1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (Мейз Дж 1974 - Теория и задачи механики сплошных сред), страница 3

й 1.7). Единичный диадик ! характеризуется следующим свойством: ! ° У=У.!=ч (1.25) для всех векторов ч. и если Л и р — скаляры, то (Л + р) аЬ = ЛаЬ+ раЬ, (Ла) Ь = а (ЛЬ) = ЛаЬ. (1.19) (1.20) ! 6 дилды и дплд:|ки Векторные произведеиия ч Х 0 и 0 Х т являются диадиками, которые определяются соотвегствеиио формулами чх 0=(ч ха,)Ь,+(ъ'Хае)Ь,+ +(ч Ха,)Ь, =Г, (1.26) 0 х ч = а, (Ь, х ч) + а, (Ь, х т) + ° . + а„(Ьн х ч) = С.

(1.27) Скалярное произведеияе двух диад аЬ и сд по определеиию есть диада вида аЬ сд = (Ь с) ад. (1.28) Пользуясь формулой (1.28), легко усмотреть, что скалярное произведение любых двух диадиков 0 и Е тоже является диадиком: 0 Е=(а,Ь,-)-а,Ь,+ +анЬн) (с,д,+с,д,+ °" +с д )= =(Ь, ° сл)а!8!+(Ь, с,)а,де+ +(Ь, с )анди = С. (1.29) Диадики 0 и Е называются взвил!но обратными, если Е 0=0 ° Е=Е (1.30) Для обратных диадиков часто используются обозпачеиия Е = 0 ' и О=Е '.

Дважды скалярное, сметанное и дважды векторное произведения диад аЬ и сд по аналогии можно определить следующим образом: аЬ ! сд = (а с) (Ь д) = )'» (скаляр), (1.3Ц аЬ ><сд =(ах с)(Ь д) =Ь (вектор), (1.32) аЬ хсд = (а с)(Ь х д) = д (вектор), (1.33) аЬ |сд = (а х с)(Ь х д) = пи! (диада). (1.34) Пользуясь этими формулами, легко получить дважды скалярное и векториое произведения теизоров второго ранга. Некоторые авторы двойное скалярное произведение диад определяют так: аЬ . сд = (Ь с) (а д) = ).

(скаляр). (1.35) Диадик 0 называют самосоаряженным или симметричным, если 0 О, (1,36) и антисимметричныл|, если 0 = — О,. Каждый диадик можно представить в виде суммы симметричного и аитисимметричиого диадиков, причем это представление едииствеипо. Действительно, для любого диадика 0 можио написать 0 = '/, (О + Р,) + '/е (Π— О,) = С -1- Н, (1.38) гл ! млгямкп$чвскнс основы где С, = '/, (Р„+ (0,),) = '/,(О, + 0) = С (симметричный) (1.39) и Н, = '/,(О,— (О,),) = '/,(О,— О) = — Н (антисимметричный).

(1.40) Для того чтобы установить единственность такого разложения, предположим, что существует другое разложение 0 = Са + Н*; тогда С*+ Н* = С + Н. (1.41) Равенство, сопряженное этому, будет С* — Н* = С вЂ” Н. (1.42) Почленное сложение и вычитание (1.41) и (1А2) приводит соответственно к треб)емым равенствам С* = С и Н* = Н. 1.7. Системы координат. Базисные векторы.

Триэдр единичных векторов Относительно выбранной системы координат вектор можно задавать его компонентами в этой системе. Выбор системы координат произволен, но в некоторых сн!у! '""~ туациях бывает выгоднее пользоваться специальной системой. Задать систему осей координат— ! это значит задать единицы измерепия длин векторов и указать направления осей в пространстве, чтобы можно было определить ориентацию векторов.

Общеизвестную ортогональн!/п ТГ =- — '"'! ' — — ' декартову систену координат Охуг обычно представляют взаимно перпеидикулярными осями, показанзя ными на рис. 1.5. Любой вектор Рис. 1.б. ч в такой системе можно задать в виде линейной комбинаш!и трех произвольных некомпланарных векторов, которые называются базисными векторами. Через базисные векторы а, Ь, с и соответствующим образом выбранные скалярные коэффициенты к, )л, ч вектор и выражается так: (1 43) ч =- Ха -1- (лЬ + тс.

ьт системы коогдинлт Базисные векторы по определению линейно независимы, т. е. уравнение Ха+ рЬ+ тс = О (1А4) удовлетворяется только при А = и = т = О. Говорят, что совокупность базисных векторов для данной системы координат образует базис этой системы. В ортогональной декартовой системе в качестве базиса обычно берут набор единичных векторов 1, 1, й, направленных вдоль осей координат, как показано на рис. 1.5.

Эти базисные векторы образ) ют правый триэдр единичных векпшров, для которых 1х)=к, )ай=(, к х !=) (1.45) 1 ° 1 = 1 ° ) = (г - к = 1, 1 ° 1 = 1 ° $с = (г ° з = О. (1.46) ряс. Ьа Такой набор базисных векторов часто называ т орпюнормированным базисом. Вектор т, изображенный на рпс. 1.6 стрелкой, можно представить в виде линейной комбинации единичных векторов 1, 1, Рл т = о„( + ое) + о,)г, (1.47) в которой декартовы компоненты о = в.

1=осози, о„= т ° 1= осоэР, о, =и к =осоэу являются проекциями и иа оси координат. Согласно формуле (1.7), единичный вектор направления т дается выражением е„= т/о = (сова)! + (сов(1) 1+ (сову) Е. (1.48) Вектор т произволен, следовательно, для любого единичного вектора его направяяюи(ие косинусы являются его декартовыми компонентами. В декартовых компонентах скалярное произведение векторов а и Ь записывается в форме а .

Ь=- (а,)+ ае)с+ а,к) (Ь„( + ЬД+ Ьр) = а„Ь„+ а,Ь„+а,Ь,. (1.49) !8 гл. ь математические основы Лля тех же двух векторов векторное произведение а х Ь имеет вид а Х Ь = (аЬ, — а,Ь) 1+ (аа܄— аЬ)1+ (а„Ьн — аЬ))т. (1.50) а 6 Рис. Кт. а — цилиндрическая система координат; б — сферическая система координат. Последнее выражение часто записывают в виде определителя 1 ) Фт (1.51) ахЬ= а, аа аа Ь, Ь„ Ь, с элементами которого оперируют, как с обычными числами. Смешанное произведение векторов тоже можно представить через компоненты в виде определителя а„ ан а, са с„ с, (1.52) (аЬс) = Диада аЬ через декартовы компоненты выражается так: аЬ = (а„( + аа) + аа(т) (Ь,1 -(- Ь„1 -1- Ь,(т) = = ааЬ„т 1+ ааЬа1 1+ акЬ,1 Й + + анЬ„)с1+ а„ЬЯ+ а„Ьд)с(т + + а,Ь„(т1 + а„ЬД+ а,Ь,Ыт, (1.53) !9 1Д.

ЛИНЕИНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ фУНКЦНН. ДИЛДНКИ Из-за того, что выражение (1.53) состоит из девял1и членов, оно называется дееят11членной формой диады аЬ. Любой тензор второго ранга можно записать в девятнчленной форме. Девятичленная форма единичного диадика представляется через единичные векторы 1, 1, й следующим образом: ! = — 1 ! + ! ! + Егй.

(1.54) Кроме уже рассмотренной ортогональной декартовой системы, в дальнейшем широко используются системы криволинейных координат, такие, как цилиндрическая Я, 6, г) и сферическая (г, 6, гр), изображенные на рис. 1.7. С этими системами связаны триэдры еднничных базисных векторов (ею ез, е,) и (е„ез, ер), показанные на рисунке. Однако в этих случаях базисные векторы пе имеют постоянных направлений и поэтому, вообще говоря, являются функциями точки. 1.8. Линейные векторные функции. Диадики как линейные векторные операторы Говорят, что вектор а является функцией другого вектора Ь, если а определен„ как только задан Ь. Это функциональное соотношение выражается формулой а = Е (Ь).

(1.55) Функция Е называется линейной, если для любых векторов Ь и с и любого скаляра Х имеют место равенства Е (Ь + с) = Е (Ь) + Е (с), (1.56) Е Р,Ь) = ЛЕ (Ь). (1.57) При использовании декартовых кол1понент вектора Ь равенство (1.55) принимает форму а = Е(Ь„!+ Ь„)+ Ь,!1); (1.58) в случае линейности Е это можно переписать так: а = Ь,Е(1) + Ь„Е(!)+ Ь,Е((1). (1.59) Пусть в формуле (1.59) Е (Е) = ц, Е Ц) = ъ, Е (11) = в, так что а = ц(1 . Ь) + т ()с Ь) + ъч(й Ь) = (НЕ+ ъ)г+ ий) . Ь. (1.60) Видно, что а представляет собой скалярное произведение диадика на вектор, т. е.

а=0 Ь (1.61) где 0 = ш + т! + Ий. Это показывает, что любая линейная векторная функция Е может быть выражена произведением днадика на 20 Гл. ь мАтемАтические ОснОВы вектор. В формуле (1.61) диадик 1) служит линейным векторным опершпором, который, действуя на векторный аргумент Ь, переводит его в иктор-Функцию а.

1.9. Индексные обозначения. Интервал изменения индексов и соглашение о суммировании Компоненты тензора любого ранга н сам тензор можно наглядно и кратко представить с помощью индексных обозначений. Эти обозначения состоят в том, что к характерной, или основной, букве, представляющей интересующую нас тензорную величину, добавляются верхние илн нижние буквенные индексы. Типичными примерами, иллюстрирующими употребление индексов, являются тензорные символы а„Ь', То, Р;~, епдч )сл. По правилам индексных обозначений буквенный индекс может встречаться в каждом члене один или два раза.

Если индекс употреблен один раз, то подразумевается, что он принимает значения 1, 2, ..., Л', где )У вЂ” заданное положительное целое число, которое определяет размерность индекса, т. е. интервал его изменения. Не- повторяющиеся индексы называются свободными. Тензорный ранг данногочленаравенчислу свободных индексов в этом члене. Правильно написанные тензорные соотношения имеют одинаковые свободные индексы в каждом члене. Если индекс употреблен дважды, то подразумевается, что этот индекс принимает все значения из своего интервала изменения и члены, соответствующие каждому значению индекса из этого набора, суммируются. В этом так называемом соглашении о суммировании повторяющиеся индексы часто называют немыми, так как их замена на любые другие буквы, не использованные в качестве свободных индексов, не меняет значения члена, в который онн входят.

Вообще говоря, в правильно написанном выражении ни один индекс не встречается более двух раз. Если для желаемого представления какой-либо величины совершенно необходимо использовать некоторый индекс более чем дважды, соглашение о суммировании употреблять не следует. По числу и расположению свободных индексов непосредственно можно судить о тензорном характере величины, выраженной в индексных обозначениях.

Тензоры первого ранга (векторы) обозначаются основными буквами с одним свободным индексом. Так, любой вектор а изображается символом с единственным верхним или нижним индексом, т. е. в одной из двух форм а,, а'. Ь9. ИНДЕКСНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ В следующих выражениях, имеющих только один свободный индекс, тоже можно узнать тензоры первого ранга: ацЬБ г"ИА.