1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (Мейз Дж 1974 - Теория и задачи механики сплошных сред), страница 2

Вследствие линейности и однородности тензорных преобразований тензорные уравнения, верные в одной системе координат, верны и в любой другой. Такая инеарианпиосов тензорных соотношений относительно преобразований координат является одной из основных причин того, что тензорное исчисление весьма полезно в изучении механики сплошной среды. 1.2.

Тензоры. Декартовы тензоры. Ранг тензора Если имеют дело с любым преобразованием одной произвольной системы криволинейных координат в другую, то тензоры называют обычными тензорами; если же ограничиваются преобразованиями однородных систем координат, то тензоры называют декароюеыми. Так как болыцая часть механики сплошной среды может быть изучена прп помощи декартовых тензоров, в этой книге термин «тензор» будет означать <декартов тензор», если особо не оговаривается, что рассматривается более общий случай.

Тензоры можно классифицировать по рангу, илп порядку, в соответствии с частным видом законов преобразования, которым они подчиняются. Та же классификация отражается и в числе компонент тензора в и-мерном пространстве. В трехмерном евклидовом пространстве, таком как обычное физическое пространство, !а ГЛ. Е МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ число компонент тензора равно 3", где Л' — порядок гензора. Тепзор нулевого ранга задгется в любой системе координат в пространстве любого числа измерений одной компонентой; такие тензоры называются скалярами и выражают физические величины, характеризуюшиеся только численным значением.

Тензоры первого ранга имеют три координатные компоненты в трехмерном пространстве, называются векторами и представляют величины, которые характеризуются как численным значением, так и направлением. Тензоры второго ранга называются диадиками и описывают некоторые характеристики, важные в механике сплошной среды. При математическом изучении механики сплошной среды также определяются и часто используются тензоры более высокого ранга, в частности третьего и четвертого (триадики и тетрадики).

!.3. Векторы и скаляры Некоторые физические величины, такие, как сила и скорость, характеризующиеся и численным значением, и направлением, можно изображать в трехмерном пространстве направленными отрезками, которые подчиняются закону сложения по правилу параллелограмма. Так~~е направленные отрезки являются геометрическими представлениями тензоров„первого ранга и называются векторами. Рис. е! Графически вектор — просто соответствующим образом направленная стрелка, имеющая длину, пропорциональную величине (модулю) вектора.

Векторы равны, если онн одинаково направлены и имеют равные длины. Единичным вектором называется вектор, у которого длина равна единице. Нулевой вектор имеет нулевую длйну и неопределенное направление. Отрииательным по отношению к данному пазывастся вектор с тем же модулем, но противоположно направленный. Такие физические величины, как, например, масса и энергия, которые характеризуются только величиной, относятся к тензорам нулевого ранга, т. е. к скалярам. В символической, или гиббссвой, системе обозначений векторы изображаются жирными прямыми буквами, например а, Ь и т. д. Скаляры обозначаются светлыми курсивными буквами, например а, Ь и т.

д. Единичные векторы, кроме того, отмечают крышечкой над жирной прямой буквой. На рис. 1.1 показаны произвольные векторы а и Ь, единичный вектор е н два равных вектора с и й. г.г. ВектОРБОе сложснне. увгггогкенгге ВектОРА нА скАляР Абсолютную величину произвольного вектора а обозначают просто а или, чтобы подчеркнуть векторную природу объекта, используют символ (а ). 1.4. Векторное сложение.

Умножение вектора ив скаляр Сложение векторов подчиняется правилу параллелограмма, согласно которому сумма двух векторов изображается диагональю параллелограмма, смежньнш сторонами которого являются слагаемые векторы, отложенные из одной точки. Этот закон сложения эквивалентен правилу пгреугольника, по которому суммой двух век- 6 Рвс. 1.2. торов является вектор, идущий из начала первого вектора в конец вгггг-ля гч чгг ее ° г г ч н гг что начало второго совпадает с концом первого. Графическое построение, соответствующее сложению векторов а и Ь по правилу параллелограмма, показано на рис.

1.2„а. Алгебраически операция сложения выражается векторным равенством а+Ь=Ь+а=с. Вычитание вектора выполняется путем прибавления отрицательного вектора, как сделано, например, на рис. 1.2, б, где использовано правило треугольника. Таким образом„ а — Ь = — Ь+ а =- б. (1. 2) Рис. 1.2, в иллюстрирует свойство коммутативности и ассоциативности операций сложения и вычитания векторов в соответствии с равенствами (а + Ь) + й = а + (Ь + а) = Ь. (1.3) Улгножение вектора на скаляр в общем случае дает новый вектор, имеющий то же направление, что и исходный, но друг) ю длину.

Исключение составляет умножение на нуль, которое дает в результате нулевой вектор, и умножение на единицу, которое не меняет вектора. При умножении вектора Ь на скаляр т в зависимости от численного значения т возможен один из трех случаев, представленных на рис. 1.3. 12 гл.

ь млтемАтические основы Операция умножения вектора на скаляр ассоциативна и дпстрибутпвпа, т. е. (1.4) (1 .5) (1 .6) т (пЬ) = (тп) Ь = п (т Ь), (т + и) Ь = (и з т) Ь = тЬ + п Ь, т (а + Ь) = т (Ь + а) = та + тЬ т>1 м<0 о<„<1 Ряс. !.3. (1.7) 1.6. Скалярное и векторное произведения векторов Скалярным произведением двух векторов а и Ь называется скаляр А=а ° Ь=Ь а=абсозО, (1.8) где Π— наименыпий угол между векторами, как показано на рис. 1.4, а. Скалярное произведение вектора а па единичный вектор е дает проекцию а на направление е.

о Ряс. !.4. Векторным произведением а на Ь называется вектор ч, заданный формулой ч = а х Ь = —. Ь Х а = (ай з)пй) е, (1,9! Отметим еше, что в результате умножения вектора на величину, обратную его модулю, получается единичный вектор того же направления. Эта операция выражается равенством Ь = Ь!'Ь. 1З оа диады и дихдики где 6 — угол между векторами а и Ь, меньший чем 160', а е — единичный вектор, перпендикулярный к их плоскости и направленный так, что поворот по правилу правой руки вокруг е на угол 6 переводит а в Ь. Модуль ч равен площади параллелограмма со смежными сторонами а и Ь, затененного на рис. 1.4, б.

Векторное произведенпе некоммутативно. Смешанным произведением называется скалярное произведение двух векторов, один из которых сам является векторным произведением: а (Ь х с) = (а х Ь) ° с = а Ь Х с = Х. (1.10) Из этой формулы видно, что скалярное и векторное умножение здесь можно менять местами. Так как векторное умножение должно выполняться первым, скобки пе нужны и, как показано, их можно опустить. Это произведение иногда записывают как 1аЬс1.

Величина Х смешанного произведения равна объему параллелепйпеда с ребрами а, Ь, с. Двойное векгйррнае произведение — это векторное произведение двух векторов, один из которых сам является векторным произведением. Для представления векторного произведения а на Ь х с часто бывает полезно следующее тождество: ах (Ь Х с) =(а с)Ь вЂ” (а Ь)с=в. Из формулы (1.11) видно, что в лежит в плоскости векторов Ь и с. 1.6.

Диады и диадики Диадой называется неопределенное произведение двух веипоров а и Ь, которое 'йо опрвдпленпю задается написанием векторов один за другим, например аЬ. Неопределенное произведение в общем случае некоммутативно, т. е. аЬ чь Ьа.

Диадиком 0 называется тепзор второго ранга; он всегда может быть представлен в вйде суммы конечного числа диад: 0 = а,Ь, + а,Ь, + . + а„Ь . (1.12) Однако зто представление неединственно. В символических обозначениях тензоры второго ранга (диадикн) изображаются заглавными жирными буквами, как это сделано выше. Ещи д..каждой диаде4жрльулы (1 12) первый и второй сомножители поменять местами, то полученный тензор называется еопряженнам исходному и записывается так: 0, = Ь,а, + Ь,а + . + Ь, а„.

(1.13) Если каждую диаду в сумме 0 в формуле (1.12) заменить скалярным произведением соответствующих векторов, то получится скаляр, Ьт ГЛ. Ь МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Ы ~ д~дЧад д+ д О,=а, Ь,+аа Ь,+ °" +а„Ь„. (1.14) Если каждую диаду в сумме 0 в формуле (1.12) заменить векторным произведением составляющих ее векторов, то результат будет называться вектором диадика 0 и записываться так: О,=а,хЬ,+а,хЬ,+ ° ° +анмЬ„.

(115) Можно показать, что 0„0, и О, не зависят от выбора представления (1.12). Неопределенное произведение векторов Обладает свойством дистрибутивпости: а (Ь + с) = аЬ + ас, (1. 1 б) (а+ Ь)с = ас+ Ьс, (1. 17) (а+ Ь) (с+ б) = ас+ ай+ Ьс+ Ьб, (1.1В) Если ч — любой вектор, то скалярные произведения ч 0 и 0 ч тоже являются векторами, которые определяются соответственно формулами ч ° 0=(ч а,)Ь,+(ч ° ад)Ь,+ ." +(У а„)Ьн=п, (1.21) 0 ч =а,(Ь,. ч)+а,(Ь, ч)+ .. +ам(Ь .

ч) =и. (1.22) Два диаднка 0 и Е ровны тогда и только тогда, когда для любого вектора ч ч ° Р = ч ° Е илн 0 ч = Е ° ч. (1.23) Единичиьдй дпадиб 1 — это такой диадик, который представляется в виде !=ее,+ее,+ее„ (1.24) где е„ е„ е, — векторы любого ортонормнрованпого базиса в трех- мерном евклидовом пространстве (см.