1611703151-03589a55eaf19010bb3ad337d2045391 (Д. К. Фаддеев - Лекции)

Д.К.СРАД ДЕЕВ ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ допуегено я\инистерствои висигего и ср дн ео спе гиалено образования СССР в качестве учебного пособия для с удентав университетов и педагогическия институтов МОСКВА «НАУКАь ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ К9В4 22.!4 Ф18 УДК б12З Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов.— Мл Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984,— 41б с. Рецензенты: кафедра высшей алгебры Московского государственного университета; доктор физико-математических наук Л.

Я..Куликов Дмитрий Константинович Фаддеев ЛЕКЦИИ ПО АЛГЕБРЕ Редактор и. И. Кнзнер Техн. редакторы В. В. Морозова, С. Я. Шкллр Корректоры Г. Г. Ягорова, и. В. Сидоркино ИБ № 12076 СДаип И Набср 12.О1.54. ПОДПИСаНО К ПЕЧанг 10Л1ЛК фОРиат вн?СИРА«. БУМаГа книжно-журнальная.

уел, печ. л. 25. уел, кр.-отт. Ы,25. уч.-изд. л. якзб. Тираж 25 555 зкз. Заказ М 25. Пена 1 р. 1Е к. Издательство «Наука> Главная реданцяя физико-математической литературм и?О?1 Москва В-?1, Ленинский проспект, 15 енниградская типография м 2 головное предприятие ордена Трудового расного Знамени Ленинградского объединения «Текннческан кинга» им. Ввгеиии Соколовой Союзполиграфпрома при Государственаом комитете СССР по дечам издательств, полиграфии и книжной торговля. !9К62,г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29.

45 Издательство «Наука», Главная редакции Ь взико.математической лвтературм, 1702030000 — 183 30 84 033102) — 34 Книга представляет собой изложение курса лекций по алгебре, читавшегося автором в Ленинградском университете нз протяжении ряда лет. Этот курс рассчитан на 3 семестра. Большим достоинством книги является то, что абстрактные понятия вводятся в ней как результаты обобщения конкретного математического материала. Для студентов университетов и пединститутов. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие 7 !5 2! Глава П КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА $1. Обоснование комплексных чисел.....,,......., 26 $2 Тригонометрическая форма комплексного числа....,....

3! 3. Извлечение корня из комплексного числа . . . . . , . . . . , 39 ' 4. Корни из единицы . . . . . . . . 43 $ 5. Показательная и логарифмическая функции комплексной переменкой 49 Глава П! НРОСТЕИРЛИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ АЛГЕБРЕ ПОЛ ИНОМОВ $1. Полиномы от одной буквы................, 53 $ 2. Алгебраическое решение уравнений третьей и четвертой степени . . . 61 $ 3. Полииомы от нескольких букв . . . . .

. . . . . , . . . . . 69 Глава !Ъ' МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ Глава 1 ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА $ 1. Теория делимости целых чисел $2. Теория сравнений $3. Некоторые общие понятия алгебры $ 1. Матрицы и действия над ними $ 2. Теория определителей $ 3. Линейная зависимость и линейная независимость строк $4. Системы линейных уравнений общего вида $5. Дальнейшие свойства определителей $6. Обращение квадратных матриц $7.

Характеристический полипом матрицы Глава 1Г КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ $ !. Преобразование квадратичной формы к каноническому подстановкой букв 2. Закон инерции квадратичных форм 3. Ортогональное преобразование квадратичной формы к виду $4. Эрмитовы формы 82 (столбцов), . 108 . 117 . 121 . 134 . !41 виду линейной . 143 .

152 каноническому . !56 . !64 огллвлеггие . 167 . 175 . 180 . 191 197 198 НАД . 203 . 208 . 214 . 2!В козф- . 223 . 229 . 234 Глава Х! СИММЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ . 264 . 288 , 294 . 301 . 307 . 3!2 . 314 Глава Н! ПОЛИНОМЫ И ДРОБИ 6 1, Теория делимости для полиноиов от одной буквы $ 2. Производная $3. Рациональные дроби 9 4.

Интерполяция . Глава угП СРАВНЕНИЯ В КОЛЫЕ ПОЛИНОМОВ И РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ й 1. Сравнения в кольпе полиномов над полем % 2. Расширение полей Глава УП! ПОЛИНОМЫ С ИЕЛЫМИ КОЭФФИПИЕНТАМИ. ПОЛИНОМЫ ФАКТОРИАЛЬНЫМИ КОЛЫАМИ $ 1. Полиномы с целыми козффнциентами 9 2. 1!олпномы от одной буквы над факторнальным кольцом Глава 1Х РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМА 1 1. Существование корней в С 2. Распределение корней на плоскости комплексной переменной $3.

Распределение вешественных корней полннома с вешественными фициентами .. 4. Обобщенная теорема Штурма 5. Приближенное вычисление корней полинома Глава Х ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП $ 1. Простейшие сведения 2. Нормальные подгруппы и факторгруппы 3. Гомоморфизм $4. Прямое произведение групп й 5.

Группы преобразований $ 6. Свободная группа $ 7. Свободные произведения групп $ 8. Конечные абелевы группы $9. Конечно порожденные абелевы группы 1. Выра>кение симметрических полиномов через основные 2. Значения симметркческих полиномов от корней полинома 3. Результант Глава ХП ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА $ 1, Определения и простейшие свойства $2. Подпространства 3. Линейные фупкцгщ 4. Линейные отображения векторных пространств .

242 . 247 . 249 , 257 . 259 . 269" . 273 . 276 . 278 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава ХП1 ЕВКЛИДОВО И УНИТАРНОЕ ПРОСТРАНСТВА $1. Определения и простейшие свойства.......:..... 346 й 2. Под1тростраиства унитарного (илн евклидова) простраяства . . . . 352 3. Пространства, сопряженные с евклидовым и унитарным пространствами 354 4. Операторы в унитарном пространстве . . . .

. . . . . . . . . 355 5. Операторы в евклидовом пространстве . . . . , . . . . 362 6. Преобразование уравнения гиперповерхиости второго порядка к каноническому виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 $ 7, Линейные отображения унитарного пространства в унитарное .

. . 371 ф 8. Объем параллелепипеда в евклндовом пространстве . . . , . . . 374 Глава Х1Ч ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ТЕНЗОРОВ $ 1, Основные понятия $ 2. Действия иад теизорами $3. Симметричные и антнсимметрнчные тензоры $ 4. Тензорные произведения векторных пространств . 377 . 380 . 382 . 383 Глава ХЧ АЛГЕБРЫ 1.

Общие сведения 2. Алгебра кватернионов $3. Внешняя алгебра . 388 . 394 . 401 Список литературы 416 5 5, Линейные операторы в векторном пространстве......... 317 й 6. Операторы в векторных пространствах над полем С комплексных чисел 333 4 7. Операторы в векторных пространствах над полем И вещественных чисел .

. . . . . . . . , . . . . . . . . . . . , . . . . 341 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга представляет собой обработку лекций по алгебре, читавшихся мной на математико-механическом факультете Ленинградского государственного университета на протяжении нескольких десятилетий для математиков всех специальностей.

От года к году содержание лекций несколько менялось. Здесь собрано теоретико-множественное объединение материала, читавшегося в разные годы. В основу книги положены лекции, которые я читал в последний раз в 1977 — 1978 гг. Лекции были старательно записаны Л. Ю. Колотилиной, за что я приношу ей глубокую благодарность. В ЛГУ линейная алгебра не отделена от общего курса алгебры и читается на третьем семестре. В соответствии с этим последние главы, начиная с главы Х11, посвящены линейной алгебре. Элементарно-калькулятивная часть линейной алгебры, состоящая из теории матриц, определителей и квадратичных форм, занимает главы 1У и Ъ'; этот материал излагается в ЛГУ на первом семестре. Язык книги несколько архаичен из-за того, что я не тороплюсь вводить абстрактные понятия во избежание формализма при их восприятии.

Я считаю, что их следует вводить по мере того, как удается возбудить в учащихся потребность в обобщении кли, по крайней мере, если имеется возможность достаточно иллюстрировать общие понятия более конкретным материалом. Оформление рукописи было бы для меня невозможным, если бы не энергичная помощь моих товарищей по работе в ЛОМИ, Всем им моя глубокая благодарность1 Д. К, Фаддеев ГЛАВА 1 ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА Изучение свойств целых чисел составляет содержание раздела математики, имеющего название «арифметика» или «теория чисел». Обычно первый термин относится к кругу самых элементарных вопросов, в основном, к правилам вычислений с целыми числами, а второй — к установлению более глубоких и нетривиальных свойств целых чисел.

Цель этого раздела курса — познакомить читателя с самыми простыми идеями и фактами теории чисел. 5 1. Теория делимости целых чисел 1. Определение делимости и простейшие свойства этого отношения. Множество всех целых чисел принято обозначать х.. Множество л. состоит из натуральных, т. е. целых положительных чисел 1, 2, 3, ..., числа О и целых отрицательных чисел — 1, — 2, — 3, ... Ясно, что сумма, разность и произведение двух целых чисел суть снова целые числа. Частное же от деления двух целых чисел может и не быть целым числом. Говорят, что целое число а делится на целое число Ь, если существует такое целое число с, что а = Ьс.