1612725600-1e51a42f1faf9bdcc469a226f46bb0ff (Колоколов 2000 - Задачи по математическим методам физики)

Настоящее издание осуществлено при финансоеой ноддеряске Российского фонда фундаменниыьных исследоеаний (нроект 10 99-01-1412! ) Колоколов И. В., Ериенов Е.А., Милыитейн А. И., Подвалов Е. В., Черных А. И., Шавиро Д.А., Шавиро Е. Г. Зааачв ио математическим методам физиви Мс Злиториал УРСС, 2000. — 288 с. ! БВХ 5-83б0-0105-7 1ВВ)з) 5-8360-0105-7 Ю Злиториал УРСС, 2000 61116 007056 11$Ц Предлагаемый сборник залач — результат 15-летнего опыта преподавания ю новой методике математических методов физики на физическом факультете Новосибирского государственного университета. Сборник включает в себя боссе 350 задач по уравнениям в частных производных, специааьнмм функштм, юнмптотическим методам, методу функций Грина, интегральным уравнениям, сории конечных групп, групп Ли я их применениям в физике.

Книга рекомендована студентам, аспирантам и преподавателям физиче:ких и физико-технических специальностей. Все задачи снабжены ответами, ~ многие — подробными решениями. Сборник может быль полезным дяя тмообразоазния. Оглавление Пр и Пава 1. Линейнме операторы 1.!. Конечиомерное прасгранспю.. 1.2. Функпианалы н абабшснные функннн .. 1.3. Гильбертово пространства и полнота....

1.4. Самасопряжеиные операторы 1.5. Кет- и брв-векторы . 1.6. Примеры 1.7. Задачи . 1.8. Ответы производных Сиашгвдьньм функи3$н Осабыс точки Гипергеометрнческие функиии .. Ортогоиальные иолиионы Примеры . Зввачи Отмты.........,. Асиыптииишские мепмм Асимптотические ряды Интеграл Лапласа . Метал стаиионвриой фазы Метод перевала Метал усрелнения, Примеры, Звлвчи Ответы . Пшел 2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5.

2.6. Пшее 3. 3.1. 3.2. З.З. 34. 3.5. 3.6. 3.7. Глава 4. 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. Пиша 5. 5.!. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5. 5.6. Глава б. 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. 6,6. 6.7. 6.8. Метод харапы3ристик . Олиоролнме и неоднородные линейные уравнения в частных Кввзилинейнме уравнения в частных праизвалных ......... Системы уравнений в чвстнмх пронзаолных............... Примеры . Задачи Ответы Линейные уравнении в частных производных впйиио порядка .

Канонический внл. Криволинейные сисммы каорлииат ........................... Разлеленне переменных . Простейшие уравнения, решаемые методом Фуры ........... Примеры Звлвчн Автомалелыюетв и нелинейные уравнения в частных пронзаолнмх .. Автомалельность . Нелинейные уравнения в честных производных...................... Примеры . Задачи 7 7 9 10 11 !3 14 23 26 29 29 33 ЗЗ 35 53 52 54 М 56 56 57 58 78 80 84 84 84 86 $05 $05 1бб 106 !ОВ 109 1$1 136 138 141 141 142 $43 144 146 348 155 358 ОгеавЛЕИиЕ Глава 7. Метоп фупкцнй 8рпна .

7 1. Функции Грина . 7 2. Непрермвный спектр 7.3. Резольпента . 7.4. Прнмеры 7.5. Задачи . 7.6. Ответы . Егава 8 83 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Глава 9. ВРуппы н представлеиня . 9.1 Группы . 9.2. Прсаставлсння 9.3. Примеры 9.4 Задачи, 9.5. Ответи . Глава !1 П,1 11.2 Н.З ! 1.4 11.5 Н.ь Прнменення теорцн групп в фнзнке .. Гармоничсскне колебания молекул Расщепление уровней Правила отбора Прамеры Залачн Ответы .

255 255 259 260 263 272 272 273 273 273 273 273 274 274 276 276 277 277 279 280 Интегральные уравнення Уравнения Фредгольма . Вырожденные «дра . Теорема Гцльберта — Шмидта Обратнап задача для оператора Шредингера 841. Праман задача рассеяния . 8.4.2. Уравнение Гельфанда — Левитана — Марченко... Примеры Залачн Ответы Глава 10. Нм!рермвнме группы .

10.1. Группы и алгебры Лн Гб 2. Прсдставленнн группы врашеннй 10.3. Примеры 10.4. Задачи . 10.5. Отаетьз . Сводка формул по снецнввьнмм функцням П.1. Г-функпн» Эйлера.. П.2. Гнпсргеометрнческнс функции . П.2!. Гнпергеометрнческаа функнин Гаусса зр! П.2.2. Вырождсннап гнпсрмометрнческая функция гр!.............. П 3. Пнлннлрнческне функция . П.З 1.

Функция Бесселя Х„ и Неймана У„ П.З.2. Фуггкцнц Бессел» целою порндка .7, ПЭ.З. Модифицированная функцнн Бесселя у„и функцнн Макдональда К„ П.4. Ортогональные полнномы П.4 1. Г1олнномы Лежанлра П и прнсоедннснныс функцин Лежанара Р П 4?. Полпномы Эрмнта К, П.4 3 Полнномы Лагерра 7„" 162 162 167 169 171 190 194 198 198 199 201 204 204 205 208 216 222 226 226 227 229 233 235 237 237 238 242 249 251 Предисловие Преллагаемый сборник зааач основан на !5-летнем опыте обучения студентов физического факультета Новосибирского государственного университета методам математической физики (ММФ).

В виде эксперимента преподавание ММФ было поручена физикам-теоретикам. Была поставлена цель не только обучить студентов основам теории, но и применению математических методов лля решения конкретных физических задач квантовой механики, классической электродинамики, оптики, физики плазмы, механики жидкости и газа. В результате заметно изменилась клк программа курса, так и методика его преподавания.

Упор был сделан иа решение зааач — от простых упражнений, иллюстрирующих основные понятия, до сравнительно сложных задач, например, квантовой механики. Сейчас мы можем с удовлетворением сказать, что новый полход к преподаванию ММФ полностью себя оправдал. Обучение ММФ обычно завершает общее математическое образование студентов-физиков третьего-четвертого года обучения.

Считается, что этн студенты уже знакомы с линейной алгеброй, аналитической геометрией, математическим анализом, обыкновенными дифференциальными уравнениями, теорией функций комплексной переменной в объеме университетского курса. Стандартный курс ММФ, через который прошли многие поколения сгудентов, включает в себя, как правило, теорию уравнений в частных производных. Элементы функционального анализа, теории специальных функций и теории групп в программах ММФ часто носят фрагментарный характер и не являются обязательными.

Методы математической физики как университетский курс является устоявшейся дисциплиной. Этому посвящены многие отечественные и переводные учебники по всем ее разделам. Но в них не содержится лостаточного количества задач. Сборники залач по М МФ немногочисленны и неполны. Они не охватывают всех необходимых разделов математической физики и несколько оторваны от исхолных физических задач, из которых возникают эти уравнения. Практически нет задач по уравнениям Шредингера, Дирака и даже Максвелла.

Приложения к физике, как правило, ограничены механикой, теорией теплопроводности, электричеством и магнетизмом. Устранение всех этих недостатков является одной из целей предлагаемого зааачника. Программа курса и, соответственно, содержание данного задачника включает в себя следующие разделы: гильбертовы пространства, метол характеристик, уравнения второго порядка с частными производными, автомодельность и нелинейные уравнения, специальные функции, асимптотические методы, функции Грина, интегральные уравнения (включая Предисловие обратную задачу для оператора Шрелингера), группы и представления, группы Ли и их применение в физике. Каждый раздел содержит краткое изложение теории, иллюстрируемое решением типичных задач, а также краткий список рекомендуемой литературы по данному вопросу.

Более полная библиография, в которой изложены разделы теории, включенные в данный сборник, приведена в конце книги. Почти все задачи (за исключением простейших) содержат подробные указания и решения. Порядок расположения задач помогает усвоению сложных математических понятий и выработке навыков решения физических задач. Поэтому сборник будет также весьма полезным для самообразования. Если читатель после работы с этим задачником сможет самостоятельно решать задачи математической физики и использовать полученные знания в дальнейшей работе, то мы сочтем свою миссию выполненной.

Авторы считают своим приятным долгом выразить благодарность всем тем, кто в разные годы либо читали курс лекций ММФ на физическом факультете НГУ, либо вели практические занятия, за вклад в создание курса и, в частности, этого задачника. Особую признательносп мы выражаем Б. Г. Конопельченко, В.

М. Малкину, А. М. Рубен- чику, М. Д. Спектору, М, Г. Степанову, Б. И. Стурману, С. К. Турицыну. Мы также благодарны А. В. Тельнову, указавшему на ряд опечаток. Август 1999 г. Новосибирск Глава 1 Линейные операторы 1.1. Конечнонерное пространство Линейным оператором, действующим в линейном пространстве Х, называется такой оператор А, для которого для любых двух векторов У и д из Х и двух произвольных комплексных чисел а и ГУ выполнено свойство линейности А (ау +,бд) = аА у + ВА д.

Если Х вЂ” и-мерное пространство, то линейные операторы, действующие в Х, суть матрицы и х и. Пусть А — квадратная и х и матрица. Матрица АГ, полученная транспоиированием и комплексным сопряжением А, называется зрмитава санрянгвнной к А. Если А = АГ, то такую матрицу называют эрмитовой. Матрица А называется унитарной, если ААГ = АГА = Е. Следом ТгА матрицы А называется сумма ее диагональных элементов. Число Л называется сабгтввннмм значением А, если найдется вектор ч ~ О такой, что Ае = Ло, причем ч называется собственным вектором матрицы А, соответствующим значению Л. Многочлен ~ЛŠ— А! называется характеристическим мнагочленам матрицы А. Последовательность квадратных матриц Ан".,Аюч А ~щ . одного и того же порядка называется сходящейся к матрице А, если схолится последовательность соответствующих матричных элементов.

Очевилно, чтоесли матрицы А и Вн стремятся к А и В при возрастании гл, то А +Вм и А В стремятся соответственнокА+В и АВ, В частности, если Т вЂ” невыро|кденная матрица того же порядка и и матрицы А при возрастании ш стремятся к А, то Т 'А,„Т стремится к Т 'АТ. Прямой суммой матриц называется блочно-лиагональная матрица Глава 1. Липейпые операторы где Аг»1 — квадратные матрицы порядка и11>, стоящие вдоль диагонали А, а все прочие элементы А равны нулю.

Пусть ае+ а,Л+ а»Л»+ ... + а Л +... — формальный степенной ряд от комплексной переменной Л. Рассмотрим соответсгвуюший степенной ряд от матрицы А: аеЕ+а,А+а»А +... +а А +.... (1.1) Обозначим у„(А) = авЕ+ а~А + а»А»+ ... + а„А". Ряд (1.1) называется схоляшимся, если последовательность частичных сумм ~~(А),..., у„(А),... имеет предел.