1611141236-738b6049e710338c8c4dd43e7bd2b717 (Кострикин 2000 Основы алгебрыu)

А.И. Кострикин ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Часть 1 ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ Рекомендовано Министперстпвом обтцеео и специального образования Российской Федерации в качестпве учебника для стпудентпов университпетпов, обучающихся по специальносптям "Матпематпикаь и "Прикладная матпематпика" МОСКВА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСК ЛИТЕРАТУРА 2000 УДК 512 (075.8) ББК 22.143 К71 Кострикин А.И. Введение в алгебру.

с1асть 1. Основы алгебры: Учебник для вузов. — М.: Физико-математическая литература, 2000. — 272 с. — 1ЯВг1 5-9221-0017-3. Рассмотрены системы линейных уравнений, элементарная теория матриц, теория определителей, простеншие свойства групп, колец и полей, комплексные числа н корни многочленов. Помещено большое число упражнений различной степени трудности. Специальный раздел посвящен обсуждению некоторых нерешенных задач о многочленах. Для студентов младших курсов университетов и вузов с повышенными требованиями по математике.

Ил. 28. ТП вЂ” 2000-1-73 18ВХ 5-9221-0017-3 (Т. 1) 1ВВХ 5-9221-0016-5 эооо ОГЛАВЛЕНИЕ 7 10 ПРЕДИСЛОВИЕ СОВЕТЫ ЧИТАТЕЛЮ ГЛАВА 1 ИСТОКИ АЛГЕБРЫ 12 15 29 46 3 1. Алгебра вкратце 3 2. Некоторые модельные задачи 1. Задача о разрешимости уравнений е радвкалах (15). 2. За дача о состошпшх мкогоатомвой молекулы (17). 3. Задача о кодированви сообщения (18). 4. Задача о нагретой пластинке (18). э 3.

Системы ливеввых уравнений. Первые шаги 1. Терминологив (20). 2. Эквивалентность линейных систем (21). 3. Приведение к ступенчатому виду (23). 4. Исследоаа вие системы линейных урааненвй (24). 5. Отдельные замечания и примеры (26). э 4. Определители неболыпвх порядков Упражнения (33), э 5. Множества и отображения ЗЗ 1. Множества (33). 2. Отображения (35). Упражнения (40).

Э 6. Отношения эквивалентности. Факторизация отображений .. 41 1. Бинарные отношения (41). 2. Отяошевие эквивалентности (41). 3. Факторизация отображеввй (42). 4. Упорядоченные множества (44). Упражнения (45). 1 7. Принцип математической индукции.......... Упражнения (50). э 8. Перестановки 1. Стандартнал запись перестановки (50).

2. Цикловая структура перестановки (52). 3. Знак перестановки (56). 4. Действие Я на функциях (58). Упражнения (60). э 9. Арифметика целых чисел ................... 61 1. Основная теорема арифметики (61). 2. НОД и НОК а Е (63). 3, Алгоритм деления а Х (63). Упражнения (64). Оглоелгяиг ГЛАВА 2 МАТРИЦЫ 3 1. Векторные пространства строк и столбцов.......... 66 1. Мотивировка (65). 2. Основные определения (66).

3. Линейные комбинации. Лннейкая оболочка (6Т). 4. Линейная зависимость (68). 5. Базис. Размерность (69). Упражнеющ (72). 1 2. Ранг матрицы 72 1. Возвращение к уравнениям (72). 2. Ранг матрицы (Т4). 3. Критерий совместности (76). Упражнеющ (77). 3 3. Линейные отображения. Действия с матрицами 1. Матрицы и отображеющ (78). 2. Произведение матриц (81). 3. 'Гранспонировавие матриц (83). 4. Ранг произведения матриц (84). 5. Квадратные матрицы (86). 6. Классы эквивалентных матрац (91).

Т. Вычисление обратной матрицы (93). 8. Пространство решений (96). Упражпепия (98). Т8 ГЛАВА 3 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ 3 1. Определители: построение и основные свойства 1. Геометрическая мотивировка (102). 2. Комбинаторноаналитическвй подход (104). 3.

Основные свойства определителей (105). Упражнения (112). 3 2. Дальнеюпие свойства определителей 1. Разложение определителя по элементам столбца или строки (113). 2. Определители специальных матриц (116). Упражнения (119). Э 3. Применения определителей 1. Критерий невырождеиности матрицы (121). 2. Формулы Крамера (123). 3.

Метод окаймляющих миноров (125). Упражнеющ (128). э 4. К построеюпо теории определителей 1. Первое аксиоматическое построение (130). 2. Второе аксиоматическое построение (131). 3. Построение методом полной индукции (131). 4. Характервзация мультвплвкативными свойствами (131). Упражнения (133). 102 113 121 130 ГЛАВА 4 ГРУППЫ.

КОЛЬЦА. ПОЛЯ э 1. Множества с алгебраическими операциями.......... 134 1. Бинарные операции (134). 2. Полугруппы и моноиды (135). 3. Обобщенная ассоциативность; степени (136). 4. Обратимые элементы (138) . Упражнения (139) . Оглавление б 2. Группы 1. Определение и примеры (139). 2. Циклические группы (142). 3. Иэоморфизмы (143). 4. Гомоморфиэмы (147). 5. Словарвк.

Примеры (148). Упражнеюш (149). 'б 3. Кольца и поля 1. Определение и общие свойства колец (151), 2. Сравнения. Кольцо классов вьгчетов (155). 3. Гомоморфвзмы колец (15б). 4. Типы колец. Поле (157). 5. Характеристика поля (1б1). б. Замечание о линейных системах (1б3). Упражнения (185). 139 151 ГЛАВА 5 КОМПЛЕКСНЫЕ 'ЧИСЛА И МНОГО'ЧЛЕНЫ 180 190 ГЛАВА б КОРНИ МНОГОЧЛЕНОВ э 1. Общие свойства корней 1. Корни н линейные множители (208). 2. Полиномиальные функции (210). 3. Дифференцирования кольца многочленов (212). 4. Кратные множители (214).

5. Формулы Виста (21б). Упражнения (218). 3 2. Симметрические многочлены 1. Кольцо симметрических многочленоа (220). 2. Основная теорема о симметрических многочленах (221). 3. Метод неопределенных коэффициентов (224). 4. Дискриминант многочле. на (22б). 5. Реэультант (228). Упражнения (231). 208 220 э 1. Поле комплексных чисел 1б7 1. Вспомогательная конструкция (1б7). 2.

Плоскость комплвксных чисел (1б8). 3. Геометрическое истолкование декстввй с комплексными числами (1б9). 4. Возведение в степень и извлечение корил (173). 5. 'Георема единственностк (175). б. Элементарная геометрия комплексных чисел (17б). Упражнения (179). 3 2. Кольцо многочленов 1. Многочлевы от одной переменной (181). 2. Многочлены от многих переменных (185).

3. Алгоритм деления с остатком (187). Упражнения (188). 5 3. Разложение в кольце многочленов 1. Элементарные свойства делвмости (190). 2. НОД и НОК в кольцах (192). 3. Факторнгльность евклидовых колец (194). 4. Неприводимме многочлены (197). Упражнения (200). 3 4. Поле отношений 201 1. Построение поля отношений целостного кольца (201). 2. Поле рэционавьвых дробей (203).

3. Простейшие дроби (204). Упражнения (207) . Оглаеленне 232 241 ПРИЛОЖЕНИЕ НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАхэИ О МНОГОх1ЛЕНАХ 1. Проблема лкобиеиа 2. Задача о дискриминанте 3. Задача о двух порождающих кольца многочленов 4. Задачи о критичесюпс точках и критических эначевилх 5. Задача о глобальной сходимости метода Ньютона 259 261 261 262 263 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 266 э 3. Алгебраическая замкнутость подл С 1. Формулировка основной теоремы (232). 2. Доказательство основной теоремы (234). 3. Еще одно доказательство основной теоремы (237).

э 4. Многочлены с вещественными коэффициентами 1. Разложение на веприводимые множители в Н[Х] (241). 2. Простейшие дроби над С и Н (242). 3. Проблема локализации корней многочлена (244). 4. Вещественные многочлевы с вещественными кориюли (249). 5. Устойчивые многочлены (251). б. Зависимость корней многочлена от коэффициентов (252). 7.

Вычисление корней многочлена (254). 8. Рациональные корни цедочисленных многочленов (255). Упражнение (257). Алгебра щедра — зачастую оиа дает больше, чем у вее спрашивают. Далавбер ПРЕДИСЛОВИЕ Необходимость в едином изложении курсов алгебры, линейной алгебры и геометрии ощущалась давно. Во всяком случае, учебник "Введение в алгебру" (М., Наука, 1977) 22-летней давности с самого начала рассматривался шппь как первый шаг к интегрированному подходу.

Алгебра — живая ветвь математики, обладающая значительной притягательной силой и основывающаяся на небольшом числе ясных, интуитивных начал. Смысл алгебраического понятия может иметь теоретико-числовую или геометрическую природу, а зачастую его корни лежат в вычислительных аспектах математики и в решении уравнений.

Возникающие из такого исторического понимания принципы и требования, предъявляемые к современному университетскому учебнику по алгебре, стали общепринятыми. Вся трудность падает на реализацию более или менее известных идей. Естественная эволюция стандартных программ — то в сторону объединения курсов линейной алгебры и многомерной аналитической геометрии, то в сторону их разделения и вкрапления элементов теории чисел в курс алгебры — нашла отражение на страницах предлагаемого "Введения в алгебру", написанного на базе упомянутого одноименного учебника,но сильно расширенного и разбитого для удобства читателя на три части. Само собой разумеется, что объединение этих частей заведомо содержит устойчивое ядро указанных курсов — тот минимум, которому должен удовлетворять всякий учебник. С другой стороны, распределение материала по частям соответствует реально сложившемуся за последние десятилетия порядку чтения курсов студентам механико-математического факультета МГУ: первый семестр — "Основы алгебры"; второй семестр— лЛинейная алгебра и геометрия"; третий семестр — "Основные структуры алгебры" (алгебра на уровне элементарных, но довольно содержательных сведений об алгебраических системах, ставших принадлежностью каждого математика наших дней).

В дальнейшем для удобства ссылок на эти книги будут использоваться соответственно сокращения [ВА 1], [ВА П), [ВА Ш[. На этот порядок, равно как и на принцип подачи материала, наложили свой отпечаток не только здравый смысл, но и мудрый совет Горация: "Надо сегодня сказать лишь то, что уместно сегодня.

Прочее все отложить и сказать в подходящее время". Другими словами, мы придерживаемся концентрического стиля изложения, не боясь возвращаться к одной Предисловие и той же теме, к одному и тому же примеру много раз. Так,понятия группы, кольца, поля, изоморфизма возникают в [ВА 1] и обсуждаются на уровне примеров, накапливаемых затем в [ВА Щ; более основательное изучение этих понятий проводится лишь в [ВА 1П]. Абстрактные векторные пространства и линейные операторы на них исследуются в [ВА Щ, хотя их конкретные аналоги, сопровождающие теорию систем линейных уравнений, появляются на первых страницах настоящей книги. Разумеется, только читатель вправе судить, приближает ли такой подход то понимание предмета, о котором писал великий математик А.

Пуанкаре в своем замечательном сочинении "Наука и метод" (гл. 2. Математические определения и преподавание). Реально читаемым курсом (три часа лекций в неделю в первом семестре, четыре — во втором и два — в третьем), по опыту самого автора, заведомо невозможно охватить весь материал учебника, да к этому и не следует стремиться. По своему замыслу он рассчитан на свободное творчество лектора (разумеется, в известных рамках). Хотелось бы рассматривать его также как своего рода справочник и как источник для дополнительного чтения студентами. Многообразие современной алгебры невозможно уложить в прокрустово ложе какого-либо "Введения в алгебру", однако импульсом к творческой работе мысли учебник послужить должен. Этому способствуют многочисленные упражнения, рассчитанные в какойто мере на развитие основной темы.