1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (Ландау Лифшиц Краткий курс теоретической физики Механика электродинамика Кн1u), страница 9

Если массы обеих частиц одинаковы (т,=лг„лг=гл,/2), то согласно (14,9) у=26о и подстановка в (16,2) дает: Если не только массы обеих частиц равны, но эти частицы вообще тождественны, то не имеет смысла различать после рассеяния первоначально двигавшиеся от первоначально покоившихся частиц.

Общее эффективное сечение для всех частиц мы получим, складывая да, и Ила и заменяя 6, и 0, общим значением 6: <Й = ( —.) ( —., + —,6) соз 0 г(о. (16,7) Вернемся снова к общей формуле (16,2) и определим с ее помощью распределение рассеянных частиц по теряемой имя в результате столкновения энергии. При произвольном соотношении между массамн рассеиваемой (т1) и рассеивающей (лга) частиц, приобретаемая последней скорость выражается через угол рассеяния в системе центра инерции посредством 2ль х и,=, п|»з(п 2 — !лА+ жа ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА 5 16] Выраэив отсюда ейп —, червя в н подставив в 116,2), получаем: Х ае Ые г]а=2я —,— „. ЯЕев,', е" ' (16,8) Эта формула отвечает на поставленный вопрос, определяя эффективное сечение как функцию от потери энергии е] последняя пробегает при этом значения от нуля до а„., = = 2лг'Оа),]л]Ф (см.

(14,6)). Соответственно, приобретаемая этой частицей, а тем самым и теряемая частицей лее энергия равна Глава У МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ я 17. Свободные однолсерные колебания Очень распространенный тип движения механических систем представлжот собой тзк называемые лсалме нолебанисс, которые система совершает вблизи своего положения устойчивого равновесия. рассмотрение этих движений мы начнем с наиболее простого случая, когда система имеет всего олпу степень свободы. Устойчивому равновесию соответствует тзкое положение системы, в котором ее потенциальная энергия 1с(с7) имеет минимум; отклонение от такого положения приводит к возникновению силы — с11с',сс1с7, стремящейся вернуть систему обратно, Обозначим соответствующее значение обобщенной кооРдинаты посРедством суь ПРи малых отклонениЯх от положения равновесия в разложении разности сс1с7) — 171с7,) по степеням с7 — с7, достаточно сохранить первый неисчезающий член.

В обшем случае таковым является член второго порядка сс и ~7) — Бс 1<7,) = —,, ~д — 7,); где й= 17' гсуа) — положительный коэффициент. Будем в дальнейшем отсчитывать потенциальную энергнсо от ее ьпшнмального значения (т. е. положим Бс(да)=0) и введелс обозначение (17,1) для отклонения координаты от ее равновесного значения' Тогда 171х)= ~, (17,2) З пт СВОБОДНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ 59 Кинетическая энергия системы с одной степенью свободы имеет в общем случае вид ! з 1 И)4'= 2 ай)хл.

В том же приближении достаточно заменить функцию а(9) просто ее энзчением при р=дз. Вводя для краткости обозначение') а(дз)=гп, получим окончательно следующее выражение для лагранжевой функции системы, совершающей одномерные мзлые колебания'): Е 2 (17,3) Соответствующее этой функции уравнение движения гласит: т хе + )ех = О, (17,4) или х+ мах= О, (17,5) где введено обозначение (17,6) Два независимых решения линейно~о днфферештиального уравнения (17,5); соз ы! и Ыпы(, так что его общее решение х = с, соз ы! + сз гйп ый (17,7) Это выражение может быть написано также и в виде х=асоз(ы!+а). (17,8) 11осколькусоз(ы!+а)=совы!созк — з!пы!з!пх, то сравнение с (17,7) показывает, что произвольные постоянные а и к свя- заны с постояннымн с~ и с, соотношениями ез а= Р с~+се, !Еа= — — ', е,' (17,9) '! Подчеркнем, однако, что величина ю совпадает с массой только, если х †декарто координата частицы! ") Такую систему часто называют одномерным оеаилляюором, 1гл. т МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ или, подставив сюда (17,8): ! Е= — лгы а~.

2 (17,10) Она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. Зависимость координаты колеблющейся системы от времени часто оказывается удобным представлять в виде вещественной части комплексного выражения х=йе !Ае '"'), (! 7,11) где А — комплексная постоянная; написав ее в виде А=ае '", (17,12) мы вернемся к выражению (!7,8). Постоянную А называют ко.иллексной амплитудой; ее модуль совпадае~ с обычной амплитудой, а аргумент — с начальной фазой.

Оперирование с экспоненциальиыии множителями в математическом отношении проще, чем с тригонометрическими, так как дифференцирование не меняет их вида. При этом, пока мы производим лишь линейные операции (сложение, Таким образом, вблизи положения устойчивого равновесия система совершает гармоническое колебательное движение. Коэффициент а при периодическом множителе в (17,8) называется алп!литудой колебаний, а аргумент косинуса — их фазой; а есть начальное значение фазы, зависящее, очевидно, от выбора начала отсчета времени.

Величина м называется цпкжщесмой частотой колебаний; в теоретической физике, впрочем, ее называют обычно просто частотап что мы и будем делать в дальнейшем. Частота является основной характеристикой колебаний, не зависящей от начальных условий движения. Согласно формуле (17,6) она всецело определяется свойствами механической системы как таковой. Подчеркнем, однако, что это свойство частоты связано с предполагаемой малостью колебаний и исчезает при переходе к более высоким приближениям.

С математической точки зрения оно связано с квадратичной зависимостью потенциальной энергии от координаты. Энергия системы, совершающей малые колебания, есть вынь ждшп !ые колевлиия а ш! умножение на постоянные коэффициенты, дифференцирование, интегрирование), можно вообще опускать знак взятия вещественной части, переходя к последней лишь в окончательном результате вычислений. Задачи 1. Выразить ачппзтуду н начальную фазу колебаний через начальные значения хь и о, координаты и скорости.

Ответ: а= з1 х1+ —,, !йк= — —. оэ ок и' охи 2, Найти отношение частот т и ь' колебаний двух дзухатомнык молекул, состоящих из атомов различных изотопоз; массы атомов равны соот- ,4 ветстзенио т„т, н т'„т,'. Р е ш е н и е. Поскольку атомы изотопов взаимодействуют одинаковым образом, то Д=Д'. Роль жс коэффициентов т в кинетических энергиях молекул игра!от их приведенные массы. Согласно (17,6) находим поэтому: ьг' -~/т,т,(т,'+ м„') .

и у' т,'т,'(т, +т,) ' 3. Найти часьоту колебаний точки с массой т, способной двигаться по прямой и прикрепленной к пружине, другой !гоььец которой закреплси в точке А Рнс. !5. (ряс, 15) на расстоянии 1 от прямой. Пружина, имея данну 1, натянута с силой Р( Решен ие. Потенциальная энергия пружины (с точностью до малых величин высшего порядка) равна произведению снпм г' на удлинение В1 пружины.

Прн х~1 ильссм; х' З1 = )/!э + х' — 1 21 ' так что (1= гх')21. Поскольку кинетическая энергия есть т.еэ(2, то г Р ° = )/ $ т8. Вынужденные колебания Перейдем к рзссмотрению колебаний в системе, на которую действует некоторое переменное внешнее поле; такие колебания называют вынужденны.нп в отличие от рассмотренных в предыдущем параграфе так называемых свободных 62 МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ 1гл. ч колебзний.

Поскольку колебания предполагаются по-прежнему малыми, то тем самым подразумевается, что внешнее поле достаточно слабое, в противном случае оно могло бы вызвать слишком большое смещение х. В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией — лх система обладает еще потенциальной энергией 1 2 ~У,(х, 1), связанной с действием внешнего поля.

Разлагая этот дополнительный член в ряд по степеням малой величины х, получим: Первый член является функцией только от времени и потому может быть опущен в лагранжевой функции (как полная производная по 1 от некоторой другой функции времени). Во втором члене — дЕ',1дх есть внешняя «сила», действуюгцая на систему в поло>кении равновесия и являющаяся заданной функцией времени; обозначим ее как гг(1). Такйм образом, в потенциальной энергии появляется член — х1'(1), так что функция Лагранжа системы будет: жх' ах' Е = —; — — — + хгч (1).

2 2 Соответствующее уравнение движения есть спх + Угх = Р(1), илп 1 х+ н~х= — гч(Г), ю (18,2) (18,3) где мы снова ввели частоту н свободнык колебаний. Как известно, общее решение неоднородного линейного дифференциального урзвнения с постоянными коэффициентами получается в виде суммы двух вырзжений: х=х,+хн где х,— общее решение однородного уравнения, а х,— частный интеграл неоднородного уравнения. В данном случае ха представляет собой рассмотренные в предыдущем параграфе свободные колебания.

Рассмотрим имеющий особый интерес случай, когда вынуждающая сила тоже является простой периодической функцией времени с некоторой частотой т: Г(1) = .Усов()1+ р). бз вынтждвнныв колевлния 4 кй Частный интеграл уравнения (18,2) ищем в виде к, = Ьсоз(Т1+р) с тем же периодическим множителем, Подстановка в уравнение дает: Ь Ят(ш' — Тт); прибавляя реше ние однородного уравнения, получим общий интеграл в виде х= асов(м1+ з)+,, соз(Т1+ 1т). (18,4) у Произвольные постоянные а и а определяются из нзчальиых условий.

Таким образом, под действием периодической вынуждаю щей силы система совершает движение, представляющее собой совокупность двух колебзний — с собственной частотой системы м и с частотой вынуждающей силы Т. Решение (18,4) непримеиимо в случае так называемого резонанса, когда частота вынуждающей силы совпадает с соб. ственной частотой системы. Для нахождения общего решения уравнения двн.кения в этом случае перепишем выражение (1 8,4) с соответствующим переобозначеиием постоянных в виде х=асоз(аг+а)+ „,, 1соз(Т1+р) — соз(мг+8)).

У При Т вЂ” и второй член дает неопределенность вида 010, Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получим: ж=асоз(м1+а)+ — „1з!п(м1+р). (18,5) У Таким образом, в случае резонанса амплитуда колебаний растет линейно со временем (до тех пор, пока колебания ие перестанут быть малыми и вся излагаемая теория перестанет быть применимой), Выясним еще, кзк выглядят малые колебания вблизи резонанса, когда Т = м + м где а — малая величина. Представим общее решение в комплексном виде как х=-Ае '"'+Ве г1"ь'1'=(А+Ве ь')е ыг.

(186) Так как величина А -~- Ве "' мало меняется в течение периода 2к1'м множителя е '", то движение вблизи резонанса можно рассматривать как малые колебания, ио с переменной амплитулой. Обознзчив последшою через с, имеем; с = ' А + Ве '*' !. мАлые коленлння (гл. тт Таким образом, амплитуда колеблется периодически с частотой л, меняясь между двумя пределамн ', а — Ь , '( с ~ а + Ь. Это явленне называют бнентткчтт, Уравнение двнження (18,2) может быть проннтегрнровано в общем виде н прн произвольной вынуждающей силе )о(()т Это легко сделать, переписав его предварнтельно в внде ( Е т ю Х ) + ! и ( М ( ш Х ) я Р ( ( ) е 1 ет нлн — + (ьтт = — Р((), е6 т ! ш (18,8) где введена кол~плексиая величина 1= х — (отх.

(18,9) Уравнение (18,8) уже не второго, а первого порядка. Без правой части его решением было бы т=Ае ьм с постоянной Л. Следуя общему прзвнлу, нщем решение неоднородного уравнения в виде т=Л(()е '"' н для функции А(() получаем урзвненне (т(() ет т Интегрнруя его, получим решение ураанення (18,8) в виде (18,10) где постоянная ннтегрнрозання тэ выбрана так, чтобы пред- ставлять собой аначенне 1 з момент времени (=О.

Это н есть нскомое общее решение; функция х(() дается мннмой частью 'выражения (18,10) (деленной на — ы)'). ') Прн этом, разумеется, сила Р(т) должна быть написана в вевтестаенном нндг. Предсгавнв Л н В соответственно з анде ае н Ье та, получнм: с'=а'+Ь'+ 2аЬсоз(я( --, '8 — а). (18,У) вынкждвнныв коливлння $ ий )е(со)!а= — „,, ~ Р(1)е' 'и'! С яру~ой стороны, энергия системы как таковой дается выражением Е= —;.(ха+ ш'х')= —, 1 а.