1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (Ландау Лифшиц Краткий курс теоретической физики Механика электродинамика Кн1u), страница 2

Ниже, как это принято, мы будем часто обоаначать дифференцирование . по времени точкой над буквой: и' -г. Для определения положения системы из М мзтериальных точек в пространстве надо зздать»«Г радиус-векторов, т. е. Зг«Г координзт. Вообше число независимых величин, задание которых необходимо для однознзчного определения положения системы, называется числом ее степеней свободы; в данном случае это число равно Зглг. Эти величины не обязательно «) Вместо термина «ллатсрвальная точка» мы б!дем часто говорить о ««ласт«лиях».

!гл, ! УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ должны быть декзртозыми координзтзыи точек, и в ззвисимости от условий задачи ыоя<ет оказаться более удобным выбор каких-либо других координат. Любые ч Величин д>, бь ..., п„вполне хаРзктеРнзУющне положение системы (с в степенями свободы). Иззывзют ее обобшснныжн координата.ип, з пронззодные >)! — ее обобьйенньтнн югоростялп!. Задание значений обобщенных коордипзт еще не определяет, однако, «механического состояния» системы и дзнный момент Времени в тоы смысле, что оно не поззоляет предскзззть положение системы В последу.ющпе моменты времени.

При заданных знзчениях координат система может облздзть пронззольиыми скоростями, з з зззиснмостн от значения последних будет различным и положение системы в следующий момент Времени (т, е. через бесконечно малый временной интервал й!), Одновременное мсе задание всех коордпна.г и скоростей полностью определяет, кзк покззыззет опыт, состояние системы и позволяет в принципе предсказать дзльнейшее ее движение.

С математической точки зрения э>о знзчит, что задзннем всех коордннзт 5) и скоростей (! В некоторый момент зрел>ени однознзчпо определяется тзк>ке и знз >ение ускорений 5) В этот момент '). Соотношения, сзязыза>ощие ускорения с координзтзыя и скоростямн, называются уравненнялн! двйлсения. По отношению к функциям д(!) это — дифференциальные уравнения Второго порядка, интегрнроззние которых позволяет в принципе определять эгн функции, т. е. траектории дзгнке;шя мехзннческой системы. ф 2. Принцип наименьшего действия Паиболее общая форыулнровкз закона движения ыехлнических ш>стеь> дэется так называемым н)ннпплож наименьшего действия (или лрпнйнлож Га.>п>льг>>она). Согласно этому пришхипу кзждзя мехзническзя система характеризуется определенной функцией (ч>1 ч> ' ' ' >>Р 551' 5>Ь ' ' 55 ~) ') для краткости обознлчсннй ыы бтден часто >словно понимать под о совокхппость всех кооРдинат до дь ..., 5)5 (и под !) аналогично совок>ппость всех скорое>сй).

пгннцнп нлименьшего действия ~=~ ~.~<1,й,с)й( (2,1) имеет наименьшее возл!ожное значение. функция ь называется функцией Лагранжа данной системы, а инте! рал (2,1)— деаствпеж. Тот факт, что функция Лагранжа содержит только а и д, но не более высокие производные координат по времени, является выражением указанного выше факта, что механическое состояние полностью определяется заданием координат и скоростей. Перейдем к выволу дифференциальных уравнений, решающих задачу об определении минимума интеграла (2,1). Для упрощения записи формул предположим сначала, что система облалает всего одной степенью свободы, так что должна быть опрелелена всего одна функция !1(г). Пусть у=!у(Г) есть как раз та функция, для которой 8 имеет минимум.

Это значит, что 8 возрастает при замене !1(() на любую функцию вила Ч (() + в у (с), (2,2) гле яд(!) — функция, лгалая во всем интервале времени от Г! до гя (ее называют вариацией функции д(()); поскольку при ~=!! и (=Е, все сранниваемые функции (2,2) должны принимать одни и те же значения ф" и гу!Я1, то должно быгщ 3д (1,) = Вд ((я) = О. (2,3) Изменение 8 при замене !у на д+ Ьр дается разностью !» ~ (- (й+ (к(, 4+ Ч, () "с — ~ (- (х, 4, с) йд Разложение этой разности во степеням вд и Ьд (в подынтегральном выражении) начинается с членов первого порядка или, в краткой записи, Е(а, д, Г), причем движение системы удовлетворяет следу!ощему услови!о, Пусть в моменты времш!и !=!! и (=гя систел!а занимает определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений коорлинат сг!!! и д1-'.

Тогда между этими положениями система дана!ется таким образом, что интеграл увлвнення движения 1гл ! Необходимым условием минимальности Я является обращение н нуль совокупности этих членов; ее взвывают первой вариа- цией (или просто вариацией) интеграла. Таким образом, принцип наименьшего действия л~ожно записать в виде !а Ы=~~ Г(Г, ), !)г(Г=О, и или, произведя варьиронаиие: н ,'д! .

дь' ~ — '1Г + —. е Р1 (! = О. 1 до дг) г! Замечая, что Ц= — огу, проинтегрируем вго)-ой член ио сИ частим и получим: сК= — 'ес! ~ + 1 1 — — -- —.! ЬО й = О. (2,5) дЕ, ' Р 'дА г! дУ.1 д4 1 ' ~ (дскб сй дгУ,' Но в силу условии (2,3) первый член в этом выражении исчезает. Остается интеграл, которыя должен быть равен нулю при произвольных значениях 3д. Это возможно только в том случае, если подьшгегральпое выражение тождествешш обращается в нуль.

Тзким образом, мы получаем уравнение д! И вЂ” — =. — = = О. г(г дг) дг! Г!ри нзличии 1ксколькнх с~спенси свободы в принципе наименьшего действия должны независимо ваГьировзться з различных функций гГа(!). Очевидно, по мы получим тогда ч уравнений вида д! д!. -Ы вЂ”.— — —— 0 (!= 1, 2,..., а), (2, 6) лг д4; дш Это — искомые дифференциальные уравнения; они нззываются в мехаиьтеурааненпллги уГагуанжа '). Если функция Лагранжа даниоп механической системы известна, то уравнения (2,6) ') В вариацнонноч исчисление, рассчатрнваюшсн формальную задача об определении внсгрснгнов шпегралов вида (2,1), они иааывлютсн 1рависнинми Энлера.

$2! пгиицип ЦА1ю1щ!ьшего дгпстгця ! '> Э го свойство аддитивности функции Лагранжа выражает собой тот факт, что уравнения движения каждой из невзаимодействующих частей пе могут содержать величины, относящиеся к друп!и частям системы. Очевидно, что умножение функции Лагранжа механической систеапя на произвольную постоянную само по себе не отражается на уравнениях движения. Отсюда, кааалось бы, могла вытекать существенная неопределенностсс функции Лагранжа различных изолированных механических систем могли бы умно каться па любые различные постоянные.

Свойство аддитивности устраняет эту неопределенность, — опо допускает лишь ощюяременпое умножение лагранжевых функций всех .систем на одинакову!о постояннро, что сводится просто к естественному произволу в выборе единиц измерения этой физической вели'шны; мы вернемся еще к этому вопросу в Э 4, (!еобходнмо сделать еще следу!ощее общее замечание. рассьютрим две функции !".(д, р, !) и Е(!!, г), г), отличзющиеся друг от друга на полную производную по времени от какой- либо фу.икпни координат и времени /(!!,!)! е'(ч, д, !)=е(!у, 9, !)+ гг у(ч г).

(2 8) устанавливают связь мех<ду ускорепиюш, скоростями н коорд!шагами, т. е. представляют собой уравнения движения системы. С математической точки зрения уравнения (2,6) составляют систему а уравнений второго порядка для а неизвестных функций !у! (!). Общее решение 2 акой системы содержит 2а произвольных постоянных. Для их определения и тем самым полного определения движения механической системы необходимо знание нзчальных условий, характеризующих состояние системы в некоторый зздапный момент времени, например, знание начальных значений всех координат и скоросгей. Пусть механическая система состоит из двух частей Я и В, каждая из которых, будучи замкнутой, имела бы в качестве функции Лагранжа соответственно функции ЕА и Ез.

Тогда в пределе, при разведении частей настолько дзлеко, что взаимодействием между ними можно пренебречь, лагранжева функция всей системы стремится к пределу )А+(л (2,У) 14 1гл. 1 ьиявнпиия дви>квния Вычисленные с полюнгью этих двух функций интегралы (2,1) связаны соотношением и и и У = ~ (.'(д, ~), т) б1 = ~ ь (д, д, Г)Й+ ~ — й1 = = 8+Хйи>, (я) — УИ" 1, 1), т. е. отличаются друг от друга дополнительным членом, исчеззющим при варьировании действия, так что условие ЗУ=О совпадает с условием ьЮ=О, и вид уравнений движения остается неизменным. Таким образом, функция Лагранжа определена лишь с точностью до прибавления к ней полной производной от произвольной функции координат и времени.

ф 3. Принцип относительности Галилея Лля описания происходящих в природе процессов необходимо выбрать ту или иную гягте.ну отсчшла.(Под системой отсчета понимают систему координат, служащую для указания положения частиц в пространстве, вместе со связаннымн с этой системой часами, служащими для указания времени. В различных системах отсчета законы природы — в том числе ааконы движения — имеют, вообще говоря, различный вид Если взять произвольную систему отсчетз, то может оказаться, что ааконы даже совсем простых явлений будут выглядеть в ней сложно. Естественно возникает вопрос об отыскании такой системы отсчета, в которой законы природы выглядели бы наиболее просто.

Простейший вид движения — движение свободного тела, т. е. тела, не подвергающегося каким-либо внешним воздействиям. Существуют системы отсчета, в которых свободное двплгение происходит с постоянной по величине и направлению скоросгью. Такие системы отсчета называются инерциальными, а утверждение об нх существовании состав.чает содержание закона инерции. Свойство инерциальности можно сформулировать также кзк утверждение об однородности и изотропии пространства и однородности времени по отношению к такой системе отсчета. Однородность пространства и времени означает а э1 пРинцип относителы!Ости ГАлилея !5 эквивалентность всех полох<ений свободной частицы в пространстве во все моменты времени, а нзотропия пространства — эквивалентность различных направлений в нем. Неизменность характера свободного дан кения частицы в любом направлении пространства является очевидным следствием этих свойств.