1611689254-79e04a0596cf4cbdcb15d75bb53ec63e (Петровский- 1984 Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравненийu)

И. Г. Петровский ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ИЗДАНИЕ СЕДЬМОЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ ПОД РЕДАКПИЕИ А. Д. МЫШКИСА, О. А. ОЛЕИНИК Допущено Министерствам высшего и среднего специальнога образования СССР в качестве учебника для студентов механико-математических специальностей университетов ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 1984 УДК 017.91/4 (076.8) Петровский И. Г. Лекции по теории обыкиовеииых диффереппиальпых уравнений/Под ред. А. Д. Мышкяса, О.

А. Олейиик.— Мл Изд- МГУ, 1004.,— ййб Квига представляет собой учебиик по курсу обыкиовепиых диффереипвальиых уравиеиий. Тщательно продумаииое изложеиве дало возможность в иебольшом объеме вместить обширный материал Более детальио и строго, чем в другах руководствах. рассмотрены уравиеиия простых типов. Подробно изложеиы общие теоремы о разрешимости уравиений и систем уравиеиий.с иепрерывиыми правыми частимп.,Теория линейных уравиевий сопровождается орвгикальиым изложением канонической формы систем.

Книга ввлючает главу об автопомиых системах и добавлеиие, содержащее теорию лпиейиых и пелииейиых уравнений с частиымп производимым 1-го порядка. Большое количество задач зиачительио расширяет содержаипе книги. Ил. 41. 13ШЗШ69-Зае (99) — 94 Я //здательство Московского университета, /Рйб г. ОГЛАВЛЕНИЕ От редакторов Предисловие к пахому авдапаю Предисловие к первому ивдалию ЧАСТЫ ОДНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 1-го ПОРЯДКА'С ОЛЯМ НЕИЗВЕСТНОИ ФУНКЦИЕИ 1О 1О 12 18 18 23 27 29 32 37 38 39 42 И 66 67 бб 71 Глава Е Общие понятия Г 1, Ояредейевня, примеры 2. Геомртрическая интерпретация. Обобщение задачи Глава П. Простейшие диффе~аицпальные уравнения $3.

Уравнения вида — = 7(х) ° ° ° дк ду $4. уравнения вида — — -1(у) . дх $ б. Уравнения с разделяющимися перемеииымн $ б. Однородные уравненяя $ 7. Линейные уравнения . $ 8. Уравнения в полных дифференциалах Гмша Ш. Общая теория уравяеиий $ 9. Ломавые Эйлера $10. Теорема Ариеля $ 11.

Докааательство .существования .решения днфференцяальиого уравиеяия у' 7(х. у) методом Пеано $ 12. Теорема Осеуда о единственности $13. Дополнение о ломаных Эйлера $14. Метод последовательных приближений 1б. Принцип' сжатых отображений 16. Геометрическая, витерпретация ' прввципа сжатых ' отображений $17. Теорема 'Коши о дифференциальном уравнении у' 1(к, у) с голоморфной правой частью $18. О степени гладкости решений дифференциальных уравнений $19. Эависимость решения от начальных данных и от правой части уравнения $20.Лемма Адамара $21. Теорема о зависимости решеияя от параметров $22. Особые точки $23.

Особые липни $24. О поведении интегральных линий в целом $25. Уравнения, пе разрешенные относительно пронзводной $26. Огибающие 78 79 86 88 93 100 101 104 115 ЧАСТА П СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ Глава 1У. Общая теория систем........ 119 $27. Сведение любой шзетемы к системе уравнений 1-го порядка .

. . . . . . . . . . . 119 $28. Геометрическая интерпретация. Определения ' . 120 $ 29. Формулировка основных теорем . . . . . 124 $30. Принцип сжатых отображений для систем операторных уравнений ........ 132 $3!. Приложение принципа сжатых отображений к системе дифференциальных уравнений . . . 136 Глава У. Общая теория линейных систем . . . . . 140 $32. Определения. Следствия из общей теории систем дифференциальных уравнений . . . . . .

140 $33. Основные теоремы для однородных систем 1-го порядка . . . . . . . . . . . . 142 $34. Выражение для определителя Вронского . . 149 $ 35. Составление однородной линейной системы дифференциальных уравнений .по данной фундаментальной системе ее решений . . . . . . 150 $ 36.

Следствия для дифференциального уравнения я-го порядка . . . . . . . . . . . . 152 $37. Понижение порядка линейного однородного диффереицяального уравнения...... 155 $38. О нулях решений линейных однородных уравнений 2-го порядка . . . . . . . . . 157 $39. Система неоднородных линейных уравнений 1-го порядка 161 $40. Следствие для линейного неоднородного уравнения и-го порядка....;,.... 164 Глава УА Линейные системы с постояннымн козффициеитами 166 $41. Преобразование системы....., .

166 $42. Теорема о приведении к каноническому виду, 172 $43. Инварианты линейного преобразования... 178 $44. Элементарные делители....., 180 $45. Отыскание фундаментальной системы решений для однородной системы уравнений . . . . , 183 $46 188 191. $47 $48 ДОПОЛНЕНИЕ Глава УП1. Уравиеияя с частиымн производными 1-го порядка от одной неизвестной функции . . . . . 253 $61. Полулинейиые уравнения . . . . . . . '253 $62, Первые интегралы системы обыкновенных дифференциальных уравнений .

. . . . . . 262 $ 63. Квазилниейиые уравнения . . . . . . 267 $ 64. Обобщенные решения линейных и квазилииейиых уравнений $ 65. Нелинейные уравнения .$66. Уравнение Пфаффа 271 280 291 $49 $50 Глаза УП $51 $52 $53 $54 $55 $56 $57 $58 $59 . $60 Применение к однородному дифференциальному уравнеиюо а-го порядка... ° Разыскание частных решений неодяородных систем Приведение к каноническому виду уравнения бу . ах+Ьу дх ах+бр Устойчивость решений по Ляпунову Одяи фвзнческнй пример Автономные системы Общие понятия Три вида траекторий Предельное поведение траекторий Функция последонания Теорема Бенднксоиа Окрестность точки покоя на плоскости.

1 Окрестность точки покоа иа плоскости. П Теория индексов Теорема Брауэра о неподвижной -точке Приложения теоремы Брауэра. 195 197 207 212 212 216 218 222 226 228 233 242 247 250 ОТ РЕДАКТОРОВ Иван Георгиевич Петровский (1901 — 1973) был выдающимся-математиком и выдающимся человеком. В математике ему принадлежит ряд основополагающих результатов, прежде всего, в теории дифференциальных уравнений, теории вероятностей и в алгебраической геометрии. 'Его общественная деятельность также широко известна.

Достаточно сказать, что с 1951 г. и до конца своей жизни он был ректором Московского государст-' венного университета. Подробную биографию И. Г. Петровского и описанне,его научных достижений можно найти в «Трудах -семинара имени И. Г. Петровского> (Изд-во МГУ, 1982, т. 8, с.

3 — 20), а также в журнале «Успехи математических наук>, 1971, т. 26, )Чт 2, с. 3 — 24. И. Г. Петровский был также автором трех учебников для университетов — по теории обыкновенных дифференциальных уравнений (6 изданий в 1939 —.1970 гг.), интегральных уравнений' (3 издания в 1948 — 1968 гг.) н уравнений с частными производными (3 издания в 1950 — 1961 гг.).

Эти глубоко оригинальные книги переведены иа многие языки и полностью сохранили свое значение в настоящее время; более того, во многих университетах преподавание указанных дисциплин в значительной степени сложилось под воздействием этих книг. Однако они давно уже стали библиографической редкостью.

Поэтому их переиздание не только является данью памяти их замечательного автора, но и принесет несомненную пользу многим студентам-математикам и преподавателям. Настоящее издание книги «Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений» печатается с последнего прижизненного издания 1970 г. Нами вне. сены некоторые редакционные поправки. Заново написаны $54 — 57. А.

Д. Мышкис, О. А. Олейник Часть Г ОДНО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ 1-го ПОРЯДКА С ОДНОЙ НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИЕЙ ГЛАВА 1 ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ $1. Определения, примеры Обыкновенным дифференциальным уравнением и-го по- рядка называется соотношение вида р(х у, у', у", ..., у<">) =О 'вежду независимым переменным х, его функцией у и производньоми у', у", ..., уо'>. Функция у=<р(х) называется ре<иением этого дифференциального уравнения, если после замены у на >р(х), у' на ~р'(х), ..., у<"> на <р<">(х) оно обращается в тождество. Всюду, где нет особой оговорки, мы будем считать, что рассматриваемые величины принимают только действительные (конечные) значения, а рассматриваемые функции однозначны.

Таким образом, в обыкновенных дифференциальных уравнениях неизвестная функция зависит только от одного аргумента. В противоположность этому в уравнениях с частными производными неизвестные функции зависят от нескольких независимых переменных. В дальнейшие, говоря о дифференциальных уравнениях, мы всюду, кроме Дополнения, будем иметь в виду только обыкновенные дифференциальные уравнения. К обыкновенным дифференциальным уравнениям приводят многие вопросы естествознания.