), = — и Х О,. 0 Х ч = ас (Ь, х ч) + а, (Ь, Х ч) + ° ° ° + ам (Ьм Х ч), (О Х «), = (Ь, Х «) а, + (Ь, Х «) а, + " ° + (Ьм Х ч) ам = — («Х Ь,) ас — («Х Ь,» ац — ° ° — («Х Ьщ) ам = — чХР,. 1.10. Пусть 0 = а! ! + Ь)1+ с(с(с, а г — радиус-вектор, г= = х! + у) -(- г(с. Показать, что уравнение г 0 . г = 1 представляет эллипсоид ах' + Ьу' + сг' = 1.

г ° О г = (х! + у)+ Ц ° (а! 1+ Ь! ! + ск Ь) ° (М + у! + хк) = (х!+ у!+ за) ° (ах! + Ьу!+ схк) = ахв+ Ьуц+ сгт 1. !.11. Для тензоров 0 = 3! ! + 2!1 — 1)с + 5)с(с н Г = 4!(с + + 61 ) — З(с) + )с(с вычислить н сравнить двойные скалярные произведения 0: Г н 0 ° Г. По определению аЬ с сд = (а ° е) ° (Ь б), следовательно, 0 с Р = 12+ 5= = 17. Аналогично аЬ сд = (Ь с) (а с)) и, следовательно, Р . р = 12 + + 3 + 5 = 20.

112. Определить диаднкн О = 0 Г н Н = Г О, если 0 и à — тензоры, указанные в задаче 1.1!. Воспользуемся правилом умножения диад аЬ ° сд = (Ь с) аб. Тогда С = (31 1+ 21 ! — 1 (с + Йс Ц . (41 (с + б! 1 — 3Ь ! + )с Ц 12! 1с + 121 1+ 31 ! — 11с — 1Яс 1+ Яс Ь. Подобным же образом Н (41 Е + 61 1 — 3(с ! + Ь Ь) ° (31 1+ 21 ! — 1 1с + Яс Ц = =2о! ь+ 12! ! — б! ь — бь)+ бе ь. 1.13. Исходя нз девятнчленной формы записи тензора второго ранга О, показать, что его можно представить в виде 0 (О 1)1 -(- + (О ° 1)17+ (О 1с) (с; показать также, что 1 ° 0 ° 1=0хх, !.О 1=Взят.д.

ЗАДЛЧИ С РЕШЕ«!ИЯМИ Напишем 0 в деаятичленной 4юрме и перегруппируем члены Р= (Раа«+ Рая $+ Ра„к) 1"+ (Р„„!+ Рка )+ Рая К) )+ Ъ + (Р «+ Ра -)'~- Р К) Ь = '= асс+ "е) + аай — (1$ ' !) 1+ (0 Э )+ (0 ' ") К Следовательно, 1 ° ас =1 ° (О 1) = 1 (Р„„«+ Ря„) + Ра„1с) Р„„, ! ° с«с=) ° (Р-!) =Ряс, ) ° да=! ° (О «) =Р„„и т. д. !.14. Показать, что для антисимметричного тензора второго ранга Л и любого вектора Ь выполняется формула 2Ь Л = Л„х Ь. Из задачи $.6,а имеем А = ессс+ еасе+ езсз! вследствие антиснмметрни теизора А можно написать 2А = (А — Аг), нли 2А = (е,с, + есс, + еаса — осе, — счет — саеа] = = (е,с, — с,е, + е,с, — с,еч + еаса — с,е,).

Позгому 2Ь А = [(Ь ° ес) с, — (Ь ° сй ес) + ((Ь . еч) сс — (Ь сг) ес)+ + ЦЬ . е ) — (Ь ° ) е )= = ((е, Х с,) Х Ь+ (е, Х сс) Х Ь -$- (ез Х с,) Х Ь) = (А„Х Ь). 1,15. Пусть 0 = б)«+ 31! + 4)с)с и и = 21 + )с, ч = б!. Показать ««епосредственным вычислением, что )у (и х ч) = ()ух и) ч. Так каи н Х ч = (21 + К) Х 5! = «ОЬ вЂ” ш, то 0 (и Х и) = (61 1+3! )+ 4$с$с) ° ( — 5$+ 10$с) = — 301-$-40«с. С другой стороны, 0 Х н = (6 11+ 3 $ ) + 4 $с й) Х (2 1+ !с) = — 6 $ й + 8К ) — 6 $ ) + 3 1 1 (О Х н) « = (3 с ! — 61) — 6! Ь+ ай 9 5) = — ЗО«+ 40$с.

)ь(1~~~ июи!'$( ))) рый получается при действии оператора )) на вектор г = 4! + 2! + б)с (рнс. 1.14). г'= О г = 121+ 81 — 81+2)+ +51=4!+ «О)+5К. Рис. 1.14. 46 Гл. !. млтемлтические основы и-18) =1+|Хг-1-г)+уй. т 1(й )+)Хг г!+) хй, тг = 1 (Ь) = Ь + й Х г = - у!+ к ) + Ь. Тогда (З= н|-)- ч)+ зги = (1 — г)+ уй) 1+(г1+1 — ха) )+ ( — у1+х)+Ь) Ь а = (т . Ь = (Ь„+ Ьзз — Ь у) | + ( — аз + Ьз + Ь х) ) + (Ьу — Ь„т + Ь ) Ь. Для проверки можно получить тот же результат, непосредственно раскрывая век.

тор.функцию: а=Ь+ЬХг Ь„|+Ь„)+Ь Ь+(Ьзг — Ьзу)1+(Ь х — Ь г))+(Ь у Ь х)К. 1.18. Выразить единичные векторы е, е, е, через 1, ), й и показать, что этот триэдр составляет правую систему, т. е. что е Х еа = = е,. ем (рнс. 1.1от найдем |е ш~" | (у) 6 ((((е!) ) ) Йепосредственным проектнрование, = (соьгрсоьВ) 1+ (сов|уз|и В) )— ~) г — (ып о) Ь, В ')|»|' .У ,,!Р:~ ' ев = ( ь! п 0) ! + (С|м 0) ) е = (ь!п ~рсоьВ)1+ (5|и грып 0) )+ Рис. 1.15. + (соь е) й; отсюда 1 со5 ю соь 0 со5 о 5!п Π— 5|п о — 5!п В со5 0 0 е Хее= е = (ып е соь 0) 1+ (51п юып 0) 1+ ((со550+ 5|п 0) соыр]Ь = ег.

1.19. Разложить тензор Р = 811-(- 4)й+ 6)1+ 71)+ 10)с) + -)- 2Ц на симметричную и антисимметричную части. 1.17. Определить диадик Р, который служит линейным векторным оператором для вектор-функции а = 1 (Ь) = Ь + Ь Х г, где г = к1+ у)+ г)с, а Ь вЂ” некоторый постоянный вектор.

При помощи 4юрл5ул (1.59) и (!.00) построим векторы ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Пусть $$ = Е + Р, где Е = Е„, и Р = — Рс. Тогда Š— с/ (О+ О) = с/ (61!+ 41 $с+ 4 $с(+ 6] $+ 61]+ 14] ] + + 10 $с 1+ 10 1 Ь + 2 $с ] + 2 ] $с) = 311+ 31]+ 71(с+ 3]1+ 7] ]+]$с+ та!+ +Ь]=Е,, Р = с/в ($$ — $$~) = с/з (4 с Ь вЂ” 4 К 1+ 6 1 1 — 61 1+ !ОЬ !в — 10 $ $с + 2Ь 1 — 2 ] $с) = — 3! ] — 31Ь+ 3] 1 — 1$с+ ЗЬ1+Ь]= — Р,.

1.20. Векторы а', а', а' образуют взаилсный базис для базисных векторов а„ао а, (не обязательно единичных), если а, . а! = б;у. Найти необходимые соотношения для построения взаимного базиса и выполнить зти вычисления для следующих базисных векторов: Ьс = 31 + 4) Ьз = — 1+ 2) + 2]с, Ьз = 1+ ) + 1с. Согласно определению, ас ° а' = 1, вэ ° а' = О, вв в' = О.

Следовательно, а' перпендикулярен векторам ав н вэ и поэтому параллелен вэ Х аз, т. е. ас = =- Л(вв Х зэ!. Так как вс а' = 1, то а, ° Лзв Х аз = 1 н Л= 1/(зс ав Х ав) = = 1/[всвваэ). Таким образолс, мы нашли общее правило получения взаимного базиса: авХвэ азХгч в,Хаэ ]аэв,а,] ' ]а,в,аэ] ' (в,авгч! ' /сля указанных базисных веиторов Ьс, Ьв, Ъэ илсеем 1/Л = Ьс Ьэ Х Ьэ = 12 н. следовательно, Ьс = (Ьэ Х Ьэ)/12 (] — $с)/4, Ьэ = (Ьз Х Ь,)/12 = — (сЗ + 1/4 + (с/12, (э (Ьс Х Ьв)/12 2 1/3 1/2 + ба/6.

Индексные обозначения — декартовы тензоры (3 1.9 — 1.16) 1.2!. В трехмерном пространстве расшифровать следующпе тензоРные символы (тензоРыдекаРтовы): Ац, ВО/, Кс/, а;7)/, асЬД/. Ап првдстввляегодну сумму: Ац = Ап+ Ам+ Аэвс Вс представляет три сумыыс П прн;=1 В„,+В„,+В,„, 2) при с = 3 Вэсс + Вмв+ Вмэ 3) при с =3 Вэы+ Взм+ Вззэ' Вс/ представляет девять компонент: /]сс, /$сэ, /7сз, /7эс, /7м, /7ээ, /7вс. /сзэ /сэз ГЛ. З.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ агТц представляет три суммы: 1) при 1=! а Т -(-а Т -)-а Т 2) при /=2 а,Т в+а Т +а,Тз, 3) при / 3 а,Т,+а,Т, +азТ„'; агЬ)Яг( прелстзвляет сумму девяти членов. Первое суммирование по ! изет агЬ15г! = азЬ;5ц+ азЬ(ЯЧ+ адЬ;5з/. Ззтелз каждое из зтик трек слзгземых сум- мируем по /: агЬ Яц = а,Ь,Я д+ а,Ь 5„-1- а,Ь 5, + азбзЯзз+ а ЬзЯ + + азЬзЯзз + азЬзЯзз + азЬз5зз + азьзЯзз, 1.22. В трехмерном пространстве вычислить следующие выражения, содержап!Ие дельту Кронекера Бц.

а) Ба, б) Бцбц, В) Бнбгдбзд, Г) Бгзб/д. Д) БЦАМ. в) ба = б,з+ без+ бдз 3. б) бцбц = бцбц+ бз(бз/+ бз;бзг = 3. в) Вцбгдбгд = бцбздб(д+ бз)бддб/д + бз,бздб;д 3. г) бггб/д бгзбгд+Вгзбы+бгзбзд=бгд д) 6ЦАзд бцАзд+ бз/Азд+ бз)лед= Агд. 1.23. /)Ля тензора Леан-Чнвнты ецд непосредственным распнсываннем по индексам показать, что: а) ецдедц 6, б) ецда,ад =* = О. в) Просуммируем сначала по П ецдедц ез(деды + е„дед 1 -)- ецдед, .

Затем суммируем по /, записывая тольио отличные от нуля члены: з тдедц = еыдедзд + езздед,з + емдедм + е,здедз + езтдз дз, + ез,дед„ Наконец, суммируем по й, опять остзвляя только ненулевые члены: ецдедц = ззззззы+ вззззмз+ змзезм + ззззема+ езззздз, + езмездз —— = (1) (1) + ( — 1) ( — 1) + ( — 1) ( — 1) + (1) ( В + (1) (1) + +( — 1) ( — !) = б. б) Суммируем по 1, потом по д: ецдаГад е,здазад+ зг,досад+ ег,да,ад езгзазаз + егззаза + егмазаз + евиазаз + егз аза, + з;„а,а,.

Из этого выражения получим: при 1 1 ецда;ад= а а — а,а, о, пРи ! = 2 ззуа(ад азад — аза, О, при ! = 3 ецда1ад= а,а,— аза, О. Заметим, что ецдагад является индексной формой записи векторного произведения вектора в самого нз себя и, следовательно, в Х в = О. 1.24. Определить компоненту /з данных ниже векторов: а) /, = ецдТ;д, б) /,. = Сс)Ь; — с) зЬМ в) Вг)/ь д) / =ез!АТ(д = емзТМ-(-ез„Т, = — Тзз-)- Тзз. аяддчи с Регкениями б) !д сд гЬг + сд зЬд + сд зЬд — с~ збг — сз зЬ, — сз еьз (сд г —, д) Ьг + (г з — сзл) Ью е) !д Вдг!1 -1 Вдг!е + Вдд!з.

1.25. Написать в развернутой форме и по возможности упростить выражение Рпхгх/, если: а) Рг/ РВ, б) Рп = — Рд. Имеем Рг/хгх/ Рг/хгк/ + Вд/х «/ + Вд/хдх/ = Рггхгхг + Ргдххкд+ 0 дхгхд + Вд х кг + Р ~х хд + + Рдвкдкз + Вмхдкг + Рздхзкд + Рдзхзхд. Поэтолгу а) Рг/хгх/ = Рм (кг)д + Р„(х,)д + Р,д (кз)д + 20, .тгх, + 20мхдхд + 20, х,хд; б) Рпх;х/= О, так как Рм = — В,х, Вгд — Рм н т.

д. 1.26. Показать, что ег/дед = бг б/ — бгчб!р. а) пРи 1' = 1, !-д=2, р=йи б) прис (/=1, / р=2. (В задаче 1.59 будет доказано, что зто тождество справедливо прн любом выборе индексов.) а) Положим(= 1,/ 2,р = 3, а= 2нзаметям, чтой — индекссумхгнроааняя н, следоаательно, пробегает значения 1, 2, 3. Тогда е,,дед ч е~медзд — — егдгегм+ е,ме, -1- е, е д = О. б, 6. — 6, б =6,А,— бмбм О. дм ем б) Пусть 1= 1, ! 2, р 2, д 1. Тогда ег/дедя егмездг — 1 н бгаб/ч — б,еб/р бгдбд, — б„ддд — 1 1.27. Показать, что тензор Вм егд,а/ антисимметричен. В соответствии с определеннем е .д перемена месгамн двух индексов ведет к нзмененню знака, так что В~д — — ег/да/ — (ед га/) = — (Вдг) — Вдг.

1.28. Пусть задан антисимметричный декартов тензор ВО и вектоР Ьг = '/, епдВ/д. Показать, что Врч — — е гбо Умножая данный вектор на е; н воспользуемся тождеством, доказанным а задаче !.26: ерчгь! '/д е,ег;дВ,.а д/, (бюбед — брдбс/) В/д г/, (Вар — Вчр) 1.29. Непосредственным вычислением найти компоненты метрического тензора в сферической системе координат, изображенной на рис. 1.7,б. Формулу (1.От) запншем е виде я = (дхг/дар) (дхг/дач). Нумерапн|о коордннат прнмел1 такую, как показано на рнс. 1.16 (г = Оь ф Од, О Од).