1612727555-6fc31085a3944f13decc70088e95e1c7 (Овсянников - Введение в механику сплошных сред(часть2))

Л. В. ОВСЯННИКОВ ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНЫХ СРЕД ~учебное пособие для студентов НГУ) Ч асть Ц УДК 532+533.7+539..3 ~075.8) Овсянников Л.В. Введение в механику сплошных сред. Ч.П. Классические модели механики сплошных сред. Учебное пособие для студентов. НГУ, 1977, 1-70. Предлагаемое учебное пособие по курсу "Введение в механику сплошных сред" написано по материалам лекций, читавшихся автором в течение ряда лет на механико-математическом Факультете НГУ. В нем в сиатой Форме приводится математический аппарат, используемый в механике, и описываются принципы построения основных моделей сплошных сред.

В ме~одическом плане данное пособие имеет ряд существенных отличий от имеющихся учебников по данной дисциплине и поэтому моиет быть полезным не только студентам соответствующих .специальностей, но и лицем, уже знакомым с излагаемым материалом. ф Новосибирснии госуиарсгвенвви универоигег. 1977 ° ° 4 Предисловие в ° е в в е а е е в е ° ° е е е ° ° ° е. а ° Часть П. КПАССИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД 8в ЖИДКОСТИ И 1 АИ е е е ° е ° в е ° е в ° в а ° ° ° б $9. ЧАСТНЫЕ МОДЕЛИ. ДИССИПАТИВНИ ПРОЦЕССЫ ..... 9 ° ° е .е ° е ° в ° ° 15 5 1О. ДЕКРМИРУНаЕ ТВЕРДЫЕ ТЕЛА $ П.

ЛИНЕИНАН ТЕОРИЯ УПИтоСТИ . 5 12. СИЛЬНЫЙ РАЗРЫВ е е ° е а е в в в е 21 е ° ° ° в ° е ° в в' Зб . 30 13 в МОДЕЛИРОВАНИЕ в ° ° ° ° е е е ° е е ° е ° е ' е 5 14. ИНВАРИАНТЮСТЬ ................. 39 ~ 15. УСЛОЖНЕПЩЕ МОДЕЛИ ............... 45 П. Переменные Лагранжа и Эйлера, Законы сохранения в интегральной и дифференциальной формах . .

. . . . . бб Ш. Напряжения в точке. Тензор напряжений. Круги Мора. Специальные случаи напряженного состояния . . . . . 58 1У. Деформация. Тензоры деформации и скоростей деформа- ций. Условия совместности. Линейная теория упру° е ° ° в 61 Гсстн в ° ' ° ° а а, ° ° в ° ° е е ° У. Жидкости и газы. Простейшие модели . . . . . . . . .

65 г 1. Отображения. Тензорный анализ. Координаты. Различные векторные формулы в ° ° ° е ° е а ° е ° е ° ° ° 51' Настоящий выпуск является второй частью учебного пособия "Введение в механику сплошных сред". Ъесь рассмотрены классические модели жидкостей ~и газов) и деформируемых твердых тел Я 8-11). Последние четыре аарагра4а посвящены более специальным вопросам. Особенно важен $ 14, где дается понятие об ин- вариантности различных объектов относительно группы преобразований. Зто делается в такой форме, чтобы по возможности показать фундаментальный и всеобьемлющий характер, этого понятия.

В конце пособия дается набор задач и упражнений, сопровождающих и дополняющих лекционный курс.' В основном этот материал предназначен для самостоятельной работы- студентов. Большинство задач составлено доцентом Меньщиковым В.М. В тексте данной части встречаются ссылки на материал первой части. Сохранена система ссылок, указанная в предисловии к час- ти Х. Кроме того, ссылки на раздел "Математического аппарата" отмечаются буквой М.

Например; ссылка на пункт 10 из раздела 1 обозначается символом М.Х.10 и т.п. ЛЛ,Овсянников ой~О, ~,5)=-~. (6) В остальном эти зависимости должны вытекать из экспериментальных данных или быть следствием каких-либо общих цредположений.' Тэк или иначе, если функции (5)ювестны, то нолучаетоя следуа- ЩЯЯ жидкости или 'газа а~у — + ~РЖб К=0. Я~ ' У 1~ ~) — = Ю~Р+~~;: м ЫУ =Р:Я+ЖФ ~ЖМИ 4,'Й Р = сх. ~ы+~ж. Действительно, после исклииенин тензора Р, и .этой системе будет пять скалярных уравнений для пати неизвестных скалярных 4ункций: трех компонент вектора 6" и двух независимых параметров состояния.

Конкретизация модели МЗ требует отоль болыиого объема до. полнительной информации о среде что в приложениях она поч ' ти никогда не используется. б. Наиболее употребительной и достаточно общей является так называемая клаас еская мо ель жидкости жли газа. Она основана.на следужщей акс оме лин ости. ЖЗ. Зависимость тенора.Р от тензора Юлйнайна.. Принятие этой аксиомы существенно упрощает модель. Прщце всего, из нее следует, что в (2) необходимо у-О , а~ Не зависит от инвариантов тензора 4О .В этом случае принято .обозначение ~В Ьр. Далее, так как среди инвариантов тензора® имеетоя только один, линейно зависящий от Ю, а именно, $ С4~~ ~г® = аЫ Р ., а коэ44ициент ы должен линейно зависеть от тензораЖ через 'зависимость от.

его инвариантов, то необходимо, с учетом равенства Я), ~=-~+ЛЖФ У. Итак, из аксиомы Жз 'следует соотношение Р=(-~:-~Л Йо Г)1+ЯрЫ.,: ..(7) Это выражение для Р позволяет вычислить входящие .в модель М2 величины сЬВ-Р-- др+ ч~Я4'иЪ)+3''В~й~а~, где Ф=~А+~~~~йО О) + 8~И: Ж.

н Ю - ивннатср таннера Ю, т.в. Ю'-.В-~~(Ыйф р. Вавитина,р называется ссипативной ей. Кроме того, в силу термодинамического тождества (3) и уравнения неразрывности, справедлива формула ,у — =у6~ — — сад К аЯ . М Окончательно получается следующая классическая мо ель М жидкости или газа", ~р — + ~~сЙФФ=О «и 6 ~6" — $Р+ 7~А иш Я+ сйР~Я~Я~)+у~ Ж~ ~Я ЯО ~~'*= йИ(аечО~+ Ф в которой коэффициенты Я,~ и ю.считаются известными Функциями двух независимых параметров состояния, а величины ~~,' „ор, 8, Б связаны двумя независимыми соотношениями (4). Очевидно, что система уравнений классической модели.

"замкнута". Коэффициенты Я и носят название ко ентов вязкости, которое отражает сво ство жидкостей сопротивляться сдвиговым усилиям, б. Классическая модель М4 все еще достаточно сложна для непосредственных приложений. Это и не удивительно, так как она охватывает совокупность сплошных сред с большим разнообразием конкретных свойств. Использование этой модели требует знания твтноех 4иющий"соотонннн У, и, Я, ~, ортаниввини виснериментов по отысканию которых, есть очень не простое дело. Кроме того, эта модель сложна, и для математического анализа. Поэтому и следуацем параграфе будут рассмотрены.

некоторые частные модели, основанные на дополнительных предположениях. Я ф "~~~~~ф Р ~~~~о+ Я ~„~ ф е 7" ~щ~ Жь .. ~4~ Преобразование-первого интеграла с помощью тождества О' <3ъ'ОР = да'ОРСО Я~+ ~<Над' -Ф и теоремы- Уауоса-Остроградского, с учетом равенства ЙФ д О, дает .~ Я~а~~ -ЯФАю~ЦЬ.Ядь+Д~ро:~с~ы щ ~Ъ Эсй~ Ы~ Отсюда следует, что если второй и третий интегралы равны нулю, т.е. если поверхностные нахцщжения р,, и внешние массовые силы/ над объемом са~ в целом никакой работы не совершают, то скорость,изменения кинетической энергии такого движущегося объ- ема вязкой.

несжимаемой жидкости равна р,-~~м--УЙ~ 4~ (5) Здесь, в силу-4ормулы 8(8), Ф'= 8рЖ'' Ы'. (6) Равенство (б) показывает, что, несмотря на отсутствие рабо- ты, совершаемой над объемом сд~, его кинетическая энергия всегне. возра а . Со*р цение ЯГюдр сильно р ен тву 4= б в сй~, которое возможно либо когда Ю= О, либо когда и-б . 3 первом случае объем сд~ движется как твердое тело, а во втором— жидкость идеальна (аксиома Жз~~). Следовательно, за исклхиением этик ~о~~ожно~~ей, кинетическая эн егося объема бы- вает. Это и есть проявление диссипативного процесса в вязкой не- сжимаемой жидкости, за который отвечает коэффициент вязкости р .

Величина интеграла. в фореле (5) дает- скорость диссипации кинетической энергии. Поэтому можно сказать, что диссипативная функция Ф равна плотности око ости' осип кинетической эые— гии. Этим, в частности, оправлвно название "диссипативная функ- ция" для величины Ф 5 ~О. ДИВОГМИРУИБЕ ТВЕРДЫЕ ТИИ 1. Сплошная среж, называемая в механике де4ормируемым тВердым телом~ по -своим свойствзи резко Отличается От жидкостей и газов. Опыт показывает, что твердое тело, будучи нагруж~ но какими-либо силами, перейдет в некоторое деформированное"положение; а ~~те~ МОжет Оставаться В покое, вообп1е ГОВоря, неограниченное время.

При етом твердое тело будет находиться в некотором напрЯженном состоянии..Если нагрузку снЯть, ТО ТВерДое тело перейдет в новое де4ормированное положение, не обязательно совпадающее с первоначальным. Если совпадения' нет, то процесс первого перехода был необратим. Висте с тем, при умеренных нагрузках (мера'. зависит от конкретного тела) процесс деформврования твердого тела может быть и бывает обратимым.

.Иодели де$ормируемого твердого тела для таких обратимых процессов деформированиж основаны на представлении о' том,. что возникающие в среде нап ения о е еляют ' ей и, вообще говоря, температурой, Твердые телЬ;- удОВлетворнвщае етому условию, называются 7пц~жми. Точное ойределение понятия' унру-. ГОГО тВерДОГО тела может быть Сформулировано так: деформируемое твердое тело, рассматриваемое.как сплапйая среда, описываемая моделью М~, называется т Ом, если процесс изменения характеристик любого материального объема етой среды является обратимым термодинамическим процессом, независимыми параметрами которого являются тензор деформаций с, и температура О. 2.

В соответствии. с д~н~~~ определением для упругого тела наиболее удобным является лагранжево описание-, которое и будет использоваться в дальнейшем. Фиксируется некоторое положение Я среды в момент времени 4, и рассматривается ее переход в , положеиие Я~в момент времени ф >~~ . Пусть Р~,,= $~ф,)( к=У,8,д ) — инварианты тензора деформаций 6, соответствухщего переходу Я„Я . Оказывается, что плотность среды д в положении Я может быть выражена только через ее плотность р, в положении" Я и инварианты .ф~. Этот Факт утверждается следужцей леммой о плотности с е -ЛИЗИМА. Справедлива Формула ~~„~ У+Я 5„'+ 4.~~ ~ 8Р~~, .Я И) ибо в противном случае ее нельзя было бы снова преобразовать в механическую работу. Поэтому за рост энтропии отвечает только оставшаяся часть тепла а~й ВаМ . Следовательно, количество тепла этого вида, выделяемое в единице объема за единицу временй, разно р8 — .

С другой стороны, это тепло вносится в объем аР~за счет теплопроводности среды, причем в единицу- объема за единицу времени притекает количество тепла, равное сй~~ м;Уф. Равенство этих двух количеств и есть и вая аксиома те мо ого т Т1 е Спрэзедливо равенство ~6 =~ ЙЬ"'~~Я~УМ ~ . Ый М йссиома Т1 позволяет исключить величину Й~уж д'~9~из уравнения притока тепла (4).- В~ли ввести еще свободную энергию ~=.У'-О5, то (4) преобразуется и уравнеиие %) д~ ~ М д~ 4. Следующая аксиом~'.состояния завериает фориулиревку предположений о термодинамике упругого тела.' Т~. Независимыми термодинамическими параметрами упругого тела являются теизор деформаций 8 и температура О .

Свободнаи энергия й( с', В ~ и коэф$юуент теплопроводиости ю~6, 8 ~ суть изо тронные Функции тензора Б . В силу этой аксиомы ~ д~, Ж.' ЗК дВ, м 38 д~ д8 д6 Подстановка этого выражения в (5) и учет независимости парамет ров Ь и О приводит к формулам ЭК д.~ Я вЂ” о — ~ 8=-— (6) дс 38 Легко.проверяется, что еслибы- изотронная функция тензора б, то АК/дб есть тензорная изотропная Функция тензора 6 . Поэтому из аксиомы Т2,-формулы (1) и первой 4юрмулы (6) следует, что тензор Р также является изотропной тензорной 4ункцией тензора 6; Отсюда, согласно теореме о тенэорных изотрошщх Функциях тензорного аргумента (см, М.1.11),.получается представление Р = ссХя,дб + ~'с~ ~7) где с, б, ~' — Функции только инвариантов тензора б и температуры.