1611141255-4103da8048a04802f780923734cde790 (Бахвалов 1964 Сборник задач по аналитической геометрииu), страница 5

гд .г, г — В, о св С, =О. гг иготггг Мг(лг. уг), не лелсаи(аз нм нг адгыч) из иииг оряиыг. грив "",.,', 1ЙЗкак необлодммом гг доггийглогчои ~ж«ши имгг ~ . '~'. -г — и чы Ф ч.' венгров рглг, образованном зигамм лрьмыи.тр Ре гвен не. г(еобходкмссть. Пусть точка Мг!ы. р„г гпжжт н'.:.'г!~~', Кетовыг УГЛЕ а, ООРаасаанааы ДаиНЫМВ НРЯМЫМВ Тыла СЧЛВ ЧЫЛ)Н,~!:, Атно+Втуз+Се к Аале+Выме+С» адамо зиакз. о (гм.

нрнвер нв соз а=— — Л В 'ура. кон:а-ортры6 укол, то Г:;:.;::;."::;:!',,":.'::;:-'",;.,-:::::;;,";:,'14,'г(г+В Вгик 4,''~)+(((У,+СгИА ти-!-Сгнои-ьС ) 'СО': гл п йгямля линия дй 1 ггг гг' о-. ~гтр1гй уггг А где+ В,В, ~ О, Р г ° ьу стога (А,А,; В,В.)(А т +Ву,+С,)(Л,,+В.у,+С) -О. г-"'"ичио доиазыиг«тся, что если тгиога М лем у:- ': бриз:. ' и да мв' рямыми, то ломит в т ' В В )(Аг.+В г.+С,)(А,,+Ву,+С))О; ~тг а с г гет что усиоаие ~ А: Аы р В, В,) (Аг, Л- В, у, + С ) (Агс, + В,„, + С) < О я дхтггооио дгя ттио. чтобы точка м„(ги у) лекала а остром тггг, обргзогзаиьом азиными прямыми. П р и м е р 4.

Ланы дгм игргсегаюи(игся и не гзоиино играл)бо, «Гечрныг прямые: Лги+ В,у+Сг ° О, А и.(-В у-) С ~О, Сыггогит ррогнгниг биссектрисы шмарога уста лггсду нами. р ~ и г ч г е П;сть М (х, у'„-произвольная точка биссектрисы сстрыо Г; гг мсжгу дгуии даияыми оряыымв. Тогда РВ,У РС,) )А, +Вид+С ( ~'Лг (.Вг р'А*, +В', так как точка м(л, У) леквт,а астРом ..Углаг.обонзоазвдом даииьагн прнмымн, то' на основании примерк 3 (г(гдг - В1Вг)(4 и+Вит+Сд(дгт+Вгу+СгМО Позтому если А,А,, Вгвг> О, то числа Ага+Ву+С, ':,н,"' А~+В,у+С„ргз~ ыз витков в поилгу уравнвккие,бктднктув~":"'":~~~) г,* га+г ггггггб Если гке А,А +В В ~о.

зовнсг)а'4;к+Вве+йдй)рр)гв+Щ~~~,:;~!!'~'* +С» ОДНОГО ДИМа Н„аваинт, УРВВЙК(НВ,'бгв(ГДКН)гг(а)аР)офФТ)),.",4(Р)))Р"!'Рг П р п м е;.р $ .'Сдав)ьзгвчзазвргар)та(аз(гекгг!~)з4~-" 4)х,+В,ф+Сг - О,: ",: Я,ф)РД(Р+ффф~ф';.-:;::„'..;:::::;:::;;;:;:4~ф, еггкгтгг(аг(агу 'фййюркр)(зг)(р((кр()~)г))гг))(((рг(ррах~~~~.,~.',,„ бв ГЛ. И1. ПРЯМЛЯ ЛИЛИЯ ГЛ.. Ш. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ реже~ ае.

РГ1аля с;Гтны 1тат1е11Я: Фу 'Ы" '" лоача ТОЭ1,0 гак жс н,н,сл А,л т. В Ь т Са.'- О, А,с, Й,у -' С, . ГЬ н а а ° 1 ' „Н А тир+С а Асс+В,у+С„П А, т В,уч С, 1а,в,сА наховым аооранааты двух вертнн Иа Н в11 трсуа .Лт,льа: ~В, С~ 1А, С,~ ол 1»о з1.аяа, Поэт ыу гсля яга в, с,; ~АЬ Са~ ь а~ ол л о, а ~а, тс и числа Ааа-сб,у+С, н Аьс+В,у+Сь также Повставала аоорляньты хджл1 Р иэ Втях ьэЬ1нглл а л л ', 1о;л ".ь ся 1ого ю аяа, а потому уравнение искоыой бяссектракыв атом жс бхо жег слу йрвввеввв иротвволежапьсаЙ сьороиы, находим. ~ВЬ С ~ ~ Аа Ср'~ ~Л, В',~ ~А*, В',~ ~ Ь а, с, ф а» ь ".:;::.-'; раа1~ я ана ов, то числа А;х+В,у+С и Арх+Вьу+Сь танте 4.

1- 1 1 1: ."1 1.':: 1 ' ' 1' -~ ° 1 ~ а ~ ° а! ! а а ь ':,;ь' раьиых энаков, а потому уравнение искомой бьжсриррвсжФ1йьбж,.' ' ' 1ь а,Г случае будет. жййуйФрййввж а Аа Вь,":1 А 1т + ббе '1- Са Ааа + Вар + Са 3 '~; + в,' 1' А*„+ в,' ':::р П р и м с р б, СапсрОНЬ1 треУгольлала Ььдавы урамжиааьигж +а,уь+С, ,А, Ва~ Аса+В,у+С,=О, -"",:,ЯРФ найлав когинре ьнртреннамо рыть тРержжйтьМалсажюфав;::~~~о;:айа тиь третьей ЕНЬРРОНЬВ '; а-"'"~": ' ' ='ьгэгагат "' Ьбж', . ' ",.':;:;;;!а';.,; ° ' "' - ', -'; 1:с „ьт ";.',.- -;"':.",, '; ',';".'.,„',.3~КРу,' „~Фба!1 . ' тл, 1 л. Вк ннпмлк линни Как было покввано в преЛы уж д ей вала е: Л, В, С, ~ Л, В, С,~ л, Взс„ Л,Л,+В,р,+С,.=.

в в И„:!' » Лак +В р + С„Лй Вз Св !Л, В, уй В вт1м сл, 1рнс Л! ) Ш. Числа рассмотрим следующие случаи: $. и Л, В, С,! А, В,,! Л„В,; ~,4, В,~ Рвзнмк знаков В этом слу отложеиново о н вершина й1в В втм случае конек вектора И,=(Лн В,», отложенного от любой точки стороны Л,к+В,у+С, =-О, и вершина Ле, люкат а одной и той тке полунлоскостн от втой прююй. а конек вектора и,=(Лн В,». овчомепното от любой точки стороны Л к+В,у+Се О, и":вйВнррн Ма немет в.одной .и той исе полуплоскости от втой |к в аыгне, через Л|| |к| Ргт| ''~"-'! данно|т треу|ольнкке.

»с|«к|дне +С =В, Акт+В ч+С„=-В. о | ,,':,.;;;... '... т, . "Вртрв,'..'Щ;|Врг(в„а,у аер "::", ' ' ":;-, '.;-';::,ф~тапщзвпво протве сто . ': —. Д~~~-РВг О, |овны ром| ет к+Вму А, В,С', от ". "". 'у.,",;, ам лгнмля ломик '-'т и аер~"",~,', „тф Позтому моя между кек|||=. | г|| к о, Раасн внутреннему Углу е ам|В НРЕМО" ~Р|НЬ ' лг туку|оды|оке к.

слсл-ья|ельж. АВА,+ В,В, |,ГАг В|~/А~ ~ Вк зтз вздоженаого следует, что еслк чила о«ноев зна«з то А,А,-РВ,В, У А,*+ В; У А„'р В, * в еслв зпг чпсла Разных знаков, то ' ВВ соз |П,=- Вкт, АР. В| Щпнер 3', С|короны лграрголенека задами рроклелмл к| . ЯФ+М+у ... В Ааа+В У+С =О. Акл+В,р+С В. Ейядвлигаа пеленга»ив длияай клочко лте(к„ркг оглког гкыьмо ,',:,,к ф|ПР~:,'УРРФрл|льлнка. .: А:;-"' а|Фа|а|П'Пе, Осозначвм, г», ны нрнмьн линна В |кк я|паз Р н А кк+ Вкрк+С о , одного зва«а, тв пнп«к "М .'П- .

нравов ка раккык зкккон, то , то гочка лт н Пт „о,,'|.„,„;,т о;,.„» А,,+Во+С ~.:Я . - Ф.~С .: слн.наноне 4 В« „+ е еык "лы можно сделать н ть и ллв лругнз двух врзммп: А ..РВ,Р+В, В, А, +Вр+В,=В. л|„отг|осмтгаьно треугольвнка может зан , к»||к| ык нокоженна. Ракет|серны «ЕС«О"и несколько случаен. тт г|кс»а р н Акте+В,У~+С одного звана| А,кь,+В,'Р,'+В,* од з "„",„.л* рк н А,к, л.В,рг+С,' одного анана. ,г числа пе в Агте+Файе+т'г пззппп ~ и атом случае точка дзь лез|ну ""Ут аг ат дк н дк Дт лрнчпе п|ч«в УП» и " ввз|вч т а;: -'::; '-";!:,::~~."'",, стороны от орамоВ Прктиз грна' гл.

Нк пеэмля лилия В этом случэе чэе точка ЛЗ лежкт иа прадо ыжерии стоповы Л(,ЛС ь 1 иэ точку А(, (Рис. «ЕР О ' В. Откагитглькь обЩей дглсалтооьб гшьмим ьсорти. й пил~с Р кат лэйгкы ураскекия дязт пересекающихся лрямых. А,х+ Р.,у г С,.— — О, А; РВу. С,—.О, и тычка Е'(хь, уь«, ке лежащая ки ка сдксб из от;х лрямм„ А,х+ В,у+С, --.О лрикимается эа ноЕв ьсь ардикат; лрямая А,х+ В,у+С, =-О лрилимается за лавут ссь абсцисс, а тачка Е' за едилиыкую точку лолой системы координат 0'к у'.

Доказать, что эмралггкля кссых кгордикат х', у' лроизэолькай точки М 'ггргз ее старье кссрдиыатм х и у будут иметь еид; Адх.рвьу+С,, А -гд,уб С„ =А...+В,,+С, = Т~,+. В,~, РС, режицкие. Приведеииые формулы можно рассмалривэть кэк форМулыуаырвжэжщие коордикаты х', у' точки Ф в некоторой повей тйтеие П'х'у' через ее координаты к и у я данкой системе, . тэн Как эти формулы лииейиы отиосительио х и у и 1А' в ~зло.

Урввпеиве аск 0'у' е новой систеые 0'х'у' будет х' =О, в тэк как «03- — (Ол( ф ф, СОС ЬВЛРМИЕ ГРЬЕКСНИЯ ПР й . иа ПРЯМОЙ Рс л н иг Рэымотрим аровээолькук точк Мгх у г е и: к л(юрм усы опрсделякицей рэсстояике от точкй до пр ой ки до пряной, А,х+В,у+С, 1' А'+В' А, +В у+С «Л,'-~ В" («иэлогичко А*к+В,~ (Сл 1 А";ы-В„ р=л —,=-, Дьлег А,к+В,е ' С, О для коордииэт всех точек той полу А,, о ' юбо глоскости от прямой А,т+В,и+С,=о, где лежит конец еек ,, Вл«, отл жеииого ол' люболт точки этой прямой, э в силу вьь бора лоложительиого иапрвелеикя копов оси 0'х', х'>О, дая любой точки той же полуплоскости. Аиэлогичио.

если А,х+В,у+С, < О. то и х' <О:. Нькопго, если А,х+В,у+С,.=-О, то к х'=.О. Таким образом, Ахч-В у+С, А,х,+В,у,+С, чо уравиепие ееи О'у' в иачальиой системе Оху будет в «. Составление уравиепии примо««во раалпеажг« Аге+ В,у+С,-О. ее аадамапж йвайегачио Аоиазмиаагся, что авиеиие Если в условии задачи ие укаэаио мйзеапйв' кассем(«М":, оРдинат, то иУжио пРедполатать ее пввмо«(рйдйирйт, -,:::::;:.:!,:::,~::,:;::,~- «63. СОСтааптЬ Урааивкав аРИВО««, ВЭ(ййж«т«« .,УУАВР(««~:::::::=':::-';Ь(ьй :Вя;,'.:~,"-"':~,::!',: .;:";; ':;;..:,:;":. «««ф.

Составить уравгеиви гграмьлк, праафд««р«рр,~ф~~4фй."-'.""; « .'э'~--'Ф " ы":-';ф,,:.','ф~й«йф:; '::"' ': '-' ",', ' " ':-!:.'~" й4 гл, сп пгнчьн ннннн )!Вб,"" !87) вн 1. гостье н 44В. Иеавп угловой кпи)н)нн1непт н н~'Рг нн, о~ н~ егм 174 О . гьвнт вз оеяз копрвпплт клноня! нз слевукнцнх нря',т~; ~И ~: нь урл, "" т 1Ы: '-.21 пнр; л „прощщвщ !) Ь: — В-!" 4-В; 4) — З +чу... 1; линя~ Ф!)нннля. осек коорлипвт, ~а Й! 2П+ЗУ вЂ” 6"-О, 5) Зх 4 )/Чв ~.,! 1~п т)оттенять уревпенне „ .':,':: '': ':.

' -,''-$) ' '+ну+ ! о: Отоеянк П Н ПРОЯОЛЯП1НВ е РЯИОП ~~~Лаз!Птв!!'Щ' "..„::: '„':,; .".-::,,',':: ': '.—,: -, фадеечев лиординлг эйпп1ллк. ! !Уе- !1Оп ° «м,.оп Фр зв. ° тапа $пф, -:,; „"... !рг. Ипнт!Ппттз Правое по ня урнннонннн. У ." ~ к оси г!т япля~чнн через точке !ч !1, „правщик:,~:-,':-,"":!!:-''! !'),У,. -ЗЛ+4!' 6) У= 4к! 1411 х+ 2 О; !у7. )!од взвив углов к еси Оп иак 'нн!",.~~,' ' у+ Л! 6) Г ~— яолящля ч~рез точен (1, 4) (3 !2) 4 0 ',ь !78.

Дл» ~р,!кольни.4лтС.,А(-2,в),В ~,!), Изннсзть уравнение медианы итого треуголвкптл„.. Х-х" —: ) .ъ.."= : ') +у- ':."-"' 2 г тепе поорлпппт аффпнпап, угла треугольнике ирп верившее' т. !! к вите!! ч грез "' знлп, что основания ее соответственна ракий !6-и й, а'-1Ь;,тн,!,::,рт;;-", '~,,;-,:::::',:;,,;::::;.;:::-;::: ';::,~~"-ФФ)р!)икот 4:фппиаи коетяе сторонн образует с осповлппем угол е 'Явь.ЭВ !:": 4 сппметрив трвпеивп, в аа втзетаатгвользкв!:.' .,т)а)!)))к~)~!)„' „!!:.: ~~-."!'-"! !81, я4зйп!!в )!рваввппй припО)),: онтьсщд~34ф~;:,'::М!!~:::.!Ф~.;;.' $3В,' 4)арве точку М! 4, )6)-провеет~! автп)а!ау',~:"' : водфп!! меятйу о4итпнт)В3)вали!~.)!п4впо,~";~';;~,, -„ „' " "")нтйгвчвр!)!рнрп ч!в репо!! к -оу — )к н,„~~~':.'!4))9цмф,' фК, рв::,'рван, щфеЗвппв, Окова! ",, '.",, '..." ."$4)!),' Йвевар)у!ф ф~:,'',:~~ ' 'Ф::"' '- лт'„.',.

"'::,.",,',.':ф))~ф~"",..., сд, пн пеямли линия Р ЗВ '' чрт1 взьпмноа ик оиоиом вппв к веи® 100. Составить параметрические урзииения т1римои, тпкь 194. Ус;в, .'с впивать. какие ЗЗ коапатеа через точку Л1 — -6, — - ~) и имекмпек угсовсЗ 3 кельны икв т, арамвас ковффпппепт и у * Системз коорлиивт иффн3 и ~и, ° чзе иеоти точку я' в аосаехпе ЗЗЗ. Составить параметрические уравнения примой, отсе.