1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (Ландау Лифшиц Краткий курс теоретической физики Механика электродинамика Кн1u), страница 8

11 построение. Если единичный вектор пп направлен вдоль ОС, то векторы АС и СВ дают соответственно импульсы р( и рь При ззданном р1 рзднус окружности и положение точки А неизменны, а точка С может занимать любое положение на окружности. Точка А лежит внутри окружности при лггс" лга (рис. 11, а) и впе окружности, если т,)вта (рис. 11, б). хпвхгие столкновения частиц $ ы1 б/т, т гГгг р, а/ггг, т лв тг Й=т — гдг р -тв т,' г ' Ряс. 11, что углы Вг и 6, могут быть выражены через угол у фор- мулами , з1п» а, +т,ожХ ' — Х 2 (14,4) Выпишем также формулы, определяющие абсолютные вели- чины скоростей обеих частиц после столкновения через тот же угол Х: Ргаг + аг + 2а, а„сот Х + з1п ~-. (Н,б) 2агв .

Х гп, +гл, пи+а, Сумма 0, + Ва есть угол разлета чзстиц после столкновения. Очевидно, что Вг+6, >в12 при а,(аа и 6, +Вя(к/2 при лг, >глт. Случаю, когда обе частицы после столкновения движутся на одной прямой («лобовой ударь), соответствует у =я, т.

е. положение точки С нз диаметре слева от точки А (рис. !1, а; Указанные на рисунках углы Вг и 0, представляют собой углы отклонения чзстиц после столкновения по отношению к направлению удара (направлени1о р,). Центральный же угол, обозначенный на рисунках посредством у (дающий направление п,), представляет собой угол поворота первой частицы в системе центра инерции.

Из рисунка очевидно, 1гл, гч СТОЛКНОВЕНИЯ ЧЛСТИЦ при этом р,' и р,' взаимно противоположны) или между А и О (рис, 11, б; при этом р,' и р,' напрзвлены в одну сторону). Скорости частиц после столкновения в этом случае равны м,+и„' я ми+а, Значение о, при этом — наибольшее возможное; максимальная энергия, которую может получить в результате столкновения первоначально покоившаяся частица, равна, следовательно, ~Рвпах 4яба, и к 2 ( 1 Р (14,7) где Ег = тлр,'~2 — первонзчальная энергия налетз|ощей частицы. При т,« лгя скорость первой частицы после столкновения может иметь любое направление.

Если Рнс. 12. же т~~лгя, угол отклонения пздзющей частицы не может превышать некоторого мзксимального значения, соответствующего такому положению точки С (рис. 11, б), при котором прямая АС касается окружности. Очевидно, что з1п 0,м,„= ОС/ОА, или мз в1п 0,~,„= —, м~ (14,8) О,=-,"- 0 = ' (1 4,9) о~='осоз —., В,=оып 2 . (14,10) Отметим, что частицы разлетаются после столкновения под прямым углом друг к другу.

Особенно просто выглядит столкновение частиц (ив которых одна первоначально покоится) с одинаковыми массамн. В этом случае не только точка В, но и точка А лежат на окружности (рис. 12). При этом 51 з щ РАССЕЯНИЕ ЧАСТИЦ ф 15. Рассеяние частиц Как было уже укззано в предыдущем параграфе, полное определение результата столкновения двух частиц (опреде- ление угла у) требует решения уравнений движения с уче- том конкретного закона взаимодействия частиц.

В соответствии с общим правилом будем рассматривать сначала эквивалентную задачу об отклонении одной частицы с мзссой гл в поле с!(г) неподвижного силового центра ! (расположенного в центре инерции частиц). Траектория частицы в центральном поле симметрична по отношению к прямой, прове! денной в ближайшую к центру точку орбиты (ОА иа рис.

13). Поэтому обе асимптоты ор- г"!Ра е ., Р, биты пересекают указанную 0 прямую под одинаковыми угла- Рнс. !3. ми. Если обозначить эти углы посредством Р„то угол у отклонения частицы при ее пролв- тзнин мимо центра есть, как видно нз рисунка, у=! — 2у,!. (15,1) Угол же 1~ь определяется согласно (!2,7) интегралом 1аь = М вЂ” лг 11 М' 1 ~/ 2гл (Š— 1Г(г)) — —, ГП3!П (15,2) взятым между ближайшим к центру и бесконечно удаленным положениям частицы. Напомним, что гж!„является корнем выражения, стоящего под знаком радикала. При иифинитном движении, с которым мы имеем адесь дело, удобно ввести вместо постоянных Е и М другие — скорость и частицы на бесконечности и так называемое прицельное расстояние р. Последнее предстзвляет собой длину 52 СТОЛКНОНЕНИЯ ЧАСТИЦ перпендикуляра, опушенного иэ центра на направление т , т.

е. Расстояние, на котором частица прошла бы мимо центра, если бы силовое иоле отсутствовало (рис. 13):. Энергия и момент выражаются через эти величины согласно юег 2 (15,3) а формула (15,2) принимает вид лг Р )/ с 2У (15,4) Вместе с (15,1) она определяет зависимость у от р. В физических применениях приходится обычно иметь дело не с индивидуальным отклонением частицы, а, как говорят, с рассеянием целого пучка одинаковых частиц, падающих на рассеивающии центр с одинаковой скоростью т различные частицы в пучке обладают различными прицельными расстояниями и соответственно рассеиваются под различными углами у, Обозначим посредством л[Х число частиц, рассеиваемых в единицу времеви на углы„лежащие в интервале между у и )[+с[у.

Само по себе это число неудобно для характеристики процесса рассеяния, так как оно зависит от плотности падающего пучка (пропорционально ей). Поэтому введем отношение г[Ф а[а =— В Л (15,5) где я — число частиц, проходящих в единицу времени через единицу плоШали поперечного сечения пучка (мы предполагаем, естественно, что пучок однороден по всему своему сечению). Это отношение имеет размерность плошади и называется эффенглианым сечением (или просто сечением) рассеяния. Оно всецело определяется видом рассеивающего поля и является важнейшей характеристикой процесса рассеяния.

Будем считать, что связь между )[ и р — взаимно однозначна; это так, если угол рзссеяния является монотонно убывающей функцией прицельного расстояния. В таком случае рассеиваются в заданный интервал углов между )( н 4 |а1 РАссеяпие ЧАстиц ~й = 2пр т(р. (15,6) Чтобы найги зависимость эффективного сечении от угла рассеяния, достзточно переписать это выражение в виде гй=2кр(Х)~ Р Х ~ау аР (Х) аХ (15,7) Мы пишем здесь абсолютное значение производной т(р/агу, имея в виду, что она может быть отрицательной (как это обычно бывает) Часто относят Ыо ие к элементу плоского угла т(Х, а к элементу телесного углз тло, Телесный угол между конусами с углами раствора у и у+с(Х есть Ыо= =2яз(пупу.

Поэтому имеем из (15,7): (15,6) Возвращаясь к фактической задаче о рассеянии пучка частиц не на неподвижном силовом центре, а на других первоначально покоившихся частицах, мы можем сказатц что формула (15,7) определяет эффективное сечение в зависимости от угла рассеяния в системе центра инерции. Для нахождения же эффективного сечения в зависимости от угла рассеяния 8 в лабораторной системе надо выразить в этой формуле Х через 6 согласно формулам (14,4). При этом получаются выражения как для сечения рассеяния падающего пучка частиц (у выражено через 9,), так и для частиц, первоначально покоившихся ()( выражено через Оа), Задачи 1. Определить эффективное сечение расселина частиц на абсолютно твердом шарике радиуса а (т. е. при законе взаимодействия: У=Со при г(а н 0=0 прн г~а).

Решение. Так как вне шарика частица движется свободно, а внутрь него проникнуть вообще не может, то траектория Х + ф лишь те частицы, которые летят с прицельным расстоянием в определенном интервале не кду р(Х) и р()()+с(р(Х). Число таких частиц равно произведенгю и на площздь кольца между окружностями с радиусами р н р+ттр, т. е.

ФМ= =2прс(р и. Поэтому эффективное сечение СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ (гл, ри складывается из двух прямых, расположенных симметрично относительно радиуса, проведенного в точку их пересечения с шариком (рис. 14). Как видно из рисунка, р=а а)пуп=аз)п "=асов —. 11 2' Подставляя в (15,7) нли (15,8), получим: ва' а' к(а = — Мп )( кр)( = — кто, 2 4 т. е. в системе центра инерции рассеяние иэотропно.

Интегрируя ктп по всем )глам, найдем, что полное сечение а = па-', в соответствии с тем, что прицельная площадь, в которую должнз попасть частица для того, чтобы вообще рассеяться, есть площадь сечения шарика. 2. Для того же случая выразить эффективное сечение как функцию энергии к, теряемой рассеиваемыми частицами.

Р е ш е н и е. Энергии, теряемая частицей то совпадает с энергией, приобретаемой частицей кяк. Согласно (14,5) и (14,7) имеем: 2шкрла к у = ккпак э)п 2 ' откуда к(к = —, жп Х ИХ, 1 кппк н, подставляя в формулу (1) задачи 1, получим: ктк Рис. 14. к(а = пак —. аюак Распределение рассеннных чзстиц по значениям к оказывается равномерным во всем интервале к от нуля до к шаю 3. Определить эффективное сечение для падения часткац (с лкассами ш,) на поверхность сферического тела (с массой глк и ради)- сом )т), к которой они притягиваются по закону Ньютона.

Р е ш е н и е. Условие падения заключается в неравенстве г ш ~)с, где г,„ш — ближайшая к центру сферы точка траектории частицы. Наибольшее допустимое значение р определвется уело- вием г ,.„=)Р, что сводится к решению )равнения 5',ЗЗ()к) =1: нли лк о р,„„лк,оа к к 2Д' )(к 2 1 м1 ФОРМУЛА РЕЗЕРФОРДА причем а =тлйглл (т — гравитационная постоянная), и мы положили ю ы юн считал, что ю, лэ тч НаходЯ отсюда аэюлю полУчим: а = ктгэ (1+ — ) 11ри о со эффективное сечение стремится, естественно, к геометрической площади сечения сферы.

ч1 16. Формула Резерфорда Одно из важнейших применений полученных выше формул — рассеяние заряженных частиц в кулоновском поле. Положив в (15,4) (у=а/г и производя элементарное интегрирование, получим: а ио~ Р рэ = агссоз ~/' 1+ а ~' +~- ) откуда аэ или, вводя согласно (15,!) Рэ — — (я — Х)~2: ра= —,, с1й— эХ глэо" 2 ' (16,1) л(ифференцируя это выражение по т и подстзвляя в (15,7) или в (15,8), получим; соэ Х 2 (16,2) илн по=~ —,, ) 2 (16,8) Это так называемая формула Резерфорда, Отметим, что эффективное сечение не зависит от знака о, так что полученный результат относится в равной степени к кулоновскому полю отталкивания и притяжения. 1гл.

ш столкноввння частиц Формула (16,3) дает эффективное сечение в системе отсчета, в котороп покоится центр инерции сталкивающихся частигь Преобразование к лабораторной системе производится с помощью формул (14,4). Для частиц, первоначально покоившихся, подставляя у=я — Оа!2 в (16,2), получим: / « 1т мп 8, / я 1а Ло, Ыаа = 2я / — „) —,' г(0м — — ~~ —,) —,' —. (16,4) Для падающих же частиц преобразование приводит в общем случае к весьма громоздкой формуле. Отметим лишь два частных случая. Если масса гла рассеивающей частицы велика по сравнению с массон лг, рассеиваемон частицы, то у 6ь а лг~лгь так что (16,5) 81п~ ' 2 где Е, =лье* !2 — энергия падающей частицы.