1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (Мейз Дж 1974 - Теория и задачи механики сплошных сред), страница 5

Для декартовых тензоров нет различия между контравариантными и ковариантными компонентами, н поэтому в выражениях, представляющих декартовы тензоры, принято пользоваться исключительно нижними индексами. Как будет показано далее, в законах преобразования, определяющих декартовы тензоры, частные производные в общих тензорных определениях (1.80) и (1.81) заменяются константами.

1 13. Заковы преобразования декартовых тензороа. Дельта Кронекера. Условия ортогональности Пусть Ох,х,ха и Ох1хзкз — две ортогональные декартовы системы координат с общим началом в произвольной точке О (рис. 1.9). Можно считать, что система со штрихами получена из системы без штрихов поворотом осей около начала координат или отражением осей относительно одной из координатных плоскостей, или, может быть, комбинацией того и другого. Если символом а11 обозначен косинус угла между 1-й осью системы со штрихами и (чй осью системы без штрихов, т.

е. а1; = соз (х;, х;), то ориентацию какой-либо оси каждой системы относительно другой системы удобно задавать таблицей х, а„ а„ а22 а 21 а„ 27 щз. законы пгвоагхзовлнпя двкзгтовых тензогов или же тензором преобразования а„ а„ а„ А = ам а„азз пм Озз и Из такого определения ач следует, что единичный вектор е~ оси х, в соответствии с формулой (1.48) и соглашением о суммировании представляется выражением е, = аме, + а, е, + + а,вез —— анен (1.88) Ясно, что, обобщая зто равенство, любой базисный вектор можно записать в виде е; = аоер (1.89) Произвольный вектор ч, изображенный на рис. 1.9, можно выразить через его компоненты в системе без штрихов: ъ = и;е7 (1.90) и в системе со штрихами: ч = п7 е~.

(1.91) Рис. н9. Заменяя е; в сумме (1.91) зквнвалентным выражением (1.89), получаем и = и;а„еь (!.92) Сравнивая формулы (1.92) и (1.90), обнаруживаем, что компоненты вектора в исходной и преобразованнсп системах связаны соотношением 07=о О. (1.98) Это равенство дает закон преобразования декартовых тензоров первого ранга. Как видно, он является частным случаем общих законов преобразования тензоров первого ранга, которые были представлены формулами (1.80) и (1.77). Меняя ролями в предыдущих рассуждениях базисные векторы со штрихами и без штрихов, получаем соотношение, обратное (1.93): и', = а„.ир (1.94) ГЛ.

Ь МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ~1, если ! =1, !О, если 1~!. (1.96) С помощью дельты Кронекера условия, которым должны удовле- творять коэффициенты уравнения (1.95), можно записать следую- щим образом: ауам = 6!м (1.97) В развернутом виде соотношение (1.97) состоит из девяти равенств, которые называются условиями ортоавнальности, или ортонормироеанностил Это условия, наложенные на направляющие косинусы ау." Нб соотношения (1.93) и (1.94) можно скомбинировать иначе и почучить равенство й~ = ауамоь, что дает другую форму условий ортогональности: аиам = бм.

(1.98) Линейные преобразования типа (1.93) или (1.94), коэффициенты которых удовлетворяют условиям ортогональности (1.97) или (1.98), называются ортогональными преобразованиями. Поворот осей координат и отражение их относительно какой-либо координатной плоскости являются ортогональными преобразованиями. Дельту Кронекера иногда называют оператором замены, потому что она дает, например, следующие преобразования: (1.99) или буры = бирж+ бвврвл+ бмрзь = Рм.

(1.1 00) В силу этого свойства ясно, что дельта Кронекера является аналогом в индексйых обозначениях единичного тензора второго ранга 1, определенного формулой (1. 54). Нужно заметить, что в формуле (1.93) у аи свободным был второй индекс, а в выражении (1.94) свободный индекс является первым.

Выбрав надлежащим образом немые индексы и объединив (1.93) и (1.94), можно написать о! айолло,. (1.95) Так как вектор ч является произвольным, то этоуравпениедолжно сводиться к тождеству о, = о,. Поэтому коэффициент ауам, значение которого зависит от индексов 1 и й, должен равняться либо 1, либо 0 в зависимости от того, одинаковые или различные численные значения принимают ] и й. Для представления величин такого типа, как аиам, можно пользоваться дельтой Кронекера, которая определяется следующим образом: 29 сж гмножвнив тннзогов Используя условия ортогональности, легко найдем соотношение, обратное (1.102) и дающее правило перехода от компонент в си- стеме со штрихами к компонентам в системе без штрихов.

Оно вы- ражается формулой Тц = агха,)Т»». (1.103) Законы преобразования декартовых тензоров первого и второго рангов обобщаются для декартовых тензоров ранга (т'." Тц».. = ажажа»„,...Т„ (1.104! 1.14. Сложение декартовых тензоров. Умножение на скаляр Декартовы тензоры одинакового ранга можно складывать (или вычитать) покомпонентно согласно следующему правилу: Ац».

. ~ Вц». = Тц».„.. (1.105) Су»наа тензоров есть тензор того же ранга, что и слагаемые. Заметим, что одийаковые йндексйрас))сложены в одной и-той -же последовательности в каждом члене. Умножение вое Ио1)понент тензора на данный скаляр дает новый тензор того же ранга При умножении на скаляр Хтипичные примеры записи йроизведения в индексной и в символической форме имеют вид Ь,=бац или Ь=Ха, Вц = Мц, или В = ).А. (1.106) (1. 107) 1.15. Умножение тензоров Вце~уни,и произвед~цем двух тензоров произвольного ранга называется новый тензор, у которого компоненты образованы умножением каждой компоненты одного тензора на каждую компоненту другого. Ранг полученноГо те))йора равен сумме рангов сомножителе . Типичнйми примерами внешяих произведений являются следующие выражения: а) а,Ь! — — Тс;, в) 1:)цТ» = Фц»,. б) юг» = ац»., г) вц»ц„= Оц», .

В соответствии с правилом преобразования векторов (1.94) диада и,о~ в системе координат со штрихами имеет компоненты и,.п, = (а» ц ) (ало ) = а;,ами ц„ (1.101) Естественным обобщением формулы ()Л01) будет правило преобразования любого декартова тензора второго ранга Тц = аыамТиц зо гл |. млтвм»тичвскнв основы индексные обозначения символические обозначения а,Ь, а;Е|» = ~» а,Ер = й~ Е||Р|т — В|т ЕцЕ- .= В| а-Ь а|Ьг а,Ег» а Е=г Е а=Ь Е ° Г=С Е Е = (Е)». ЕцР»т ЕцЕ» Иногда пользуются свертками тензоров четвертого и более высокого рангов по нескольким парам индексов.

Вот два таких Как видно из этих примеров, внешние произведения получаются простым написанием перемножаемых тензоров друг за другом. (Заметим, что именно эта операция образует из двух векторов ди- аду.) Свер|яыаанием тензора по двум свободным индексам называется такая операция, когда два индекса обозначаются одной и той же буквой, вследствие чего они становятся индексами суммирования. В результате свертывания получается снова тензор (свертка), по- рядок которого на две единицы меньше, чем у исходного.

Приведем несколько типичных примеров сверток. а) Свертки тензора Тц и диады и, и;: та = тп+ т»»+ т, и,п, = и,п, + и,п» + и»п». б) Свертки тензора Еца»: Е|,а; = Ь,, Еца, = сн Е,а»= е) . в) Свертки тензора ЕчР»м. Ецр| = 0» . ЕцРы = Рц, Енсом = Нг», ЕчР» = Си, ЕиР»т = К»т Ецер»|' = г |». Внутренним произведением двух тензоров называется резуль- тат операции свертывания, примененной к внешнему произведению данных тензоров, причем совпадавшие индексы должны фигуриро- вать по одному в каждом из сомножителей.

Для справок приведем некоторые часто используемые в механике сплошной среды произ- ведения тензоров, записанные в индексных и в символических обо- значениях. Внешнее Внутреннее произведение произведение 1лб ВектОРное пРОизВедение тенэОР леви-чизиты примера: Еирд свертываетси в Еууу или Е:Г; ЕОЕь„Е„ свеРтываетсЯ в ЕдЕ, Е, или (Е)'. 1.16.

Векторное произведение. Тензор Леви-Чивиты. Бивектор Чтобы записать векторное произведение а Х Ь в индексных обозначениях, удобно ввести тензор третьего ранга еуд, известный как тензор Леви-Чиви>пы (аль>пернируюи)ий тензор). Этот часто используемый тензор определяется следующим образом: 1, если значения индексов 1, /, й образуют четную перестановку из 1, 2, 3; — 1, если значения индексов 1, /, й образуют нечетную пересгпановку иэ 1, 2, 3; О, если значения 1, 1, й не Образуют перестановки из 1, 2, 3, т. е. если два или все три индекса принимают одинаковые значения С помощью этого тензора векторное произведение а Х Ь = с представляется в индексной записи так: вида,Ьд = се (1.108) Так же можно представить и смешанное произведение а Х Ь с = =к: (1.109) )>.

буда>Ь,сд. Это же смешанное произведение формулой (1.52) задано в виде определителя, поэтому не уднвителыю, что тензор Леви-Чивиты часто используют и для выражения величины определителя третьего порядка. Заслуживает внимания то обстоятельство, что е;;д подчиняется правилу преобразования декартовых тензоров третьего ранга только в случае таких преобразований, у которых бе! аэ — — 1 (например, при повороте осей).

Если >ке преобразование таково, что де!ау = = — 1 (например, преобразование отражения относительно одной из координатных плоскостей, в результате чего правая система координат превращается в левую), то формулу преобразования ечд следует писать со знаком минус. Такие тенэоры называются псевдо>ЛЕНЗоралби. Объект, определяемый равенством О; = ЕьдТ>д, (1.110) называется бивектором произвольного декартова тензора второго ранга ТО и является аналогом в индексных обозначениях вектора Т, диаднка Т, который был определен формулой (!.15). гл 1 млтемлтпческие основы 1.17.

Матрицы Матричные представления декартовых тензоров Прямоугольная таблица элементов, заключенная в квадратные скобки и подчиняющаяся определенным правилам обращения с ней, называется матрицей. (М Х Л!)-матрицей называется матрица, которая имеет М (горпзонтальных) строк иЛ!(вертикальных) столбцов элементов. В символе Ач, которым изображают любой элемент матрицы, первый индекс означает номер строки, а второй — номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент. Сама матрица обозначается символом своего типового элемента в квадратных скобках или той же заглавной рукописной буквой, что и алел!енты матрицы.