1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (Ландау Лифшиц Краткий курс теоретической физики Механика электродинамика Кн1u), страница 7

4 н! ДВНЖЕННЕ В ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЯ О~сюда Г = — = ~à — [Š— У(г)) — —,; (12,6) М' или, разделяя переменные и интегрирую + сопя!. (1 2,6) 1/ — (Š— и(г)) — М. А(злее, написав (12,2) в виде ир= —,йг, подставив сюда й! из (12,6) и интегрируя, находим: т= » М вЂ” я'г г' Г . Мт + сопя!. (12,7) ~»м (Š— и(г)) — — „, Формулы (12,6) и (12,7) решают в общем виде поставленную задачу. Вторая из них определяет связь между г и чч т. е.

уравнение траектории. Формула же (12,6) определяет в неявном виде расстояние г движущейся точки от центра как функцию времени. Отметим, что угол р меняется со временем монотонным образом — из (12,2) видно, что ф никогда не меняет знака. Выражение (!2,4) показывает, что радиальную часть движения можно рассматривать как одномерное движение в поле с сэффективное» потенпиальнои энергиеи М' 'ЕВ ( )+ 2яи. ' (12,8) Величину МЯ[2тга называют центробежной энергией. Значения г, при которых А1» (г( )+ 2 —,— — Е, (12,9) ненни движения.

Выражая ф через Л4 из (12,2) и подставляя в выражение для энергии, получим: Е 2 (Г~+ гафт)+ У(г) "» + М + У(г) ( 4) 42 ННТЕГРИРОВЛННЕ УРЛВНЕНИН ДВИЖЕНИЯ 1ГЛ. 1!1 галии г< — Дг 1л Ау=2 1/ 2щ (Š— с!) — —,, "щ!и (! 2,10) Условие замкнутости траектории закл!очаегся в том, чтобы этот угол был равен рациональной части от 2к, т. е. имел вид Ьу=2пп,/пз, где и„!л! — целые числа. Тогда через и, повторений этого периода времени радиус-вектор точки, сделзв п! полных оборотов, совпадет со своим первоначальным значением, т, е.

траектория залиснется, определяют границы области движения по расстоянию от центра. При выполнении равенства(12,9) радиальная скорость г обращается в нуль. Это не означает остановки частицы (как при истинном одномерном движении), так как угловая скорость ф не обращается в нуль. Равенство Р = 0 означает гпочкУ поволлопга тРаектоРии, в котОРой фУнкциЯ г(!) переходит от увеличения к уменьшению или наоборот. г Если обласп попу- стимого изменения г огра! ничена лишь одним усло! ! вием г=- г„пщ то движе1 гиа ние частицы инфинитно— ее траектория приходит нз бесконечности и уходит иа бесконечность.

l Если область изменепия г имеет две границы Гщш И Гщлл ТО ДВИЖЕНИЕ является финитным и траРис. 6. ектория целиком лежит внутри кольца, ограничен- НОГО ОКРУЖНОСТЯМИ Г = Гщлл И Г Гщ!и ЭТО Одиано НЕ Озна чает, что траектория непременно является замкнутой кривой. За время, в течение которого г изл!еняется от г,„до г 1„ и затем снова до г,щ РадиУс-вектоР повеРнетсЯ на Угол ДР, равный согласно (12,7) а ~з1 КЕПЛЕРОВЛ ЗАДАЧА В 13. Кеплерова задача Важнейшим случаем ценгральных полей являются поля, в которых потенциальная энергия обратно пропорциональнз г и соответственно силы — обратно пропорциональны га.

Сюда относятся ньютоновские поля тяготения и кулоновские электростатические поля; первые, как известно, имеют характер притяжения, аппп а вторые могут быть как полями притяжения, так и отталкивания. Рассмотрим сначала поле притяжения, в котором с положительной постоянной а. График «эффективной» потенциальной энергии а М" (7 фф= — -+ — (162) г 2яп' Рис.

7. имеет внд, изображенный на рис, 7. При г-»О она обращается в +со, а при г-»со стремигся к нулю со стороны отрицательных значений; при г=яп1агл она имеет минимум, равный пыл ((~»фф)~п~п = 2ф(п ° Однако такие случаи исключительны, и при произвольном виде У(г) угол Ьу не является рациональной частью от 2к.

Поэтому в общем случае траектория финитного движения не замкнута. Она бесчисленное число раз проходит через минимальное и максимальное расстояние (как, например, на рис. 6) и за бесконечное время заполняет все кольцо между двуми граничными окружностями. Существуют лишь два типа центральных полей, в которых все траектории финитных движений замкнуты. Это по.чя, в которых потенциальная энергия частицы пропорционзльна 1/г или г'. Первый из этих случаев рассмотрен в следующем парагрзфе, а второй соответствует так называемому пространственному осциллятору (см.

задачу 3 9 19). 44 интеГРНРОВлние РРАВне1ю!и дВижения !Гл. 1и Из этого графика сразу очевидно, что при Е= 0 движение частицы будет инфинитным, а при Е 0 — финитным. Форма траектории получается с помощью общей формулы(12,7). Подставляя в нее У= — а!г и производя элементарное интегрирование, получим: М 1ла т = дгссоз + сонь!. г М т"а' 2тЕ+— ЛР Выбирая начало отсчета угла е так, чтобы сопя!=0, и вводя обозначения Ма Г 2ГМ" р= —,, е=)/ 1+ —, (13,4) перепишем формулу для траектории в виде Р =1+есоз11. (13,5) Это — уравнение конического сечения с фокусом в начале координат; р и е — так называемые параметр и эмсгаентрп- сптет орбиты.

Сделанныи нами а выбор начала отсчета 1Р за- 1 ключается, как видно из(13,5), р в том, что точка с в=О яв- О ляется ближайшей к центру. В эквивалентной задаче двух ае тел, взаимодействующих по закону (13,1), орбита каждой из частиц тоже представляет собой Е2 коническое сечение с фокусом в их общем центре инерцян. Рнс. З. Из (13,4) видно, что при Е( 0 эксцентрнситет е ( 1, т. е. орбитз является эллипсом (рис. 8) и движение финитно в соответствии со сказанным в начале параграфа. Согласно известным формулам аналитической геометрии большая и малая полуоси эллипса р а р М а= —,= —,, Ь= .

(13,6) Наименьшее допустимое значение энергии совпадает с (13,3), квплвэоэа задача при этом е=О, т. е. эллипс обращается в окружность. Отме- тим, что большая полуось эллипса зависит только от энергии (но не от момента) частицы. Наименьшее и наибольшее рас- стояния до центра поля (фокуса эллипса) равны гмы —— — — — а(1 — е), гм»»= —— а(1+е) (13,7) Р Р Этн выражения (с а и е иа (!3,6) и (13,4)) можно было бы, конечно, получить и непосредственно как корни уравнения 0„,(г) =Е.

Время обращения по эллиптической орбите, т. е. период движения Т, удобно определить с помощью закона сохранения момента в форме «интеграла площадей» (12,3) Интегрируя это равенство повремени от нуля до Т, получим: 2ллу= ТЛ4, где Т" — площадь орбиты. Лля эллипса у=пай, н с помощью формул (13,6) находим: / ля / т Т=2га !» 1Гà — =иа "аЛ вЂ”, )л 2~ЕЕ (13,8) (13,9) г„,ь = — )-= а (е — 1), Л е+Г где « — «полуось» гиперболы, Отыетим, что период зависит только от энергии частицы. При этом квадрат, периода пропорционален кубу линейных размеров орбиты (так называемый третий закон Келлера).

При Е )О движение инфинитно. Если Е) О, то эксцентриситет е) 1, т. е. траектория является гиперболов, огибающей центр поля (фокус), как показано на рис. 9. Ближайшее расстояние до центра 46 ИЫТЕГРИРОВЛНИЕ УРЛВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 1ГЛ. ГИ В случае же Е=0 эксцентриситет е=1, т. е. частица движется по параболе, с минимальным расстоянием гм!„— — р1'2. Этот случай осушествляется, если частица начинает свое движение из состояния покоя на бесконечности.

Обратимся к движению в поле отталкивания, в котором (у=— (13,10) (а)0). В этом случае эффективная потенциальная энергия а Л1! г + 2аг' Рис. 10 монотонно убывает от + со до нуля при изменении г от нуля до со. Энергия частицы может быть только положительной и движение всегда инфинитно, Все вычисления для этого случая в точности аналогичны произведенным выше, Траектория является гиперболой (илн параболой при Е= О): — „= — 1+е созе (13,11) (р и е определяются прежними формулами (!3,4)).

Она проходит мимо центра поля, как показано на рпс. 10. Миниматьное расстояние до центра гя,!я — — — — — а (е+ 1). (13,12) Глава !Ч СТОЛКНОВЕНИЯ ЧАСТИЦ $ 14. Упругие столкновения частиц Уже сами по себе законы сохрзнения импульса и энергии позволяют сделать во многих случаях ряд важных заключений о свойствах различных механических процессов.

При этом особенно сушественно то обстоятельство, что эти свойства совершенно не зависят от конкретного рода взаимодействия между участвуюшими в процессе частицами. Рассмотрим упругое столкновение двух частиц, т. е. столкновение, при котором внутренние состояния частиц не меняются, В силу этого свойства прн применении к упругому столкновению закона сохранения энергии можно не учитывать внутренней энергии частиц.

Будем называть лабораторной систему отсчета, в которой одна из частиц (пусть это будет частица пар) до столкновения покоилась, а другая (гп,) двигалась со скоростью ч. Г!роше всего, однако, столкновение выгляди~ в другой си стеме отсчета, в которой покоится центр инерции обеих частиц (тстема центра инерцпп) значения величин в этой системе будем отличать индексом О. Скорости частиц в системе центра инерции связаны со скоростью ч в лабораторной системе соотношениями чы —,- ч, чрр — — —,— ч мр+мр мр+мр (ср. (! 1,2)) В силу закона сохранения импульса импульсы обеих частиц остаются после столкновения равными по величине и противоположными по направлению, а в силу закона 48 столкновения частиц 1гл. ~ч сохранения энергии остаются неизменными и их абсолютные величины. Таким образом, результат столкновения сводится в системе центра инерции к повороту скоростей обеих чзстиц, остающихся вззнмно противоположными и неизменными по величине.

Если обозначить посредством пп единичный вектор в направлении скорости частицы т1 после столкновения, то скорости обеих частиц после столкновения (отличаем их штрихом) будут: ч1а= ' опн чю= — ' ппь (14,1) т,+т, ' т+т, Чтобы возвратиться к лабораторной системе отсчета, надо добавить к этим выражениям скорость Ч центра инерции. Таким образом, для скоростей частиц в лабораторной системе после столкновения получаем: т, т, ч~= ч, т,+т, ' т,+т, т, т1 чт = — + опп+ + ч. (14,2) Этим исчерпываются сведении, которые можно получить о столкновении, исходя из одних только законов сохранения.

Направление же вектора п, зависит от закона взаимодействия частиц и их взаимного расположения при столкновении. формулы (14,2) можно интерпретировать геометрически, для чего удобнее перейти от скоростей к импульсам. Умножив равенства (14,2) соответственно на и, и тя, получим: т~ Р( = тппп+ Рь ть+тп тп рй = — шапа + пи + тп (где т=т,т~~~(т1+та) — приведенная масса). Построим окружность с радиусом гио и произведем указанное на рис.