1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (Мейз Дж 1974 - Теория и задачи механики сплошных сред), страница 7

(1.134) !.20. степени тензОРОВ ВТОРОГО Р»нг» 11, = '13(ТаТ, — Т,Т<,), 1П, =(Т;;~ =де1Тц (1.135) (1.136) Т= О Л(2> О (1.13Т) Если Л<п = Л<2), то диагональный вид тензора не зависит от выбора осей, соответствующих Л<1> и Л<2>, и нужно установить только главную ось, соответствующую Ла>.

Если все главные значения равны, то любое направление является главным. Если главные значения упорядочены, то принято обозначать их через Л<!>, Л,пн Л<<н> и располагать в порядке убывания: Л,>> -» Л<н> ) Л<пп. Преобразование от системы Ох,х,х, к системе главных осей Ох)хэхз дается элементами таблицы х, а<, =и', (!) (2) а„= и', а„= пз (1) азэ = аз (1) а„= пэ (2) аээ =аз (2) х аэ< = п< (3> <3> аээ = аэ <з> а33 — аз хэ где и, — направляющие косинусы 1-го главного направления. <л 1.20. Степени тензоров второго ранга. Соотношение Гамильтона — Кали Непосредственным матричным умножением квадрат тензора Т<; получается как внутреннее произведение ТмТ»;, куб — как произнедение ТмТ» Т; н т.

д. Таким образом, если Т<). представлен в диагональной форме (1.137), то п-я степень этого тензора (и соот- называются соответственно первым, вторым и третьим имвариаз<тлами тензора Тт. Три корня кубического уравнения (1.133), обозначенные Л,<>, Л<2>, Ла>, называются главными значениями тензора Т<;.

У симметричного тензора с действительными компонентами главные значения действительны; если все они различны, то три главных направления взаимно ортогональны. В главных осях таблица из компонент тензора приводится к диагональной форме: ГЛ. Е МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ветствующей матрицы) дается формулой ),"» О О Х~п 0 0 (Т)" = 0 Х<~ О, или У" = О ХК, 0 . (1.138) О О Л<"„ о о )5, Сравнение (1.138) н (1.137) показывает, что тензор Тц и все его це- лые степени имеют одни и те же главные оси. Все главные значения удовлетворяют уравнению (1.133), а матрица У'" имеет диагональный внд (1.138), поэтому сам тензор Т будет удовлетворять уравнению (1.133). Таким образом, У' — 1,УЕ+ П,У.— П(т3 = О, (1.139) где 3 — единичная матрица.

Это соотношение называется соотно- шением Гамильтона — Кэлш Умножим каждый член этого соот- ношения (1.139) на.Г пв правилу перемножения матриц и придем к равенству У' = 1,У'" — П,У'+ П1,У. (1,140) Исключая У' из (1.140) и (1.139), будем иметь У' = (1т — Вт) У'+ (1Пт — 1тПт) У'+ 1тП(тР. (1.141) Продолжая зту процедуру, можно получить все целые положитель- ные степени У в виде линейных комбинаций У', У' и Р. 1.21. Тензорные поля, Дифференцирование тензоров Тензорное поле ставит в соответствие каждой точке пространства и каждому моменту времени (х, 1) тензор Т (х, 1), где радиус- вектор х меняется в заданной области пространства, а 1 — в заданном интервале времени.

Тензорное поле называется непрерывным (или дифференцируемым), если компоненты Т (х, 1) являются непрерывными (или дифференцируемыми) функциями х и й Если компоненты тензора зависят только от х, то тензорное поле называется спшционариым. В ортогояальной декартовой системе координат, где радиус- вектор любой точки имеет вид х= к,еь (1.142) поля тензоров различного ранга можно записать в индексных и символических обозначениях, например а) скалярное поле ~р = ~р(кь 1), или ~р = <р(х, 1), (1,143) ! ««КРИВОЛИНЕВНЫР ИНТЕГРАЛЫ. ТЕОРЕМА СТОКСА б) векторное поле о; =о,(х, «), или ч =ч(х, 1), в) поле тензора второго ранга Тп = Тп(х, «), или Т = Т(х, 1).

(1.144) (1.145) д ч=е,— = еде дх~ (1.146) Частное дифференцирование по переменной х, иногда изображают нижним индексом после запятой, как показано в следующих примерах: а) — = фм дф х« д»РГ дх.дх» дТ« д) — = Т дх» А« 6) — = оы, дч ВТГ е) — О=Тп» . дх»дх,„ в) — „= ось дО( дх; Эти примеры показывают, что при дифференцировании оператор д, приводит к тензору на один порядок выше исходного, если !остается свободным индексом (случаи «а» и «в»), и к тензору на один порядок ниже исходного, если !становится индексом суммирования (случай «6»).

Здесь для справки приведены некоторые важные дифференциальные операторы, часто употребляемые в механике континуума: др" ига«) ф = 1«ф = — е„или д ф = ф „ (1.147) дх, н д~о« = юьь 61чч ='«ч, го! ч = Ч Х ч, Ч ф =Ч.Т7ф, (1.148) (! .149) (1. 150) или еп«д;о« вЂ” — еп»о»,ь диф = (р,и. или или 1.22. Криволинейные интегралы. Теорема Стокса Пусть в данной области пространства в каждой точке кусочно гладкой кривой С, изображенной на рис. !.10, определена вектор- функция Г = Г (х). Если дх — элементарный вектор каеаглельной Дифференцирование компонент тензора по координате х, обозначается дифференциальным оператором д/дхи или сокращенно в индексной записи д„что указывает на то, что это тензорный оператор первого ранга. В символических обозначениях для записи этой операции употребляется общеизвестный символ д (набла), который расшифровывается так." 40 ГЛ.

Ь МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ к кривой в произвольной точке Р, то интеграл "В 1Г (х= — 1 Г дх, с кл (1.! 51) взятый вдоль кривой от Л до В, называют криволинейеям интегралолг от функции Г по контуру С. В индексных обозначениях интеграл (!.151) имеет вид Ыоа ) Г,д г = 1 Г,(хг. (1.152) с (аг1л Рнс. 1.11. Рнс.1.10. (рнс. 1.11) можно представить в виде интеграла по любой двусторонней поверхности Б, границей которой служит контур С, т. е. ~Г г(х=) и. (7 зс Г)сБ, (1.153) с 5 где п — единичный вектор нормали на положительной ') стороне 3, а сБ — элемент поверхности, показанный на рисунке.

Формулу (1.153) можно записать и в индексных обозначениях: Ргг(х, = ~ пгег1АГа,гг(Б, 5 (1. г54) ') Выбор положительной стороны 5 однозначно определяется направлением обхода контура С по правилу правого винта.— Прин. перев. Теорема Стокса утверждает, что криволинейный интеграл от функции Г вдоль замкнутой стягивающейся в точку кривой С 4! ЗАДАЧИ С РЕП!ЕИИЯМИ 1.23. Теорема Гаусса — Остроградского Теорема Гаусса — Остроградского (теорема о дивергенции) дает преобразование интеграла по объему в интеграл по поверхности.

В обычной формулировке теорема утверждает, что для векторного поля ч = н (х) ЙччИ = ~п чт(Я, (1.! 55) где и — единичный вектор внешней нормали к поверхности 5, ограничивающей объем )', внутри ксторого определен вектор н. В индексных обозначениях формула (1.155) принимает вид рс,а/ = ) о;п,е(Я. (! .156) Теорема Гаусса — Остроградского в форме (1.156) может быть обобщена на поля тензоров любого ранга. Так, для произвольного тензорного поля Тца... теорема утверждает, что ') Тца...ат(У = ) Тиа...пр(Б.

(1.157) Р З ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Алгебра векторов и диадиков (2 1.1 — 1.8) 1.1. В ортогональной декартовой системе координат (рис. 1.12) определить: а) единичный вектор, параллельный вектору ч = 21 + + 3) — 6(4; б) единичный векки Р (1, О, 3) и (~ (О, 2, !). 2()аф1(1(а~' '!! а) (т( =о= $( (!'; н (Π— 1) 1+ (2 — О) !+ (! — 3) а = = — 1+ 21 — Ис, !н(=у( — ц +(2)а+( — 2)а=з.

Рне. 1.12. Таким образом„ н = — Ча!+ Ча) — Чаа налраален от Р к !7 н Ча! а(а!+ Чаа нанРаален от () к Р. Гл. !. мАтемАтические ОснОВы 1.2. Доказать, что вектор и = а[ + Ь) + сй перпендикулярен плоскости, заданной уравнением ах + Ьу + сг = Л (рнс. 1.13). и Пусть Р (хь у,, г,) н Я (хэ, уэ, гэ)— две любые точки этой плоскости.

Тогда акт+ Ьуг+ сгг = Л и ахэ+ Ьуэ+ сгэ Л, а вектор, соединяющий этн точки, есть и = (хэ — х,) 1+ (уэ — у,) ) + (гг— — гг) й. Проекция вектора ч нв направление а равна и ° ч 1 -: м-:-' .' ' ' -.Л5~"..'"'::.-..У вЂ” ' = — ((х, — к,) 1+ (у, — у,) 1+ Рис. 1.13. -1- (г — г,) Ц ° [а! + Ь) + сЦ = 1 л — л — (ах, + Ьу, + сг, — ахт — Ьу, — сг,) = — = О.

Так кзк н — любой вектор, лежащий в плоскости, вектор э перпендикулярен этой плоскости. 1.3. Пусть г = х!+ у)+ г[г — вектор, Идущий из начала в произвольную точку Р (х, у, г), а с[ = аг + Ь) + с)г — некоторый постоянный вектор. Показать, что (г — с[) г = 0 есть уравнение сферы. Раскрывая скалярное произведение, будем иметь (г — б) ° г = [(х — а) 1+ (у — Ь) 1+ (г — с) Ц ° [хт + у) + гЦ = хэ + уэ + г' — ах — Ьу — сг = О. Добавляя гу/4 (аэ+ Ь'+ с')/4 к пращи и левой частим этого уравнения, получаем (х — а/х/э + (у — Ь/2)э + (г — с/2)э = (б/2)э, т. е.

уравнение ореры с центром в точке б/2 и радиусом б/2. 1.4. Доказать что (а Ь Х с)г = (а г) Ь Х с + (Ь г) СХа+ + (с г)а Х Ь. Рассмотрим произведение а Х [(Ь Х с) Х г1. Раскроем векторное произвеле. ние в скобках а Х [(Ь Х с) Х г) = а Х [(Ь . Г) с — (с г) Ь[ = — (Ь ° г) с Х в — (с ° г) а Х Ь, С другой стороны, полагая Ь Х с ч, напишем в Х [(Ь Х с) Х г) = а Х (э Х г) = (а ° г) Ь Х с — (а ° Ь Х с) г. Таким образом, — (Ь г)сХа — (с ° г)аХЬ (а ° г)Ьхс — (а ° Ьхс)г и, следовательно, (а Ь Х с) г = (а ° г) Ь Х с+ (Ь г) с Х а -[- (с . г) а х Ь Зто тождество полезно, когда перемещение твердого тела определяется через перемещения трех произвольных его точек.

ЭАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ 1.5. Показать, что а Ь М с = О, если векторы а, Ь и с линейно зависимы. Проверить линейную зависимость (или независимость) следующей тройки векторов: и=31+1 — 2к, и=41 — 1 — к, те = ! — 21-)-(с. Венторы а, Ь и с линейно зависимы. если существуют константы )ь р и ч, не все равные нулю и такие, что Ха + ИЬ + тс = О. Это векторное уравнение дает в компонентах три скалярных хат+ рЬ„+ тс„= О, Ааэ + рЬэ + тсэ — — О, Хат + ИЬг + тсг = О.

Эта система имеет ненулевое решение для А, р н ч только в том случае, когда детерминант иэ коэффициентов обращается в нуль ! а„Ь, с„) аэ Ьэ с, =О, аг Ьг сг Х с = О. Зля предложенвой тройки векторов а это эквивалентно равенству а ° Ь в,т,м 3 4 — ! — ! =О. ! — 2 1 Следовательно, эти векторы и, т, и линейно эависимы. В самом деле. т = и + + и. 1.6. Показать, что любой тензор второго ранга, заданный в виде суммы Л! диад, можно свести к сумме трех членов, если использовать базисные векторы е„е„е, в качестве: а) первых сомножителей, б) вторых сомножителей в диадах.

Пусть 0 = агьг+ агЬг + ... ал,ьч = а!Ь! (г = 1, 2, ..., !г). а) Запишем все первые сомиожители диад а! через баэисиые векторы: а; = = аг,.сч+ а,ег+ а;е,= алей тогда 0= а егъг = е! (арь;) = е!кь где 1= =1.2,3. б) Аналогично, представляя Ь! в виде Ь! = Ь),ел получаем 0= а!Ь!е! = = (Ьла!)е! = йге), где 1 = 1, 2, 3. 1.7. Показать, что для произвольных диадика Р и вектора н справедливо равенство Р и = ч Р,. Пусть 0 = агЬг+ агЬг + ° . + аАЬ!ч. Тогда 0- ч = в, Огг т)+аг(Ьг т'!+ . + ам(Ьн ч) = (т Ьг) вг+ (т Ь,) аг+ " + (т ° Ьч) а,ч — — т 0г.