1611143556-31a557390b4baccca51e8883c4ae9850 (Ландау Лифшиц Краткий курс теоретической физики Механика электродинамика Кн1u), страница 10

2 й (18,11) Подставив сюда !:(со)!', получим искомую передачу энергии в анде л 1л Е= —,, 1 Е(1)е™г(г!; (18,12) она определяетсв квадратом модуля компоненгы Фурье силы Е(1) с частотой, равной собственной частоте системы, В частное~и, если внешняя сила действует лишь в течение короткого промежутка времени (малого по сравнению с 1,'ш), то молсно положить ег ' 1. Тогда Смысл этого результата очевиден: он выражает собой тот факт, что кратковременная сила сообщает системе импульс Еагг', не успев за это время произвести заметного смен!ения.

Задачи !. Определить вынужденные колебании системы пол алпиннеи силы Г(Г), если в начальный момент Г=О система покоиаси в полоакении равновесия (х = О, х = 0) дли случаев а) Г=сопа1 = Гли 3 Л. Д. Лаилау, К. М. Лифшиц Энергия системы, совершающей вынужденные колебзпия, разумеетск, не сохраняется; система приобретает энергию за счет источника внешней силы. Определим полную энергию, передаваемую системе за все время действия саиы (от — со до + со), предполагая начальную энергию равной нулю. Согласно формуле (18,10) (с нюкннм пределом интегрирования — сю вместо нуля и с (( — оа)=0) имеем прн 1 — ол МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ !гл, ч ~а т в еж х= — '(1 — сш от)1 действие постоянной силы притяня к смещению положения равновесия, вокруг которого происколсбаиия.

Р=ад о т в е т: х = — (ьт — ап ьт). Шьз Т= Р'ае '4. а тает: х= . (е ш — сшит+ — з1пмт). Ш(из+аз) (, Ю Т Тае ш сов вт. тает: водит ходят б) О в) О г) О Ш ((ьа „( яа рз)а ( везат) ~ (» + я — рт) СОЗ ь + + — (ма + аз + рт) з)п ьг+ е ш ((ьа+ аз — рт) сов те — 2аЗ з)пвг]~ Рис. !7. Рис. 16. Р'= гьт)Т при 0(1~Т, Т=Гр прн Г~ Т (рис. 16); до момента 1=0 система покоится в положении равновесия. Решение. В интервале времени ОСг< Т колебания, удовлетворяющие начальному условию, имеют вид х = — (ьт — з1п ьт). Га тл Ть" При с) Т нщсм решение в виде х = с, соз ь (à — Т) -(- с, з)п ь (à — Т) -)- — ', ~яьз' Из условий непрерывности х и х при г = Т наводим; ст — — — зш ьТ~ сз — — (1 — соз мТ).

~я Ть" ' ш Тьз (при решении удобно писать силу в комплексном виде Т= Р,е' ' тв"). 2. Определить конечную амплитуду колебаний системы после действия внешней силы, меняющейся по закону: Т=О при г(0, системы со многими степенями своводы 97 При этом амплитуда колебаний 2Г,, ««Т а= ф'с;"+с; "= — '. мп —, шТч«2 ' квадрат же иодузя «дает амплитуду согласно формуле (6!«=а««««. В результате находим: 2Р«мТ а= — «з!и— я«««2 ' 9 19. Колебания систем со многими степенями свободы Теория свободных колебзний систем с несколькими (а) степенями свободы строится аналогично тому, как были рассмотрены в 9 17 одномерные колебаивя. Пусть потенциальная энергия системы (! как функция обобщенных координат «7! (1=1, 2, ..., а) имеет минимум при «7!=«7!«.

Вводя малые смен!ения (19,1) хг= э! — т!о и рззлагзя по ним У с точностью до членов второго порядка, получим потенциальную энергию в виде положительно определенной квадратичной формы 1 'д ,т угмх;хы з, !« (19,2) где мы снова отсчитывзем потенциальную энергию от ее минимзльного значения. !1оскольку коэффициенты Та!а и !тш входят в (19,2) умноженнь!ми на одну и ту же величину хзхы то ясно, что нх можно всегдз считать симметричными по своим индексам 9' Отметим, что она тем меньше, чем медленнее «вкаючаетсяэ сила Е; (т, е.

чем больше Т). 3. То же в са)чае постоянной силы Г„действующей в течение ограниченного времени Т (рис. 17), Р е ш е и и е можно найти как в задаче 2, но еще проще воспоаьзовзться формулой (!8,10). При г ) Т имеем свободные колебания вокруг положения х = О; при этом г «а — ш! аг ! «(! «(! а! Т) гш!. г . ц т ю«я 68 [гл и МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ В кинетической же энергии, которая имеет в обшем случае вид 2~ ыИ)44 (см.

(б,б)), полагаем в коэффипиептах !)! = уга и, обозначая ПОСТОЯННЫЕ агь(!уя) ПОСРЕДСТВОМ ЛЧЫ, ПОЛУЧаЕМ ЕЕ В ВИДЕ положительно опрелелениой квадратичной формы 1 — ~а ЛГГАЛ ЬХА Таким образом, лаграпжева функния системы, совершавшей свободные малые колебания: 1 %' !.= Е ~ (!гни„л!, — !гыжьха). (! 9,4) Составим теперь уравнения движения. )Аля определения входяших в них производных напишем полный дифференпиал функпия Лагранжа Н!. = —, (и!!и гг!л „вЂ” ~п;ьмлдл ! — !!!Ах!с(хь — йг,л фх,). сь Посколысу вели шпа суммы не вависит, разумеется, от обозначения индексов суммирования, меняем в первом и третьем членах в скобках ! Иа !г, а !г па !; учитывая при этом симметришюсть коэффяпиеитов гп!а и !г!и получим: Фб = Я (т„,.кьг(х! — !г!Акьгьх!). Отс|ода видно, что д! Ъ,, д!.

— гл мсм — = — /Гыхм Поэтому уравнения Лагранжа ~тыУА+~,Уг!Ахь=О. А А (19,б) Коэффиппеьпы ьчы то'ке можно считать сииметричшями по индексам: лг!ь = гл„ь СИСТВМЫ СО МНОГИМИ СТВПЯНЯМИ СВОбОДЫ 69 З из Оии представляют собой систему в(1=1, 2, ..., в) линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянпымн коэффициентами. По общим правилам решения таких уравнений ищем з иеизсестных функций хя(1) и виде х» —— Лье '", -! г где Ая — некоторые, покз неопределенные, постоянные. Подставляя (19,6) в систему (19,6), получаем по сокрашении нз е '"' систему линепных однородных злгебраических уравнений, которым должны удовле~ворять постоянные Ая.' ~Х ', ( — ы~иЧя + Д я) Ал = О.

(19,?) Лля того чтобы эта система имела отличные от пуля решению должен обращаться в пуль ее определитель ~ ~?аа — ывти, ~ = О. (! 9,8) Это уравнение — так называемое характеристическое уравнение — представляет собой уравнение степени и относительно в'. Опо имеет в общем случае з различных вещественных положительных корней ы„'-' (а=1, 2, ..., з). Определенные таким образом величины ы„называются собствеинами частотами системы. В часпаых случаях некоторые из корней харзктсристического уравнения могут совпадать; такке кратные собственные частоты называют выроагсденнымп. Вещественность и положителг ность корнеи уравнения (19,8) заранее очевидны уже из физических соображении. Действительно, наличие у ы мнимой части означало бы наличие во временной зависимости координат хь (19,6) (а с ними и скоРостей ля) экспоненпиально Убываюигего или экспонеициально возрастаюитего множителя. Но наличие такого множителя в данном случае недопустимо, так как оно привело бы к измеиеишо со временем полной энергии Е= У+ Т системы, в протигоречии с законом ее сохранения.

После того как частоты ы„на1!Деньь подставляя каждую из них в уравнения (19,7), можно найти соответствующие значения коэффициентов Ам Ввиду однородности системы алгебраических уравнений (19,7) эти значения определяются, однако, лишь с точностью ло умножения на произвольный общий мнои итегь, Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, 70 мала!в Колевлн!!я 1гл.

м представим коэффициенты Аа (для каждой заданной частоты м„) в виде Аь —— Ьь„С„с определенным набором вещественных постоянных Ь„„и ие зависящей от индексз л произвольной (комплексной) постоянной С„, Частное решение системы дифференциальных уравнений (19,5) имеет, следовательно, вид .та — Ьа„С„е Общее же решение дается суммой всех частных решений. Переходя к вещественной части, напишем его в виде (19,9) где мы ввели обозначение С!„=не(С„а ' а~~. (19,10) Таким образом, изменение каждой из координат системы со временем представляет собой наложение з простых периодических колебаний Яг, Я„..., Я, с произвольными амплитудами и фазами, но вполне определеннымн частотами. Естественно возникает вопрос, нельзя ли выбрать обобщенные координаты таким образом, чтобы каждая из них соверша.ча только одно простое колебанием Сама форма общего интеграла (19,9) указывает путь к решению этой задачи.

В самом деле, рассматривая з соотношений (19,9) как систему уравнениЙ с з неизвестными величинами Я„мы можем, разрешив эту систему, выразить величины Яг, Яв..., Я, через координаты хг, х„..., х,. Следовательно, величины Я, можно рассматривать как новые обобщенные координаты. Эти координаты называют нормальнаглпг, а совершаемые ими простые периодические колебания — нормальными колебаниями системы. Нормальные координаты Я„удовлетворяют, как это явствует из их определения, урзвнениям (19,11) Это значит, что в нормальных координатах уравнения дан!кения распадаются на а независимых друг от друга уравнениИ. системы со многими степенямн своводы 71 а 1э1 Ускорение кзждой нормальной коорди нзты зависит только от значения этой же координаты, и для полного определения ее временной зависимости надо знать начальные значения только ее же самой и соответствуюшей ей скорости.

Другими словами, нормальные колебания системы полностью независимы. Из сказанного очевидно, что функция Лагранкеа, выраженная через нормальные координаты, распадается на сумму выражений, каасдое из которых соответствует одномерному колебанию с одной из частот юо т. е. имеет вид: где ла„— положительная постоянная.