1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (Мейз Дж 1974 - Теория и задачи механики сплошных сред), страница 4

У.'„, еиьигпА. Тензоры влюрого ранга обозначаются символами с двумя свободными индексами. Так, произвольный тензор второго ранга 0 будет записываться в одной из трех возможных форм Рп Р( ~ или Р~г Рйч В смешанной форме точка указывает, что 1 — второй индекс. Тензорные величины второго ранга могут выглядеть по-разному, например А„ А„ А„ АП = Ам ААА Ам А„-А„А„ (1.62) Таким же образом компоненты тензора первого ранга (вектора) в трехмерном пространстве можно наглядно изобразить упорядо- ченными строкой нли столбцом из компонент в виде а, а;=(ан пм а,) нли а;= а, (1.63) а, В общем случае в Ф-мерном пространстве тензор л-го ранга будет иметь д А компонент.

Ц Ап',. В..;А, бниАОА. Логически продолжая вышеуказанную схему, тензор третьего ранга записывают символом с тремя свободными индексами. А символ, который не имеет связанного с ннм индекса, такой, как, например, А, изображает скаляр, нлн тензор нулевого ранга. В обычном физическом пространстве базис состоит из трех некомпланарных векторов, и любой вектор в этом пространстве полностью задается своими тремя компонентами.

Поэтому индексы у величин аи представляющих вектор а в физическом трехмерном пространстве, принимают значения 1, 2, 3. Согласно этому, подразумевают, что символ а, представляет сразу три компоненты ам а„а,. Таким образом, иногда символ а, можно толковать как 1-ю компоненту вектора. а в других случаях — как сам вектор. В трехмерном пространстве, где оба индекса 1, 1 меняются от 1 до 3, символ Ап представляет девять компонент тензора второго ранга А. Часто тензор Ам задают подробно, записывая все девять его компонент в виде квадратной таблицы, заключенной в большие скобки: ГЛ.

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСИОВЫ систем равенств следуюшими тнуравнение в ии- Удобство индексных обозначений для записи в компактной форме мы проиллюстрнруем двумя пичными примерами. В трехмерном пространстве дексной записи (1.64) хд —— сцг1 представляет в развернутой форме три уравнения: Х1 = С1 171 + С1агэ+ Сдэга х, =с„г,+с„г,+сэг, хэ = сэдгд + сээга + саэгэ. (1.65) Если 1 и) принимают значения 1 н 2, то равенство в индексной записи Адд = В1РС! О,„ (1.

66) в развернутой форме дает четыре соотношения: Ап — — ВИСИРп + ВИСпРп+ ВпСд,Р„+ ВдэСдэРээд Ап — — ВИСМРп + ВИСп Рп + ВпСМР11+ ВпСээРп . (1 67) Аэд = ВэдСИР11 + ВэдСдаРда + ВээС11Рп + ВэаСдаРаа А„= „фРИ + ВИС„Рп + ВээС11Рэд + В„СаэР„„ Если же 1, ! = 1, 2, 3, то формула (1.66) даст девять соотношений, каждое из которых имеет девять членов в правой части. 1.!О. Соглашение о суммировании в символических обозначениях ч =ар„ (1.69) где ! — индекс суммирования. Здесь обозначения по сушеству символические и в то же время использовано соглашение о суммировании. При таком сочетании обозначений нв действует правило свободддых индвддсов, принятое в чисто индексном обозначении тензорных величин.

Соглашением о суммировании часто пользуются в связи с представлением векторов и тензоров в символических обозначениях через базисные векглодьд, снабженные индексами. Так, если декартовы оси и единичные векторы базиса, изображенные на рис. 1.5, переобозначнть, как показано на рис. 1.8, то произвольный вектор ч можно записать в виде ч = о,е, + оаеа + иэе„ (1.68) где о„о„оэ — декартовы компоненты вектора ч.

Применяя к этому равенству соглашение о суммировании, его можно переписать в сокрашенной форме: !.И. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ ТСНЗОРА Тензооы второго ранга тоже могут быть представлены суммированием по базисным векторам, снабженным индексами. Так, диаду аЬ, задан. ную в девятичленной форме (1.53), можно записать в виде аЬ = (азе,) (Ь;е;) = ай!ее!.

(1. 70) В этом выражении важно сохранять порядок написания базисных векторов, Подобным же образом девятичленная форма любого тензора второго ранга 0 может быть представлена в компактных обозначениях так: О = Е>пеьер (1.71) Рис.1.8, О' = Оз(х', хз, х') (1.72) определяют для любой точки (х', х', х') системы х! новый набор ее координат (О', О', О') в системе О'.

Относительно функций О', связывающих две совокупности переменных величин (координат), предполагается, что они однозначные, непрерывные и дифференцируемые. Определитель д6' дх' даз дх' дОз дх дб' дез дхз дхз да' даз дхз дхз Щз доз дхз охз (1.73) 1.11. Преобразование координат. Общее понятие тензора Пусть х! — произвольная система координат х', к', х' в трехмерном евклндовом пространстве и О' — любая другая система координат О', 0', 0' в том же пространстве. Здесь цифры, написанные сверху, являются индексами, а не показателями степени, степени х можно записывать при помощи скобок, например так: (х)' (х)з Итак, цифры (или буквы), написанные сверху, как только что было указано, служат индексами.

Формулы преобразования коорди- нат Гл. ь мхтвмхтнческпв основы или в компактной форме (1. 74) называется якабианом преобразования. Если якобиан не обращается в нуль, то уравнения (1.72) можно локально единственным образом разрешить относительно х~: ' = хг(О', О', О«). (1.75) Системы координат х и О, использованные при написании (1.72) и (1.75),— самые общие: они могут бьггь любыми криволинейными или декартовыми. Из (1.72) найдем компоненты дифференциала г(О: (О' = —.

Ы. дГ> дкГ Это равенство определяет класс тензоров, называемых контра- вариантными векторами. В общем случае величины Ь', связанные с точкой Р, представляют компоненты контравцриамтного гяснзорп первого ранга, если при преобразовании координат этн величины преобразуются по закону Ь' = —. Ь!, ~М (1. 77) дк' причем частные производные вычислены в точке Р. В (1.77) Ь~ являются компонентами тензора в системе координат к~, а Ь~ — его компонентами в системе О'. В общей теории тензоров для обозначения контравариантных тензоров используют верхние индексы. Это делается по той причине, что для координаты обозначение х' предпочтительнее, чем х,; однако нужно заметить, что тензорный характер имеют только дифференциалы ~й„ но не сами координаты.

Естественное обобщение правила (1.77) приводит к определению контравариантного тензора второго ранга, компоненты которого подчиняются правилу преобвазования (1.?8) Контравариантные тензоры третьего, четвертого и более высокого порядков определяются аналогичным образом. Слово «контравариангпный> использовано выше„чтобы отличить эти тензоры от тензоров другого типа, называемых ковириавтнами.

В общей теории для изображения ковариантных тензоров используются нижние индексы. Типичный коаариан«пвый вектор образуют частные производные от скалярной функции по координатам. 25 !ЛЕ МЕТРНЧЕСК!!и ТЕНЗОР. ДЬККРТОВЫ ТЕНЗОРЫ действительно, если гр = ср (х', х', хр) — такая функция, то д!р д р дк! (1.

79) дк! В общем случае величины Ь; называются компонентами ковариантного и!ензора первого Ранга, если они преобразуются по правилу (1.80) Здесь Ь! являются ковариантными компонентами вектора в системе 0', а Ь! — компонентами в системе х!. Коварианптые гпенэоры второго ранга подчиняются закону преобразования дк дк' о (1.81) Ковариантные тензоры более высокого порядка и смешанные тензоры, например т дОР дкк дке дк'Р дОР дОР (1.82) определяются очевидным образом.

(1.84) 1.!2. Метрический теизор. Декартовы тензоры Пусть х! представляют систему ортогональных декартовых координат в евклидовом трехмерном пространстве, а О! — любую другую систему ортогональных прямолинейных или криволинейных координат (например, цилиндрических или сферических) в том же самом пространстве. Вектор х, имеющий декартовы компоненты х', называется радиусом-вектором произвольной точки Р (х', х', хр) в декартовой системе.

Квадрат дифференциала расстояния между близкими точками Р (х) н (1(х + !(х) дается формулой (е(з)Р !(хр!(х! (1.83) Из преобразования координат х' = х' (Ог, ОР, 0') получим связь между их дифференциаламн: !(х' = — !(ОР. (1.86) дОР Тогда выражение (1.83) перейдет в следующее: Щ с(0 с(0 ярд !(0 с(0 (1.86) где тензор второю ранга д, = (дх'lдОР) (дх'/дОР) называется метрическим или фундаментальным тензором пространства. Если 0' 26 ГЛ. 1.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ образуют тоже ортогональную декартову систему, скажем х, то дх1 дх' (1.87) дх д' где б, — делыпа Кронекера (см. 2 1.13), т. е. б, = О, если р ~ 21, иб =1, если р=д. Система координат, для которой квадрат бесконечно малого элемента длины всюду имеет вид (1.83), называется системой однородных координат.

Преобразования, переводящие одну систему однородных координат в другую, являются орлюгональными, и если ограничиться только ортогональнымн преобразованиями„то тензоры, определенные таким образом, называются декартовыми тензорами. В частности, это верно для законов преобразования ортогональных декартовых систем координат с общим началом.