1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (Мейз Дж 1974 - Теория и задачи механики сплошных сред), страница 6

Например, (М х Л!)-матрица А, или [Ац], задается таблицей А„А„... Агн А [А ] Ам Агг . ° Агн (1 .1 ' 1) Аы! Аыг ° .. Амн Если М = И, то матрица называется квадратной матрицей порядка !у. Если М = 1, то получается (! х Ж)-матрица; она обозяачается [аы! и называется мшприцей-строкой. Соответственно (М х 1)-матрица обозначается [ан] и называется мшприцей-столбцом. Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой. Квадратяая матрица, у которой все элементы, стоящие вие главной диагонали, равны нулю, называется диагональной лгатрицей.

Если все диагональные элементы (от А„до Анн) такой матрицы равны единице, то матрица называется единичной. (!у х М)- матрица Л, полученная путем перемены местами строк и столбцов т (М Х гч)-матрицы Л, называется транспонированной матртгвй или транспозицией гс. Матрицы, имеющие одинаковое число строк и столбцов, можно складывшпь (или вычитать) поэлементно. Умножение матрицы [Ач] на скаляр )!, дает матрицу [ьАг;].

Произведение двух матриц лэв определено только в том случае, когда число столбцов в первом множителе А равно числу строк во втором множителе Я. Произведением (М х Р)-матрицы на (Р х !ч)-матрицу будет (М х гч)- матрица. Умножение матриц обычно обозначается простым написанием их символов один за другим, например Айр — б', или [Ац] Щь] = [См]. (1.112) Операция умножения матриц, вообще говоря, некоммутативна; ййу ~ эгА. Квадратная матрица А называется вырог!сденной, если ее определитель [ Ац [ равен нулю. Алгебраическим дополнением А;; ьп мАТРнцы элемента Ац квадратной матрицы А называется величина Ат - ( — 1)'+'Ми, (1.113) где Мц — минор элемента Аи, т.

е. определитель квадратной матрицы, остающейся после вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится элемент Ач. Если каждый элемент матрицы А заменить его алгебраическим дополнением, а затем поменять местами строки и столбцы, то полученная таким образом матрица называется присоединенной (илн взаимной) к матрице А. Для любой невырожденной квадратной матрицы А= (Ач) существует единственная обратная матрици А 1, которая по определению равна присоединенной к А матрице, деленной на определитель матрицы А, т.

е. [А;;] 1А! Из определения обратной матрицы (1.114) следует, что А 'А =АА '-7, (1.114) (1.115) (1. 116) Совершенно ясно, что 7 является матричным представлением дельты Кронекера бц и единичного диадика !. Матрица А, для которой А г — ! А . называется ортогональной. Для ортогональной матрицы А имеет место следующее равенство: Аг! (~г (1.! 17) Так как в трехмерном пространстве можно любой тензор второго ранга выразить в девятичленной форме (!.53), а компоненты его записать в виде квадратной таблицы (1.62), оказывается крайне полезным представлять тензоры второго ранга (диадики) квадратными матрицами третьего порядка.

Тензор первого ранга (вектор) можно записать либо в виде строки, т. е. (1 х 3)-матрицы, либо в виде столбца, т. е. (3 х 1)-матрицы. Хотя каждый декартов тензор, ранг которого не выше двух (диадик, вектор, скаляр), можно представить матрицей, не каждая матрица представляет тензор. Если обе матрицы третьего порядка в произведении А.У = б' представляют тензоры второго ранга в трехмерном пространстве, то операция умножения матриц эквивалентна внутреннему произведению теизоров и в индексной записи выглядит так: (1.116) э дж.

мжи где 7 — единичная матрица, у которой по главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю. Она называется также тождественной матрицей, так как обладает свойством 7А = А7 = А. 34 ГЛ. Ь МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ здесь индексы С 1, Ь принимают значения 1, 2, 3. Расшифровка формулы (1.118) дает правило умножения матриц по принципу «строка на столбец»: элементы 1-й строки первой нз перемножаемых матриц умножаются поочередно на элементы Ь-го столбца второй матрицы, эти произведения суммируются и даютэлемент,стоящнй напересечении 1-й строки и Ь-го столбца результирующей матрицы. Некоторые произведения такого рода, часто встречающиеся в механике сплошной среды, приведены здесь для справок и сравнения.

а) Скалярное произведение векторов: а ° Ь=Ь ° а=Л, [аи][Ьп! =[Л], (1.119) а,Ь,=Ь,.аз =Л, [а„ам аэ] [а,Ь, +а,Ь, + а,Ьз]. б) Скалярное произведение вектора на тензор второго ранга: а Е=Ь, аа =Я, а;Ен = Ьн [ан] [Еи] [Ьи], (1.120) Еы Езз Е„Е«з Езз Еэз Е,з [а,ЕЫ+ а«Ем+ а»Е»и Езэ — — а,Е„+ а,Е„+ а»Езз Е а,Е, +а,Е, +а,Е,„]. [а„ам а,] в) Скалярное произведение тензора на вектор Е.

а =-с, Жа= с, Ена; = сь [Еи] [а,з] = [сп], (1. 121) Ем Е„Е„ Е„Е„Е,» а,ЕН + а«ЕЕ«+ азЕ«з а«Е»з+ а«Е«з+ а»Е«з а»Е», + а«Е»з+ а»Е«з 1 1.18. Симметрия диадиков, матриц и тензоров Согласно определению (1.36) (или (1.37)), диадик 0 называется симметричным (или антисимлзетричным), если он равен (илп противоположен по знаку) сопряженному с ним диадику О,.

Подобно этому тензор второго ранга Ви симметричен, если (1.122) и анпзисимметричен, или кососимметричен, если Вн = — Ид. (1.123) Поэтому аналогично (!.38) )9ч можно разложить на два слагаемых: В;; = '7, (Ин+ )9 д + '7 (170 — Ок), (1.124) ьм. гл»вныв зн»чвння н гл»вные н»не»аления илн (в сокращенной записи) Р, = Рпп+ Рпп, (1.125) где индексами в круглых скобках обозначена симметричная часть Рн, а индексами в квадратных скобках — аятнсимметричная часть.

Изменение порядка индексов у тензора второю ранга эквивалентно перемене местами строк и столбцов з соответствующей ему матрице; следовательно, квадратная матрица А симметрична, если она равна своей транспозиции »»~. Таким образом, симметричная матрица »» третьего порядка имеет только шесть независимых ком. понент и записывается в виде А„А»з Азз Аз Аз А„ Агз Азз Азз (1.126) Антисимметричная матрица равна своей транспозиции с обратным знаком. Поэтому антисимметричная матрица Я третьего порядка имеет нули по главной диагонали и, следовательно, содержит только три независимые компоненты. Она выглядит так: о в, в, — в„о ℠— „— Вз, О (1.127) Свойства симметрии можно распространить на тензоры более высокого порядка (выше второго).

В общем случае произвольный тензор называется симметричным относительно пары индексов, если значение каждой его компоненты не меняется при обмене местами этях индексов. Тензор антисимметричен по паре индексов, если замена их друг на друга ведет к изменению знака, но не абсолютной величины компоненты. Вот примеры свойств симметрии у тензоров более высокого ранга: а) Ян» = )»'и; (симметричен по й н 1), б) еи» = — е»к (антисимметричен по Й и 1), в) би» = би» = бн» = бл» (симметричен по 1 и ), й и лз), г) йн» = »ч»» = Ьи Ь» (симметричен по всем индексам).

1.19. Главные значения и главные направления симметричных тензоров второго ранга В дальнейшем будут рассматриваться только симметричные тензоры с действительными компонентами. Это несколько проще в математическом отношении, а так как тензоры, важные для механики 2" Гл. ь математические основы сплошной среды, обычно симметричны, то мы не многим жертвуем, принимая такое ограничение. Для каждого симметричного тензора Т!и заданного в некоторой точке пространства, и для каждого направления в этой точке (характеризуемого единичным вектором и!) существует вектор, определяемый внутренним произведением а! = Тупр (1,128) Здесь Тп можно рассматривать как линейный векторный оператор, который ставит в соответствие направлению и, вектор и! Если направление таково, что вектор а! параллелен и,, то указанное внутреннее произведение выражается скаляром, умноженным на и!.

В этом случае Тс;п! —— Лп! (1.129) и направление и, называется главным направлением или главной осью тензора Ту. С помощью тождества и; = бвп! соотношению (1.129) можно придать форму (ТΠ— Лби) и! = О, (1.! 30) которая представляет систему трех уравнений для четырех неизвестных и! и Л, соответствующих каждому главному направлению. В развернутой записи система, которую следует разрешить, ил!ест вид (҄— Л) и + Тмп, + Т!,,и, = О, Т, и + (҄— Л) п~ + Тмп = О, (1.131) Те!пт + Тмп, + (Тм — Л) и, = О. Заметим прежде всего, что при любом Л существует тривиальное решение и, = О, однако нашей целью является получение нетривиального решения.

Кроме того, вследствие однородности системы (1.131), не теряя общности, можно ограничиться только решениями, для которых п,п, = 1. Начиная с этого момента мы будем требовать, чтобы это условие выполнялось. Для того чтобы система (1.130), или, что то же самое, система (1.131), имела нетривиальное решение, определитель из коэффициентов должен быть равен нулю, т. е. (Ту — Лб„) = О. (1.132) В развернутом виде это кубическое уравнение относительно Л: Лз — 1,Л2+ П,Л вЂ” Ш = О, (1.133) которое называется характеристическим уравнением тензора Тп, а его скалярные коэффициенты 1, = Тп —— 1г Ту (след матрицы (Т!!)).