1625914690-aaf8497578f2caff9b9bf1ca7388ac38 (Мейз Дж 1974 - Теория и задачи механики сплошных сред), страница 10

Так нак (( (а (а' при определении о(. уже были использованы соотношения л(л( — — 1, условия ортогональносги для( = й выполнены автоматически. Умножив элементы любой строки (столбца) на соответственные элементы любой другой строки (столбца) и сложив эти произведения, убедимся, что для решения, полученного в задаче 1.43, условия ортогональности Ф выполнены и для ! ть й. Чтобы система к тому же была правой, необходимо, чтобы п(з( )( Х п(з( = пп(- Таким образом, ег еа ее ! (Г~2 1('г' 2 Π— ! ('Рг2 (Д~ 2 О = (т(а+ т(,) е, е,.

Рис. 1.!9. Наличие знаков + у величин а( в задаче 1.43 указывает на то, чго существуют две системы главных осей х; и х; . Как показывает рис. 1.19, главные направления х образуют правую систему, а х; — левую. ЭАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ 1А5. Показать, что матрица тензора Ти задачи !.43 может быть приведена к диагональной (главной) форме преобразованием т Т(/=а( а/еТ>м (или в матричной записи т ь =АУА ). О Ц)'2 — !/ 2 0 192 1/1'2 > 0 О о о 1/1' 2 1/)' 2 0 — !/г' 2 1Д/ 2 0 с о о 1/2 )г2 Π— 2 РО2 2)/2 0 (Т /)= 0 1/)~ 2 — 1/~2 о 1/)/2 !/)/г о о О О О~ 3 — 1 О 3 — ! 01 10 — 6 0 66„6'- [ — О 61[ — 6 6 1 [ 6 3 Характеристическое уравнение для этой матрицы таково: 10 — Л вЂ” 6 0 — 6 10 — Л О = (1 — Л) ((10 — Л)з — 361 = (1 — Л) (Л вЂ” Я) (Л вЂ” 16) = О, 0 0 1 — Л откуда ЛП> = 1, Л(2) = 4, Л(з> = 16. Подставляя эти значения в (!Д31) и учитывая условие пгп; = 1, получаем для Л(» — 1 9п(»> — Оп(2)) = 01 - ап'," + 9п(2' > = % нлн п() =и(>) =О, л('> = + 1; 1.46.

Доказать, что если все три главных значения 3(», Л(2>, Л(з> симметричного тензора второго ранга различны, то главные направления взаимно ортогональны. Доказательство проведем зля направлений, соотвегсгвукОщнх Л(2> и Л(з. Для каждого из них выполняется соотношение (1.129), так что тг ип О = л п((2) и Т.л(З) = Л п(Э>. Уь>кожин первое иэ этих равенств на п(З), а второе на л(2>: Т ..пийп(З) = Л п(2)п(З> 6/П( ПО (2)П( ПО' Т „(3) (2) Л п(з) (2) г/и/ лг = (з>п( л( . Так как тензор Т(/ симметричен, можно поменять местами немые индексы > к / в левой части второго уравнения н затем второе уравнение вычесть из первого.

Получим (Л(2> Л(з>» и( и( Поскольку Л(2 ,-ь Л(з. нх разность отлична от нуля. Следовательно, и( л, (2> (З> >' = О, а это и есть условие ортогональности данных двух направлений. 1.47. Вычислить главные значения тензора (Т)2 задачи 1.43 и убедиться, что его главные оси совпадакгг с главными осями теизора Т. ГЛ. (. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ для Л = 4 п(з( = и( 1 = ~ 1/$'2, 1 т па =01 (2) нлв для Л(а> — — 16 — бп((а — бп(зз! = 0 и",1 = — и",1 = Т 1/$г2, пез1 = О. — 16пз — — О Вндно. что главные направления Т я (Т)' одни н те же.

1.48. Воспользовавшись тем, что тензор (Т)з и симметричный тензор Т имеют одни и те же главные направления, найти тензор $/Т, если 5 — 1 — 1 Т= — ! 4 0 — 1 О 4 Прежде всего л(ы будел( искать главные значення н главные направления тенвора Т. Действуя так же, как в задаче 1.43, найдем днагональную форму Т( 0 4 0 прячем матрица преобразовання имеет внд 1/$( 3 1/ф 3 1/$/3 0 1/ 2 1/$' 2 — 2/$(6 !/$/6 1Д 6 1ои1 = Итак, ясно что !те= О 2 0 Тогла, зная матрицу )а(.1, вернемся к первоначальным осям прн помощн преоб ! разоаання г Т = А, $'"Т'А, что можно запвсзть в матрнчной форме так !/$' 3 0 — 2/$' 6 !/$' 3 1/1/2 1/$(гб 1/$ГЗ вЂ” 1/$( 2 1/$/б 1$/Т(/] = бп('1 — бп,"1 = О ! — бп~(з( + бпз 1 = 0 — зпз — — О (21 !/$/3 1/з/й 0 1/ 2 — 1/)Г2 — 2/$/б !/$гб 1/$гб 59 ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ $~2+4 1'2 2 Рг2 2 )г2 — 2 1' 2+ )г6+ ! Р2 — )гб+ ! )г2 — 2 1~2 — )Г6+ ! Р'2+)гб+ ! -4 5,4 ! 4 — 0,586 — 0,586 1 0,402 — 0,586 4,863 — 0,035 Л вЂ” 0„586 — 0,035 4,863 Декартовы тензоры и операции над ними (9 1.21 — 1.23) 1А9.

Для функции Л = Аг;х,х„где Ан — постоянные, показать, что дЛ/дх, = (Аг/+ А;;) хт и дэЛ/дх!дх! = Ан+ Ад. Упростить эти производные в случае Ан = А/ы дЛ дк! дх/ дх! дЛ Рассмотрим — = АН вЂ” х. + Аг;хг — . Так как — = ба, то — = дхк дхк ! дка дха ' дхэ дэЛ Аа х; + А ах! = (Аа. + А.ь) х/. Дифференцируя второй раэ, получаем — = 7 ! дкрдхэ дх! дЛ дэЛ = (Акт+ А.а) — ' =Ах + Ара.

Если Аг.—— А.г, то — = 2Аак! и дкр / ' дхэ г дкрдкх =2А а. 1.52. Пусть Аг/ — декартов тензор второго ранга. Показать, что его производная по хэ, т. е. Аг/.а, является декартовым тензором третьего ранга. 1.50. Пользуясь индексными обозначениями, доказать вектор- ные тождества: а) Ч Х Чгр = О, б) Ч - Ч 'х а = О. а) Согласно (!.)47), Чф записывается а аиде фи тогда т = Ч ЗС ЧЧ ямеет компоненты р! = е! ьд/р а = э! эф а.. Ко е!/ь аитиснмметрнчеи по индексам / и Ф, тогда как Чэ симметРнчен по этны индексам, следоаательно пРоиэаеденне и а~ра/ обращается а нуль.

К тому же результату можно прийтн. еычнсляя отдельно каждую компоненту т; например И = э!эзф.м + э!зэф,ээ = ('Р.эз фээ) = 0. б) Ч ° Ч Х а=Л=(э;/ьпа!)! —— еиааад — — О, так как ахи=ах н э, д = — е гэ. / 1.51. Найти производную функции Л = (хг)э + 2х,х, — (х,)' по направлению, заданному единичным вектором п = э/т е, — '/, е,— — '/,е„или и = (2ег — Зе, — беэ)/7. Искомая производная аычисляется по формуле дЛ/дл = ЧЛ ° и = Л !щ.

Таким образом, дЛ 2 3 Б 2 — = (2хт+ 2кэ) — — (2хт) — + (2кэ) — = — ( — кт+ 2х -)-бкэ), дл 7 7 э 7 7 ГЛ. Ь МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОНЫ Если х! и х! — декартовы системы координат, то.т! = а.гх. и дхр!дх = а.. ! ! д' Тогда будем иметь д(А,',) д дд дх Аг!»-— —,= —,(а а А )=а а! — ве — Р,'Р =а а!а А дх» дх' Р ге ве и ч дхвр дх е зто и есть правило преобразовании декартова тензора третьего ранга.

1.53. Пусть г' = хгх, и' /(г) произвольная функция г. Показать, что: а) 7(/(г)) =/'(г) х!г и б) Ч'(/И) =/"(г) + 2/'/г, где штрихом обозначено дифференцирование по г. а) Вектор Ч/ имеет компоненты/и причем/ ! = — —, атак как — = д/ дг д(га) дг дх! ' дх! д. х, =2г — =26пхг, то — = —, Следпаательно, /г дх! ' дх! г б) Ч /= /и = /' — = /" — +/' — — — ~ /" + —, ! , хг 1 „ хгх! , ! 3 хрхг 1 2/' г 1.54.

Воспользовавшись теоремой Гаусса — Остроградского, показать, что зхгп;г/о = Убр!, где прт»5 — элемент поверхности о, ограничивающей объем 1' (рис. !.20), х; — радиус-век- 51 ' р .,! тор элемента прт/5 и и,— внешняя нормаль этого элемента. иарргл а8 По формуле (1.157) хгп!дд „" х! .Н' =1 5 ЛУ-бг У. г! Ц 1.55. Пусть даны вектор и» Ь=Ч х ч и скалярная функрл р=рррр; 1 ррр,а э =) Л.,д,бУ.

По условиюЬ= Ч Х т, т.е. Ь! е!»е» . Тогда Ц»»,!' Л»рпрр(Б ) е»Ло» .и;дд ) е! (Ло»д) г др (см, (1,157)) !' и» вЂ” (рр рр,..р„„~„,ррр-1рррр. ,р ,р так как Ле!»о» ! = О, ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ Смешанные задачи а) В снмволяческях обозначеняях: и — (и х ) = й х «+ и х» = (в х и) х «+ и х (в х «) = Ж = (» ° в) и — («и) в+ (и - ») в — (и; в) « (» ° в) и — (и ° в) « = в Х (и Х «). б) В нндексных-обозначениях: Пусть ~ (и х «) = »и тогда из = — Ш (зцзпрз) = ец» й~оа + ецаиГйа атаккакй)=в ври н йа=в лв ол,то па ецьвгрдврнзоз + вцавзтлизвглол (вцазмл аз звзлц) и)вазон. Пользуясь результатом задача 1.59, а, получаем (бйлб(л бзлбпл бплб~л + бцблм) йвлзпл = (бцб „вЂ” Ьмб.

) иргьлол вг „вьГлизталол, что в индексной форме представляет велячнну в Х (и Х»). 1.58. Доказать тождество 6, 6, 6лр 6„, 6, 6гч е„е Рассмотрим определятель А; Аи Агз Азз бе(А лл Азг Азз Азз Ам Ав Аз 1.55. Для произвольных векторов а и Ь показать, что Л = (а х Ь) ° (а х Ь) + (а Ь)' = (а6)з.

Поменяем местами скалярное н векторное умяоженне в первом члене. Тогда Ь а ° Ь Х(а Х Ь)+(а Ь)(а ° Ь) а ((Ь Ь) а — (Ь а) Ь) + (а. Ь) (а Ь] (а ° а) (Ь ° Ь) — (Ь а) (а ° Ь) + (а Ь) (а ° Ь) = (оЬ)з, тан как второй я третий члены взаямно уннчтожаются. 157. Пусть и = вхи и» = в х»; показать, что — сц (и х») = оз х (и х»). и 62 ГЛ Ь МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ Перестановка строк нлн ставбцов ведет к нзл«ененню анака определителя, например Ам Азз Азз А«з А««А«з Ап Аш Агз = Ам А««А«з = — де1А, Аз«дзз 4«з 4«з Аз«А«з Если строки менять местами произвольное число раз, то Апн А„,з Аглз Агл Ал, А,з = ам бе1 А.

4м Алз Ага а если менять местами столбцы, то А~ А~, А1, Азр Азд А«. = в бе1 А, Азр Азд Аз« Агпр Агпд А ем Апр 4«д г(л« Ага г(га Аг« = в,,ерд«бе1 А. Если положнть АЬ «и бнч то «)е1 А = 1; тождество доказано. В59. Воспользовавшись результатами задачи (.58, доказать, что: а) ер„е = 6 „6„— 6„,6,«, б) ер„е„р = — 26р,. В тождестве, доказанном в задаче 1.56, разложнм определитель по первой строке: вр в 6 (6«6,— 6 6,)+6 (6«,бр — 6«6~Д+бм«(6, 6д 6 6,), а) Положив гл = з, получим ерд«впл = «р ( лд г«п«гд) + 6«д (блг гр 6«рбг«) + би (6«рбгд 6«д гр) = гр пд рл гд+ дп р лр дг+Збпр г«пд р = 6«рбгд - 6«дбгр.

б) В полученном в «аз соотношении полажнм л равным д; тогда е,=б 6,— 6 6, В60. Тензор второго ранга В косооимметричен, т. е.  — В„. Показать, что В, х а = 2а ° В. Запншем В в аиде В Ь«е«+ Ьзез+ Ь,ез (сл«. задачу 1.6). Тогда В„= Ь, Х е, + Ь, х ее+ Ьз Х ез Следовательно, для произвольной последовательностн перестановок строк н столб- цов получим ЗАДАЧИ С РЕШЕНИЯМИ В Х а = (Ьз Х ез) Х а+ (Ьз Х ез) Х а + (Ьз Х ез) Х а = = (а Ь,) ез — (а ° е,) Ь, +(а ° Ь,) ез — (а . ез) Ьз+ (а ° Ьз) ез — (а ез)Ьз —— =а ° (Ь,е,+Ь,е,+Ь,ез) — а ° (е,Ь,-(- е,Ь,+е,Ьз) = =а °  — а В =2а В.