1611141234-c9398682b029dca593d2e7400e783f93 (Кострикин 2000 Линейная алгебраu)

А.И. Кострикин ВВЕДЕНИЕ В АЛГЕБРУ Часть П ЛИНБИНАЯ АЛГЕБРА Рекомендовано слинистерсепоом общеео и специального обраоооания Российской Федерации о качестое учебника для, студентоо униоерситетов, обучающихся ио специальностям "Математика" и "Прикладная математика" ® МОСКВА ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА 2000 УДК 512 1075.8) Издание осутествоено при поддержке ББК 22.143 х ~» х'х Российского фонда фундаяенталвнме К 71 иссведовтта по проекту 99-ОЬ1д089 Наиболее важные разделы линейной алгебры изложены в ъшксимальпо доступной форме. На первый план выдвигаются простые геометрические понятия, на базе которых идет всестороннее развитие алгебраического аппарата, введенного в части 1.

Указаны приложения к разным вопросам анализа, теории линейных групп, алгебр Ли, математической экономики, дифференциальных уравнений, геомотрии Лобачевского. Каждый параграф заканчиваетсл упражнениями. Ответы н наброски решений собраны в отдельном разделе. Сформулированы некоторые нерешенные задачи. Ил. 31. ТП-.2000-1-74 18ВХ 5-9221-0018-1 (Т. 1Ц 5-9221-0016-5 09 свизмлтлит. зооо © Л.И. Кострнкнн, аеее К о стрик ни А.И.

Введение в алгебру. еХасть П. Линейная алгебра; Учебник для вузов. — — Мс Физико-математическая литература, 2000. — 368 с. — — 1ЯВМ 5-9221-0018-1. ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ ГЛЛВЛ 1 ПРОСТРАНСТВА И <ХлОРМЫ 5 1. Абстрактные векторные пространства 1. Мотивировка и аксиоматизация (11).

2. Линейные оболочки. Подпространства (13). 3. Замечания о геометрической интерпретации (16). Упражнения (18). 3 2. Размерность и базис 1. Линейная зависимость (18). 2. Размерность векторного пространства и его базис (20). 3. Координаты. Изоморфизма пространств (22). 4. Пересечение и сумма подпространств (26). 5. Прямые суммы (28). 6. Факторпространства (30).

Упражнения (32). 3 3. Двойственное пространство 1. Линейные функции (33). 2. Двойственное пространство и двойственный базис (34). 3. Рефлексивность (36). 4. Критерий линейной независимости (37). 5. Геометрическая интерпретация решений ЛОС (38). Упражнения (39). 3 4. Билинейные и квадратичные формы 1. Полилинейные отображения (40).

2. Билинейные формы (41) 3. Закон изменения матрицы билинейной формы (42). 4. Симметричные и кососимметричные формы (43). 5. Квадратичные формы (45). 6. Канонический вид квадратичной формы (46). 7. Вещественные квадратичные формы (49). 8. Положительно определенные формы и матрицы (50). 9. Канонический вид кососимметричной формы (54).

10. Пфаффиан (57). Упражнения (ог8). 18 ЗЗ 40 ГЛАВА 2 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 3 1. Линейные отображения векторных пространств 1. Язык линейных отображений (60). 2. Задание линейных отображений матрицами (61). 3. Размерность ядра и образа (63). Упражнения (64). 3 2. Алгебра линейных операторов ................ . 64 1. Определенил и примеры (64). 2. Алгебра операторов (66). 3.

Матрицы линейного оператора в различных базисах (69). Оглавление ГЛАВА 3 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА СО СКАЛЯРНЫМ ПРОИЗВЕДЕНИЕМ 3 1. Евклидовы векторные пространства 1. Эвристические соображения и определения (103). 2. Основные метрические понятия (105). 3. Процесс ортогонализации (107). 4. Изоморфизмы евклидовых векторных пространств (110). 5. Ортонормированные базисы и ортогональные матрицы (112). 6. Симплектические пространства (ПЗ).

Упражнения (116). 3 2. Эрмитовы векторные пространства 1. Эрмитовы форыы (117). 2. Метрические соотношения (119). 3. Ортогональность (120). 4. Унитарные матрицы (122). 5. Нормированные векторные пространства (123). Упражнения (125). '3 3. Линейные операторы на пространствах са скалярным произведением 1. Связь между линейными операторами и 0-линейными формами (126). 2. Типы линойных операторов (128). 3. Канонический вид зрмитовых операторов (131).

4. Приводение квадратичной формы к главным осям (133). 5. Приведение пары квадратичных форм к каноническому виду (135). 6. Канонический вид изометрий (136). 7. Нормальные операторы (139). 8. Положительно определенные операторы (143). 9. Полярное разложение (144). Упражнения (146).

3 4. Комплексификация и овеществление 1. Комплекснии структура (147). 2. Овеществление (149). 3. Комплексификапия (151). 4. Комплексификация овеществление комплексификация (153). Упражнения (155). 103 117 126 147 4. Определитель и след линейного оператора (71). Упражнения (73). 3 3.

Инвариантныеподпространства и собственные векторы . . 74 1. Проекторы (74). 2. Инвариантные подпространства (75). 3. Собственные векторы. Характеристический многочлен (77). 4. Критерий диагонахизируемости (79). 5. Существование инвариантных подпространств (82). 6. Сопряженный линейный оператор (82). 7. Фактороператор (84). Упражнения (85). 3 4. 2Корданова нормальная форма 1. Теорема Гамильтона--Кали (86). 2. 2КНФ: формулировка и следствие (89). 3. Корневые подпространства (90).

4. Случай нильпотентного оператора (92). 5. Единственность (94). 6. Другие подходы к 2КИФ (96). 7. Другие нормальные формы (99). Упражнения (100). Оглавление 3 5. Ортогональные многочлены 1. Проблема аппроксимации (156). 2. Метод наименьших квадратов (157). 3. Линейные системы и метод наименьших квадратов 1159).

4. Тригонометрические многочлены (16Ц. 5. Замечание о самосопряженных операторах (162). 6. Многочлены Лежандра 1сферические многочлены) (164). 7. Ортогонализацня с весом (168). 8. Многочлены Чебьппева (верного рода) (169). 9. Многочлены Эрмита (170). Упражнения (17Ц. 156 ГЛАВА 4 АФФИННЫЕ И ЕВКЛИДОВЫ ТОНЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 173 187 208 1 ЛАВА 5 КВАДРИКИ 1. Квадратичные функции 1. Квадратичные функции на аффинном пространство (217). 2. Центральные точки для квадратичной функции (218). 3. Приведение квадратичной функции к каноническому виду (220).

4. Квадратичные функции на евклидовом пространстве (222). Упражнения (224). 217 3 1. Аффинные пространства 1. Определение аффинного пространства (173). 2. Изоморфизм 1175). 3. Координаты (176). 4. Аффинные подпространства (177). 5. Барицентрическне координаты (180). 6. Аффинно-линейные функции и системы линейных уравнений (183). 7. Взаимное расположение плоскостей (185). Упражнения (186). 3 2. Евгтидовы (точечные) пространства 1.

Евклидова метрика (187). 2. Расстояние от точки до плоскости (188). 3. Расстояние между плоскостями (190). 4. Определитель Грама н объем параллелепипеда (19Ц. Упражнения (192). '3 3. Группы и геометрии 1. Аффннная группа (193). 2. Движения евклидова пространства (196). 3. Группа нзометрнй (198). 4. Линейная геометрия, отвечающая группе (20Ц. 5. Аффинные преобразования евклидова простраиства (204). 6. Выпуклые множества (206).

Упражнения (208). 3 4. Пространства с индефинитной метрикой 1. Индефннитная метрика (208). 2. Псевдоевклидовы движения (209). 3. Группа Лоренца (210). 4. Собственнал группа Лоренца (212). Упражнения (216). Оглавление 254 ГЛАВА 6 ТЕНЗОРБ1 3 1. Начала тензорного исчисления 1. Понлтие о тензорах (260). 2. Произведение тензоров (26Ц. 3. Координаты тензора (263), 4. Тензоры в разных системах координат (266). э.

Тензорное произведение пространств (268). Упражнения (27Ц. 3 2. Свертка, симметризацияи альтернирование тензоров 1. Свертка тензора (272). 2. Структурный тензор алгебры (274). 3. Симметричные тензоры (277). 4. Кососимметричные тензоры (28Ц. 5. Тензорные пространства (283). Упражнения (284). 3 3.

Внешняя алгебра 1. Внешнее умножение (285). 2. Внешняя алгебра векторного пространства (286). 3, Связь с определителями (290). 4. Векторные надпространства и р-векторы (292). 5. Условия разложимости р-векторов (293). Упражнения (296). 260 272 ГЛАВА 7 ПРИЛОЖЕНИЯ 3 1. Норма и функции линейного оператора 1. Норма линейного оператора (298). 2.

Функции линейных операторов (матриц) (ЗОЦ. 3. Экспонента (302). 4. Однопараметрические подгруппы линейной группы (305). 5. Спектральный радиус (309). Упражнения (31Ц. 3 2.Квадрики в аффинном и евклидовом пространствах .... . 224 1. Общее понятие квадрики (224). 2. Центр квадрики (227). 3. Канонические типы квадрик в аффинном пространстве (228). 4. Общие замечания о типах квадрик (230). 5. Квадрики в евклидовом пространстве (232). Упражнения (235). 3 3. Проективные пространства ..................

236 1. Модели проективной плоскости (236). 2. Проективное пространство произвольной размерности (239). 3. Однородные координаты (240). 4. Аффинные карты (24Ц. 5. Понятие алгебраического многообразия (243). 6. Проективная группа (244). 7. Проективная геометрия (247). 8. Двойное отношение (249). 9. Выражения двойного отношения в координатах (25Ц. Упражнения (253). 3 4.

Квадрики в проективном пространстве 1. Классификация (254). 2. Примеры и изображения проективных квадрик (255). 3. Пересечение прямой с проективной квадрикой (257). 4. Общие замечания о проективных квадриках (258). Упражнения (259). Оелавление 312 315 321 327 344 ОТВЕТЫ И УКАЗАИИ51 К УПРАЖНЕНИЯМ МЕТОДИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 359 362 3 2. Линейные дифференциальные уравнения 1. Производная экспоненты (312). 2. Дифференциальные уравнения (313). 3. Линейное дифференциальное уравнение порядка и (314). 3 3. Выпуклые многогранники и линейное программирование 1. Формулировка задачи (315). 2.

Мотивировка (315). 3. Основные геометрические понятия (318). Управ<пения (320). 3 4. Неотрицательные матрицы 1. Производственная мотивировка (321). 2. Свойства неотрицательных матриц (322). 3. Стохастические матрицы (323). 3 5. Геометрия Лобачевского 1. Пространство Лобачевского (327). 2. Движения пространства Лобачевского (329). 3. Метрика Лобачевского (331). 4. Плоскость Лобачевского (334). 3 6. Нерешенные задачи 1. Проблема Штрассена (339). 2, Ортогональные раэлол<ения (340). 3.

Конечные проективные плоскости (341). 4. Базисы пространств и латинские квадраты (342). Линейная алгебра является одновременно одной из древнейших и одной из самых новых ветвей математики. Н. Бурбаки ПРЕДИСЛОВИЕ Цель этой книги, являющейся частью П единого курса "Введение в алгебру"., заключается в систематическом изложении основ линейной алгебры .-- важного раздела математики, лишь отчасти затронутого нами в первой части курса.