1612727554-e4ffead1b409cedb78714fc892e62f15 (Овсянников - Введение в механику сплошных сред(часть1))

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО и СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ~СССР НОВОСИБИРСКИИ ГОСУДАРСТВЕННЫИ УНИВЕРСИТЕТ Л В.ОВСЯННИКОВ ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНЫХ СРЕД (учебное пособие для студентов НГУ) Ч аСТЬ 1 ОБЩЕЕ ВВЕДЕНИЕ НОВОСИБИРСК- 1976 УЛК 532+533.7+539.3 (075.8) Овсянников Л.В. Введение в механику сплошных сред.

Ч.1. Общее введение. Учебное пособие для студентов, НГУ, 1976, 1-76. Предлагаемое учебное пособие по курсу "Введение в механику сплошных сред" написано по материалам лекций, читавшихся автором в течение рада лет на механико-математическом факультете НГУ. В нем в сиатой Форме приводится математический аппарат, используеий в механике, и описываются принципы построения основных моделей сплошных сред. В методическом плане данное пособие имеет ряд существенных отличий от имеющихся учебников по данной дисциплине, и поэтому может быть полезным не только студентам соответствующих специальностей, но- и лицам, уже знакомым с излагаемым материалом. ф Новосибирский государственный университет, 1976 СОДЕРЕАНИЕ ° а ° \ $ ° ° ° ° ° а ° Преди с лови е ° е а е ° ° ° ° а а ° е е ° ° ° ° а ° ° Часть 1.

ОВШ'.Е ВВЖцЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСНИЙ АППАРАТ . 1. Алгебра 2 ° Анализ а ° ' ' ° ° ° а а а е ° ° ° ° 3. Криволинейные системы координат 4. Тензорные поля . 5. ЛиФференциальные уравнения... 6. Специальные системы координат . ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ $ 1. Предмет и метод $ 2. Основные определения и аксиомы . . . 5 3. Непрерывное движение .

. . . . . . . . . 4а Элементы термодинамики е ° ° е ° ° ° ° ° $ бс Тензор напряжений $ 6. Тензор деФормаций $ 7. Определение перемещения по де4ормации 7 8 17 23 25 28 30 37 38 42 49 56 60 65 70 ЛИТЕРАТУРА Осювная: 1. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды.

М., Физматгиз, 1962. 2. Серрин Лж. Математические основы классической механики жидкостей. Издательство иностранной литературы, 1963. 3. Трусделл К, Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М., "Мир"', 1975. дополнительная: 4. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1 и П. М., "Наука", 1970. б.

Жермен П. Механика сплошных сред. М., 'Мир", 1965. 6. Ландау Л.Д. и Ли$шиц Е.М. Механика сплошных сред. ГИТТЛ, 1954. 7. Бондарь В.д. Лекции по курсу "Введение в механику сплошных сред". Н1*У, 1967. 8. Овсянников Л.В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. Щ7, 1966. 9. Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М., "Мир", 1964.

Настоящее пособие представляет собой необходимое введение к специальным дисциплинам - гидродинамике, газовой динамике, теории упругости и плстичности, которые являются обязательными длн студентов прикладного отделения механико-математического факультета Н17. Оно посвящено изложению тех фундаментальных фактов, которые лежат в основе собственно механики сплошных сред. В предлагаемой форме соответствухщий курс читался автором в 1%2/73, 1973/74 и 1974/75 учебных годах и доцентом Меньщиковым В.М.

в 197б/76 учебном году во втором семестре для студентов второго курса. В связи с тем, что с 1973/74 учебного года по этому курсу начали проводиться практические занятия ~семинары) без какого-либо увеличения отводимых на предмет числа учебных часов, количество фактически читаемых лекций сократилось. Это и вызвало необходимость написания данного учебного пособия. В отношении отбора материала и стиля изложения данное пособие имеет ряд особенностей, отличающих его от уже имехщихся руководств по тому же предмету и, тем самым, оправдывающих настоящее издание. Прежде всего, изложение является сильно сжатым ввиду необходимости охватить довольно большой материал, наоыщенный многочисленными понятиями, математическими Формулами и мжладками. Поэтому здесь даются лищь первоначальные сведения по предмету на примере наиболее простых (нс достаточно общих) классических моделей сплошных сред.

По той же причине в пособии не рассматржваютая никакие конкретные задачи. Внес е с тем краткость текста и несколько искусственное разделение его на две части вызваны жесткими административными ограничениями объема издания. Принципиальной особеннбстью пособия является то, что в формулировках основных положений, в записи и выводе уравнений них де не используются системы координат.

Тем самым независимость основных положений и соотношений механики от выбора системы координат здесь не нуждается в специальном разъяснении — она гарантируется самим споообом изложения. Модели механики сплошных сред рассматриваются как некоторые маттвгические структуры, заюваемые четко сформулированной системой определений и аксиом. Вероятно, предлагаемая здесь аксиоматика не является ни совершенной, ни единственно Возможной но Она достаточно хорошо служит поставленной цели. Ф И Поообие состоит из двух частей. В части 1, названной Общее Введееие" содержится Важный раздел "Математический аппарат".

Здесь собраны терминология, обозначения, определения и факты, зтнссящиеся к используемой в дальнейшем математике. Все эти сведения должны были бы быть известны студентам прикладного отделения второго курса второго семестра. Однако фактически это не так, ибо в читаемых курсах Алгебры, Геометрии и Анализа некоторые необходимые для данного курса моменты оказываются упущенными а Собственно механике сплошных сред посвжцены 5 1-7, объединенные под названием "Законы сохранения". Здесь приведена исходная система аксиом и рассмотрены понятия напряженного и деформированного состояний сплошной среды.

В части П рассмотрены классические модели жидкостей (и газов) и деформируемых твердых тел ( 5 8-11). Последние четыре параграфа посвящены более специальным вопросам. Особенно важен $ 14, где дается понятие об инвариантности различных объектов относительно группы преобразований. Это делается в такой форме, чтобы по. возможности показать фукцаментальный и всеобьемлхщий характер этого понятия. Данное пособие дополняется сборником задач, составляющих обязательное для студентов "Задание". На предлагаемых в нем задачах отшлифовывается навык применения математического аппарата и закрепляется основной лекционный материал. Каждый параграф разбит на пункты. Ссылки в тексте, например, на пункт 3 из параграфа 7 обозначается "7.3". В~утри каждого параграфа использована независимая нумерация формул (1), (2),..., а ссылка, например, на формулу (3) из параграфа 4 обозначается "4(3)".

В заключение автор выражает благодарность доценту кафедры гидродинамики Менвцикову В.М., критически просмотревшему весь текст пособия и инженеру Боровской Э.З., а также всем тем, кто способствовал оперативному изданию настояцего курса. 30.7.76. Л.В. Овсянников. Х<е;.' = Х,. /' ('г У,„„л), Матрица (Х) - ~Х. ) называется ма ей ейного стоб Х. ы баеиовх ~е.~ и Ц~.

р ддпчх баеиоах Хе;~оЛ и ~Я~Л ыатриыв того бе мыевного отображения Х будет ~Х) =й~ 1. Справедливо равенство ~матрицы умножаиася по правилу "строки на столбцы" ) ~м) (ц - СьИ.8,), |де ~А)-~фи (Ю)-~ЗЧ- матрицы перехода к новым базисам, определяемые формулами т =А~й т У -8.6 хе хгх хре Кашозиция Х~Х линейных отображений Х:А-Я и ХрЛ- Я действует по формуле КОЗ Са> =.К<Х<а.>> . ~с~'Ы)=й5 и И)-а5, то ~.К-~)- р<'.~'. ), 3. ай т-~ . Символом Х обозначается тождественное отображение Я- Я", а оимволом б - нулевое отображение.

Линейное отображение Л6 ~ЙР~называется е о енным, если сЫЯ) ФО . Невырожденное линейное отобраие е Е:Я~ Я является гсмеомор4измом пространства Я, в частности, имеет обратное Х.~. Вектор е ~Л называется собственным некто ом линейного отображения Х, если существует число Я~Я, с которым справедливо,равенство ~". (е>=Яе.

При этом числоЛ называется со твенным значением.отображения Х, . Собственные значения являются корнями ха акт стического авнения аЫ ~.~-~,Ц О. Это уравнение не зависит от выбора базиса в Я~. Яля л=з характеристическое уравнение имеет вид 3' Я А- У„Л «,7~Л- У~ =О, гхе ~ы- рирвривыты отобреиевии Л . Ииеариаиты иырвивитои через матрицу ('.Е) -ГХ,) по формулам след 1:,7„= ~ (~)=~" +р «„~ Ф второй инвариант Х: с Ь Ь Е.~ л Ь '.~ Ь 5 5 3 А Ь~Ь .Е~-3 1. +3~.1.-.3 Е=О. детерминант Х,: Справедииво тождество Справедливы формулы и а., 6, сеЯ)' Ф~ ~а ~Ф с 1 =,Я Ф(а, ~>+ р Ф <8, с >, Ф(О; Я8+~с.'.

=ЯФ(а,8>+рФ<а,с) . Билинейная форма у, действухщая по формуле у<и,~~;а.Хназывается ентельной формой пространства Х Жоли ~~ ~СЯ ~, то отображение Ф, действукщее цо формуле Ф(а,А а.Ь(8>есть билинейная форма. Обратно, каищвя билинейная форма Ф порождает линейные отображения Х и Х*, с которыми справедливы формулы 4(а,В>-и 3 сб>-В 1~<а Й~К~Х)=1з(К)+1г~Х), дел.К Ц=3еЦК~ ЫИ) ° След композиции Х Ь называется ск ным оизве ением ото- бпажап~йХ и Х и обозначается К:1 . Жоли(Х~ И.)и й.) ~Х~). (~ Я(~) ~, а„~,:Я=~и Ща 1,)~~~~и ~Яе„~, )) = ~ Д г ) 4.

Сд~чМ ~~~=~. Линейное отображение Ф:Я~ у~называется линейной о мой на пространстве Я~. Пространство ~'ТА~; Л~ называется сопряженным пространству Я~и обозначается Я ~ Существует метрический изоморфизм л.:Я'~ Я,~который каждому ве- л ктору ааЯ взаимно однозначно сопоставляет линейную Форму ~~а~, действуищую по формуле ж~а~<8~ =аА. При этом, если Ф=ж~а>, то а ю ~( Ф~. 5. Билинейные мы. Отображение Ф:Ях Я Я называется б е ой о на пространстве Я~ если для любых .я, еЯ Линейное отображение ~~~«Я") можно представить единственным образом в виде композиции ортогонального отображения 0 и симметржчиого неотрицательного отображения Л вХ.= б Л. Наряду с этим справедливо также представление Х,=А,о 0 .

причем. вообще,Л,ФЛ , но всегда 0~ = 0 . В этих представлениях л=аЛь) ~', л„=и ь"~'". Ортогональныв отображения 0:дЪ у~являются взаимно однозначными. Поэтому их называют также ортогональными поеобсазов~фиж пространства .2 . Композиция 0~~ Я>ортогональных преобразований 0 и бл, обратное преобразование 0 и тождественное преобразование Х являются ортогональными преобразованиями. Поэтому совокупность всевозможных ортогонзльных преобразований пространства Я~образует гкнпц. Эта- группа обозначается 0(Я~/или просто 0~ 9.

П е ставления. Отображение Ж 0 - З.'йР~называется в ставлением группы 0 = О«Я~), если для любых преобразо-. ваний 0,,0 ~д~справедливо равенство ЯЯ ) о ф~ «Ол) = 'У, Я ер 0Я, Жали дано представление Х: 0~ а.'«я ), то о группе 0~говорил, чео ове р - ейочв ее (веи врооео вееочвчее, воли речь идет об одном определенном У~ ) на пространстве Я' .