1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (Ландау Лифшиц Краткий курс теоретической физики Механика электродинамика Кн1u), страница 5

При переносе вдоль соответствующей координатной оси механические свойства системы, очевидно, не меняются, и тем же способом мы найдем, что проекция импульса на эту ось сохраняется. Так, в однородном поле„ направленном вдоль оси з, сохраняются компоненты импульса вдоль осей х н у. Исходное равенство (7,1) имеет простой физический смысл, Проиаводнзя дЕ)дг,= — дЕГ/дг, есть сила Г„действующая иа а-!о частицу.

Тзким образом, равенство (7,1) означает, что сумма сил, действующих на все частицы замкнутой системы, равна нулю: 'у Г.=О. а (7,4) В частности, в случае системы, состоящей всего из двух материальных точек, Г!+Гл=О: сита, действующая на первую частицу со стороны второй, равна по величине, но противоположна по направлению силе, действующей на вторую частицу со стороны первой.

Это утверждение известно под л!азваниеы замена равенслчаа дсдствнл и лротпзодебслланн. Если дни!кение описывается обобщшгнымн координаталнл то производные лагранжевой функции по обобщенным скоростям дЕ д4 (7 б) называю!си обобщеньыжн ижпульла.ян, а производные дд Г! —— д— % (7,6) называются обобщенны.нп ссслажп. В эпгх обозначениях урав- нения Лагранжа имеют вид (7,7) В декартовых координатах обобщенные импульсы совпадают с компонентами векторов р,. В общем же случае величины р! являются линейными однородными функциями обоб. шенных скоростей дг, отн!одь не сводящимися ь произведениям массы на скорость. % з] нанти ннавцнн ф 8.

Центр инерции Импульс замкнутой механической системы имеет различные значения по отношению к различным (инерциальным) системам отсчета. Если система отсчета К' движется относительно системы отсчета К со скоростью Ч, то скорости и,' и и чзстиц по отношению к этим системам связаны соотношением ч =ч„+Ч. Поэтому связь между значениями Р и Р' импульса в этих системах дается формулой или В частности, всегда сушествуег такая система отсчета К', в которой полный импульс обрашается в нуль. Положив в (8,1) Р'=О, найдем, что скорость этой системы отсчета равна (8,2) Если полный импульс механическ~(й системы равен нулю, то говорят, что она покоится относительно соотаетствуюшей системы отсчета. Это 'является вполне естественным обобщением понятия покоя отдельной материальной точки.

Соответственно скорость Ч, даваемая формулой (8,2), приобретает смысл скорости «дви>кения как целогоь механической системы с отличным от пуля импульсом. Мы видим, таким образом, что закон сохранения импульса позволяет естественным образом сформулировать понятия покоя и скорости механической системы как цело~о. формула (8,2) показывает, что связь между импульсом Р и скоростью У системы кзк целого такая же, какая была бы между импульсом н скоростью одной материальной точки с массой р = ~ ш„, равной сумме масс всех частиц в системе. Это обстоятельство можно сформулировать кзк утверждение об аддилнгвношлп ласси.

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ (гл 1! Правая сторона формулы (8,2) может быть представлена как полная производная по времени от выражения ~г ~~лата й=, Хотя эта формула сама по себе довольно очевидна, дадим ее прямой вывод. Энергии Е и Е' механической системы в двух системах отсчета К и К' связаны соотношением Гпааа + (Г= '2 ~~~, ща (Ха+ АГ) + у= а а — +Ч у гл,т,'+ ~~~~~ —;а + у а а или + + 2 (8,5) Можно сказать, что скорость системы как целого есть скорость перемещения в пространстве точки, радиус-вектор которой дается формулой (8,3) Такую точку называют центролг пнерцлн системы. Закон сохранения импульса замкнутой системы можно сформулировать как утверждение о том, что ее центр инерции движется прямолинейно и равномерно.

В таком виде это есть обобщение закона инерции, сформулированного в 3 3 для одной свободноп материальной точки, ацентр инерции» которой совпадает с ней самой. При изучении механических свойств замкнутой системы естественно пользоваться тон системой отсчета, в которой ее центр инерции покоится, Тем самым исключается из рассмотрения равномерное и нрямолиненное движение системы как целого. Энергию покоящейся как целое механической системы обычно называют ее внутренней энергией Е„а Она включает в себя кинетическую энергию относительного движения частиц в системе и потенциальную энергию их вззимоденствия.

Полная же энергия системы, движущейся как целое со скоростью 1; может быль представлена в виде: Е=Р2 +Е,„. (8,Ц) $91 МОМЕНТ ИМПУЛЬСА Этой формулой определяется закон преобразования энергии при переходе от одной системы отсчета к другой, подобно тому кзк для импульса этот закон дается формулой (8Л). Если в системе К' центр инерции покоится, то Р'=О, Е'=Е,„, и мы возвращаемся к формуле (8,4). 9 9. Момент импульса Перейдем к выводу закона сохранения, возникновение которого связано с пзотрогшей нроеглранепгва. Эта изотропия означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте системы как целого в прострзнстве. В соответствии с этим рассмотрим бесконечно малый поворот системы и потребуем, чтобы ее функция йа г Лагранжа при этом не изменилась.

= Е Введем вектор йгр бесконечно малого поворота, абсолютная величина которого равна углу йу поворота, а направление совпадает с осью поворота (причем так, что направление поворота отвечает правилу винта по отношению к направлению йф). Найдем, прежде всего, чему равно прн таком повороте приращение радиус-вектора, проведенного из общего начала координат "ис (расположенного на оси вращения) к какой- либо из материальных точек поворачиваемой систел|ы.

Линейное перемещение конца радиус-вектора связано с углом соотношением ~6г',=гз|пб йф (рнс. 3). Направление же вектора ог перпендикулярно к плоскости, проходящей через г и пгр. Поэтому ясно, что 3г=[оср г]. (9Л ) При повороте системы меняется направление не только радиус-векторов, но и скоростей всех частиц, причем все векторы преобразуются по одинаковому закону. Поэтому приращение скорости относительно неподвижной системы координат йч = (йф ° У). (9,2) зАкОны сохРАне! стая ~гл. ц — ~~с (д дга + ~ дча) а 0 а и заменив пРоизводные дс.,тдта=Рса дЕ/дг„=Р„, полУчим: Че (р, [дср.

г,] + р, [дср га]) = О. а Наконец, производя циклическую перестановку множителей н вынося дтр зз знак сумин, находим: дтр ~~)([г,р,] + [тар ]) = дтр — Ь] [г,р,] = О. Ввиду произвольности асср отссода следует, что И %' — г [г„р„1=0, а т. е. мы приходим к выводу, что при дзихсении замкнутой системы сохраняется векторная величитьа М = ~~ ', [г,р,], а (9,3) НаЗЫВаЕМаЯ МОМЕНтОМ тСЛСЛттЛЬСа (ИЛИ ПРОСТО ЛСОМЕНАЧОМ) системы '). Аддитивтсость этой величины очевидна, причем, как и у импульса, она не зависит от наличия или отсутствия взаимодействия между частицами.

Этим исчерпываются аддитивные интегралы движения. Таким образом, всякая замкнутая система имеет всего семь таких интегралов: энергия и по три компоненты векторов импульса и момента. Поскольку в определение момента входят радиус-векторы частил, то его знзчеиие, вообще говоря, зависит от выбора начала координат. Радиус-векторы г и г, одной и той же ') Употребвясатсв также названия вращательный мо,кент иаи угловой моментп. Подставив эти выражения в условие неизменяемости функции Лагранжа при повороте момпнт нмпьльсл точки по отношению к началам, отстоящим на расстоянии а, связаны соотношением г,=г,' + а, Поэтому имеем: М=,У~ [г,р.]= Я [г.'р,)+ [в ~ р,) или М=М'+ [аР).

(9,4) Из этой формулы видно, что только если система как целое покоится (т. е. Р=О), ее момент не зависит от выбора начала координат. На законе сохранения момента эта неопределенность его значения, разумеется, не сказывается, так как у замкнутой системы импульс тоже сохраняется. Выведем также формулу, связывающую значения момента импульса в двух различных инерциальных системах отсчета К и К', из которых вторая движется относительно первой со скоростью Ч. Будем считать, что начала координат в системах К и К' в данный момент' времени совпадают.

Тогда радиус-векторы частиц в обеих системах одинаковы, скорости же связаны посредством к,=ч,'+Ч. Поэтому имеем: М =,Я~ лгч [гачч[ = ~Л~~ лга [гана)+ ~ лга [1 аЧ) Первая сумма в правой стороне равенства есть момент М в системе К', введя во вторую сумму радиус-вектор центра инерции согласно (8,3), получаем: М=М -[-9[БИЧ). (9,5) Эта формула определяет закон преобразования момента импульса при переходе от одной системы отсчета к другой, подобно тому, как для импульса и энергия аналогичные законы даются формулами (8,1) н (8,5). Если система отсчета К' есть та, в которой данная механическая система покоится как целое, то Ч есть скорость центра инерции последней, а рЧ вЂ” ее полный импульс Р (откосительно К).

Тогда М=М+[ДР). (9,8) Другими словами, момент импульса М механической системы я л. д. лаялзв я. м. лифмнч зАкОны сохвлниния ~гл, и складывается из ее «собственного момента» относительно системы отсчета, в которой она покоится, и момента (КР1 связанного с ее движением как целого. Хотя закон сохранения всех трех компонент момента (относительио произвольного начзла координат) имеет место только для ззмкнутой системы, в более ограниченном виде этот закон может иметь кесто и для систем, находящихся во внешнем поле.