1611141253-0dfb8816724db4a6366d8ff392ad2dc5 (Александров 1990 Нецветаев Геометрияu)

А. Д. АЛЕКСАНДРОВ Н. Ю, НЕЦВЕТАЕВ ГК0МКТРИя Долущено Госудлр венним комитатам СССР яо народному образованию а качестве увебноео нособия для студентов вузов, обувающикся ло слвниальности «Мвтематнла МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО. МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1990 ББК 22.151 А46 УДК 514 (075.8) Рецензенты: кафедра алгебры п геометрии Боровск«ского госудэрственнаго пединститута, кафедра геометрии и методики преподзвзния Новосибирского гасударственного пединститута Александров А. Д., Нецветаев Н. Ю. А46 Геометрия: Учеб. пособие.— М.: Наума. Гл.

ред. физ.-мат. лит., !990.— 672 с.: ил. 15 В1ч1 5-02-014336-7 Содержит основные разделы курса геометрии: энэлитическую геометрию, элементарную геометрию ив основе вксиомэтики, включая геометрические преобразования и построении, элементы многомерной и нроективиой геометрии, дифференцнзльиой геометрии и топологии, основзння геоыетрни с обзором теорий «высшей» геометрии.

Лля студентов мзтемэтическнх спсцизльнастей педвузов и университетов, преподавателей средней школы н техникумов. 1602000000 — 063 ББК 22.101 Оба(02)-00 13 ВХ 5-02-014336-7 9 «ывтк»». Фюм»тлит, 1Втв ОГЛАВЛЕНИЕ Предасловне Ч Глава $ ! П йч2 Г $3. Р 94.П 9 5 $ С. О Глава 1 й!.Т 62.Ф йч 3. 3 9 4 1 95.п $6. $7, Глава $ ! $2. $3.

4 4. 6 5 $ С. Глава 9 1 $2 $3 9 4. $5. Глава 9 !. $2. 6 3 4 4 Глава 1. $2. асть 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1. Начала аналитической геометрии ...... 11 рямоугольные координаты......... 11 !ряная. Деление отрезка в данном отношении .. 14 асстояние между точками. Окружность. Прямая 19 олярные и другие координаты........ 23 1реобразопание координат . . . . . . .

. . . 25 б аналитической геометрии . . . . . . . . . 27 1. Кривые второго порядка . . . . . . . . 32 ипы кривых второго порядка . . . . . . . 32 орма эллипса, гиперболы и параболы . . . . . 35 ллнпс: его фокальнос свойство . . . . . . .

. 40 иперболз, ее фокальное свойство . . . . . . . 44 арабола; ее фокус и директриса. Директрисы эллипса н гиперболы . . . . . , . . . . . . . 47 Уравнение в полярных координатах . . . . . . 49 Классификация КВП . . . . . . . . . . . . 53 !П. Векторы и коордмнаты . . . , . . . . . 57 Понятие вектора . . . . . . . . . . . . . 57 Сложение векторов . . .

. 65 Умножение вектора па число, Координаты вектора 73 Скалярное произведение . . . . . . . . . . 78 Координаты в пространстве . . . . . . . . . 64 Правые и левые тройки векторов. Векторное произведение. Смешанное произведение . . . , 90 !Ч. Сфера, прямая, плоскость . . . . . , 99 Расстояние между точками. Сфера. Плосьость, 99 Прямая на плоскости.........., 101 Плоскость и прямая...,....,... 106 Прямая в пространстве . .

. . . . . . . . . 113 О задании поверхностей н линий уравнениями . . 116 У. Поверкностн второго порядка . . . 122 Разные типы поверхностей второго порядка . . . 122 Приведение квадратичной формы к каноническому виду . . . , . . . . . . . . . . . . .

133 Классификация ПВП............ 135 Прямолинейные образующие ПВП..... 140 Ч а с т ь 2. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 1. Аксиомы геометрии.....,.... 146 Общее понятие об основаниях геометрии . . . . 146 Основные понятия экспонатики планнметрии . . 149 оглавление 3. Дннейпые акспочы связи и их первые следствия . 153 9 4. Аксиомы равенствз и п>чг!ч пня отрезков.... 156 Зч 5. Прямая.

Понятие фч>угы......... 162 6. Плосьостиыс аксиомы и пх первые следствия .. 168 6 7. Лксначз пара. >ельных 176 ф 8. Лксчочы сырта»шрин и пх первые следы вия . 179 Главз 1. 9 2 5 96 7 9 8 11! Специальные вопросы элементарной геометрии 236 Задачи аа построение........... 236 Решение задач на построение....... 246 Выпуклые фигуры.............

256 Многогранные углы н сферические многоугольники 263 Тригонометрия трехгранных углов и сферических треугольников.......,....... 273 Глава 9 $2. 9 3. $4. 9ч 5 Ч а с т ь 3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, ДРУГИЕ ГЕОМЕТРИИ Глав а 1. Наложения............ 281 9 1. Отдельные вилы наложений....., .. 281 9 2. Повороты................ 289 $ 3. Основаые теоремы о наложениях. Их классификация и композиции........... 296 $4 Теоремы о композиции......., 303 б 5. Симметрия............... 310 ф 6. Правильные многогранники........ 317 Гл а в а П. Подобия н ниверснм .......

324 $ 1. Преобразования подобия . . . . . . . . . . 324 $2 Инверсии............... 326 Г л з в а 1П. Аффннные преобразования и аффнинаи геометрия . . . . . . . . . . . . . , 331 $1. Параллельное проектирование . . . . . . . 331 ф 2. Аффинные отображения н аффиниая геометрия .. 336 9> 3. Разложение аффинных отображений на простейшие 341 $4. Представление аффпппых отображений и наложений в координатах . . . . . . . . .

. . 348 Г л а в а 1Ч. Проективная геометрия . . . , . . . . 354 9 1. Проективная плоскость и проективная геометрия 354 $2. Проективная плоскость как связка прял>ых. Коардннаты . . . . . . . . . . . . . . . . , . 363 9 3. Принцип двойственности . . . , . . . . . 371 $4. Проектнвное пространство . . .. . . . . . . 379 11 Начала злеме>парной геометрии Треугольники. псрпепдп>ни>яры Параллельность 51стрп'>гг~ и соотпоп>синя в > тальнике 1>счзлз с>срсометрпи: прячыс и плоскости п с>ранстве а>птуры с впутрсннпчп то >качи Отаг>раженпн Из.>ажепнн, нх общие свойства Равенство фигур Площадь и ее применения Плошадь и объем 183 183 трс- 187 пр'>- 200 . 205 .

219 223 226 232 оглдвлеиие Ч а от ь 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Г л а в а 1. Дифференциальная геометрия кривых 394 9 !. Элемснтарныс крнвыс на плпгкостн и в пространстпс. Способы нх задания 4 2 Вектор-функции одной переменной 3. Касательная кривой й 4. Длкна кривой $ 5. Кривизна кривой. Соприкасакнцаяся плоскость % >' Крзчсннс кривой Формулы Фрепс 9 7. Вычнс.>с,не кр> кипя 9 и. Натур>>., ькыс уране> пнн кривой 39! 400 405 408 412 417 4ГВ 420 Г л а в а П.

Дифференциальная геометрия поверхностей 1. Элсмситариыс поверхности и спклндовом простракс>г, . Г:пособы их задания . . . . . , . , 422 2. Всктор-функции двух переменных . . . . . . . 426 9 3. Крнпые на гладкой понерхпости . . . . . . . 428 9 4. Каса>ельная плоскость поверхности . . . . . 430 9 б Первая квадратичная форма поверхности. Измсрс. ние длин кривых н углов мех ду ними... 434 5 Г>. Кривизна кривой на попсрхностп. Вторая кнадратичная форма 439 й 7.

Сопри>.зсак>щнйся параболоид....... 443 В Гланныс кривизны н формула Эйлера.... 447 9. 1!зхо.>,денис гланнь>х направлений и главных кривизн . . . . . . . . , . . . , . 451 й 10. Площадь поверхности.........., 453 % !!. Сферическое отображение поверхности . . . . 455 12.

Внутренняя геометрия поверхности . . . , . 459 $1!. Фо1г»лз для гауссовой кривизны и следствия нз нес Оспопныс !рани>пня теории поверхностей .. 462 й 14. Геодезическая кривизна и геодезические кривые . 467 й !5 По»1>содезическая парамстризация поверхности. Экстремальное свойст во геодезических 470 Часть 5. ТОПОЛОГИЯ Гл а в а 1. Тапологические пространства и непрерывные отой , 474 . 474 . 478 . 483 . 486 488 .

491 раження $1. Топология в множестве $2. Метрика в мнол'естве $3. Внутрсщ>ость, замыкание, граница $4. Подпространства топологического пространства й 5 Непрерывные отображении 6 6. Гомеоморфизмы 496 . 496 . 502 . 509 . 512 Гл з в а 11. Топологические свойства й 1. Связность йч 2. Линеиная связность и 3. Хаусдорфовость 9> 4. Компактность Г л а в а ту, Многомерная. евклидова геометрия.... 385 ' Б 1. Аксиомы и-мерного пространства. Векторы н координаты.........

„....... 385 9 2. Прямые и плоскости разного числа измерений .. 390 4ЗГЛбйввИИП Глава $ !. $2. $3. $4. 519 519 527 532 639 598 П, Па , 609 612 614 514 . 619 модель, . 636 643 . 643 $4. Глава $1. $2. $3. $4. $5. $6. Глава 6 !. $2.

$3. 4 $5. $6. $7. $8. Глава $1. $2. $3. $4. $5. $6. $7. $8. $9, Глава $1. $2. $3. П1. Многообразия Топологическне многообразия с краем н беа прая Топологнческие многообразия малых размерностей Триангуляции, клеточные разбиеияя. Теорема Эйлера Топологнческая классификация ориентируемых замкнутых поверхностей Ч з с т ь 6. ОСИОВАИИЯ ГЕОМЕТРИИ 1. Основания геометрии Линейные аксиомы Алгебра отрезков Измерение длины Плоскостные аксиомы Алгебра углов Измерение углов Пространствеяные аксиомы Понятие фигуры Величина П. Площадь н объем Определение плошади Определение площади измерением Аддитнвность площади Фигуры с определенной площадью Площади равных многоугольных фигур Окончание доказательства теоремы 1 Площадь немногоугольиых фигур: теоремы Еще о фигурах с определенной площадью Объем П Е Другие основания геометрии Координаты Аналитические основания геометрии Аксноматнка в отвлеченном понимании; ее непротиворечивость, независимость, полнота Разные системы аксиом Пг.

Разные геометрии Геометрия Лобачевского; ее модели Факты геометрии Лобачевского Многомерное евклндово пространство Групповой принцип оснований геометрии Геометрия теории относительности Римзнова геометрия и друтие 546 547 551 556 562 566 573 576 579 582 582 590 593 э96 ПРВДИСЛОВИВ Настоящая книга предназначена служить пособием ио курсу геометрии для студентов-математиков педагогических институтов и педагогических специальностей университетов; задача, которую оиа, по замыслу, должна решать, состоит в том, чтобы в наибольшей степени приблизить курс геометрии к проблемам школьного преподавания.

По содержанию книга включает материал, предусмотренный программой, и слагается из двух разделов. Первый содержит углубленное и дополненное изложение школьной геометрии в трех частях. В первой из ннх — аналитическая геометрия, поскольку координаты и кривые нужны в курсе анализа, а не только в самой геометрии. Вторая часть посвящена элементарной геометрии, излагаемой иа основе аксиом. В ннх за основной объект принята не бесконечная прямая, а отрезок— кконечная прямаяэ, которая и фигурирует на самом деле в преподавании и в практике, как, например, в утверждении, что чпрямая проводится по линейкеэ.