1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 4 Ч. 2 Смирнов В. И. 1981)

В. И. СМИРНОВ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ТОМ ЧЕТВЕРТЫЙ ЧАСТЬ ВТОРАЯ ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ ДонуШено Министерством емсшего и среднего скециаяьного обраэоеания СССР в начестве учебного иособия дгя студентов меканико-математическик и фигикстмотематическия факугьтетов университетов МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ЛИТЕРАТУРЫ 1убг ОГЛАВЛЕНИВ Предисловие редактора . ГЛАВА 1 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 87 б 1.

$2 Уравнения первого порядка 1. Линейные уравнения с двумя независимыми переменными (9). 2. Задача Коши и характеристики (!2). 8. Случай любого числа переменных (17). 4. Примеры (23). 5. Вспомогательная теорема (25). 6. Нелинейные уравнения первого порядка (28). 7.

Характеристические многообразия (32). 8. Метод Коши (ЗЗ). 9. Задача Коши (Зо). 1О. Единственность решения (38). 11. Особый случай (4!). 12. Любое число независимых переменных (44). 13. Полный, общий и особый интегралы (46). 14. Полный интеграл н задача Коши (49). 1б. Примеры (5!). 18. Случай любого числа переменкых (55). 17.

Теорема Якоби (57). 18. Системы двух уравнений первого порядка (59). !9. Метод Лагранжа — Шарпи (6!). 20. Системы линейных уравнений (63). 21. Полные и якобиевы системы (66). 22. Интегрирование полных систем (67). 23. Скобки Пуассона (69). 24. Метод Якоби (72), 25. Канонические системы. (73). 28. Примеры (75). 27.

Метод мажорантных рядов (76). 28. Теорема Коваленской (79]. 29. Уравнения высших порядков (85). Уравнения высших порядков . 30. Типы уравнений второго порядка (87). 31. Уравнения с постоянными коэффнпиентами (90). 32. Нормальные формы при двух независимых переменных (92). 33. Задача Коши (96). 34. Характеристические полосы (98). Зб. Производные высших порядков (100).

36. Вещественные и мнимые карактеристики (!04). 37. Основные теоремы (106). 38. Промежуточные интегралы (108). 39. Уравнения Монжа — Ампера (!09). 40. Характеристики при любом числе независимых переменных (!!О). 41. Бихарактеристики (!13). 42. Связь с вариапионной задачей (118). 43.

Распространение поверхности разрыва (121). 44. Сильные разрывы (123). 45. Метод Римана (!27). 46. Характеристические начальные данные (132). 47. Теоремы существования (!34). 48. Формула интегрированна по частям и формула Грина (138). 49. Метод Вольтерра (14!), 50. Формула Соболева (!45) ОГЛАВЛВВНВ 61. Формула Соболева (продолженве) (149). 52. Построение функции и (151).

53. Общий случай начальных данных (156). 54. Обобщенное волновое уравнение (159). 65. Случай любого числа независимых переменных (160). 56. Энергетическое неравенство (!63). 57. Теоремы единственности и непрерывной зависимости решений (169). 68. Случай волнового уравнения (172), 59. Теорема вложения в пространство непрерывных функций и некоторые ее следствия (175). 60.

Обобщенные решения уравнений второго порядка (!80). 6!. О существовании и единственности обобщенных решений задачи Коши для волнового уравнения (186). 62. Уравнения эллиптического типа (!87). Системы уравнений 63. Харантеристики систем уравнений (193), 64. Кинематические условия совместности (!98). 65. Динамические условия совместности (20!). 66.

Уравнения гндродинамики (202). 67. Уравнения теории упругости (205). 68. Анизотропное упругое тело (207), 69. Электромагнитные волны (209). 70. Сильные разрывы в теории упругости (2!4). 71. Характеристики н большие частоты (218). 72. Случай двух независимых переменнык (220). 73. Примеры (222). $3. 193 225 уравнения 74. Функция Грина линейного уравнения второго порядка (225). 75. Приведение к интегральному уравнению (229). 76. Симметрия функции Грина (232).

77. Собственные значения и собственные функции предельной задачи (233). 78. Знак собственных значений (236). 79. Примеры (238). 80. Обобщенная функция Грина (240), 81. Полиномы Лежандра (245). 82. Функции Эрмита и Лагерра (249). 83. Уравнения четвертого порядка (251).

84. Уточненные теоремы разложения Стеклова (252). 85. Оправдание метода Фурье для уравнения теплопроводностн (257). 86. Оправдание метода Фурье дэя уравнения колебаний (259). 87. Теоремы единственности (262), 88. Экстремальные свойства собственных значений и функций (265). 89. Теорема Куранта (269). 90. Асимптотическое выражение собственных значений (27!). 9!. Асимптотическое выражение для собственных функций (275). 92.

Метод Ритца (278). 93. Пример Ритца (280). $2. Уравнения эллиптического типа 94. Ньютонов потенциал (282). 95. Потенциал двойного слоя (285). 96. Свойства потенциала простого слоя (293). 97. Нормальная производная потенциала простого слоя (295). 98. Нормальная производная потенциала простого слоя (продолжение) (297).

99. Прямое значение нормальной производной (299). 100. Производная потен- ГЛАВА Ы ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ $1. Предельные вадачи в случае обыкновенного дифференциального ОГЛАВЛЕНИЕ пиала простого слоя по любому направлению (303). 1О1. Логарифмический потенциал (307). 102. Интегральные формулы и параллельные поверхности (309). 103. Последовательности гармонических функций (3!4).

104. Постановка внутренних предельных задач для уравнения Лапласа (318). !05. Внешние задачи в случае плоскости (320). 106. Преобразование Кельвяна (323). 107. Единственность решения задачи Неймана (328). 108. Решение предельных аадач в трехмерном случае (331). 109. Исследование интегральных уравнений (333). 110. Сводка результатов, касающихся решений предельных задач (338). 111. Предельные задачи на плоскости (340). 112. Интегральное уравнение сферических функций (342).!13. Тепло все равновесие излучающего тела (343). !14.

Метод Шварца (345). 1!5. Доказательство леммы (347). 116. Метод Шварца (продолжение (349). 117. Суб- и супергармонические функции (353). 118. Вспомогательные предложения (356), 119. Метод нижних и верхних функций (357). 120. Исследование граничных значений (36!).

121. Уравнение Лапласа в л-мерном пространстве (365). 122. Функция ! рина оператора Лапласа (367). 123. Свойства функции Грина (370). 124. Функция Грина в случае плоскости (373). 125. Примеры (377). !26. Функция Грина и неоднородное уравнение (379). 127. Собственные значения и собственные функции (382). 128. Нормальная производная собственных функций (387). 129. Экстремальные свойства собственных значений и функций (388). 130. Уравнение Гельмгольца и принцип излучения (390). 131.

Теорема единственности (393). 132. Принцип предельной амплитуды и принцип предельного поглощения (395). 1ЗЗ. Предельные задачи для уравнения Гельмгольца (396). 134. Дифракция электромагнитной волны (402). 135. Вектор магнитной напряженности (404). 136. Единственность решения задачи Дирнхле для эллиптических уравнений (406). 137. Урав пение Ьо — Ло = 0 (410). 138. Асимптотическое выражение собственных значений (415). 139.

Доказательство вспомогательной теоремы (420). 140. Линейные уравнении более общего вида (429). 141. Тензор Грина (431). 142. Плоская статичесная задача теории упругости (433). 143. О реаультатах Шаудера (435). 144. Обобщенные решения класса Чу~ ~())) (438). 145. Первое основное (энергетическое) неравенство (444). 146. Пространство йгз о (О) н второе основное неравенство (446). 147.

Некоторые сведения о гильбертовых пространствах и операторах, действующих в них (455). 148. О разрешимостизадачиДирихле в пространстве йу~~((У) (460).149. О фредгольмовой разрешимости задачи Дирихле (465). !50. О спектре симметричного оператора (472). 9 3. Уравнения параболического и гиперболичесного типов . 151.

Зависимость решений уравнения теплопроводности от начального н предельного условий и свободного члена (478). 152. Потенциалы для уравнения теплопроводности в одномерном случае (480). 478 ОГЛАВЛЕНИЕ 153. Тепловые источники в многомерном случае (484). !54. Функция Грина уравнення теплопроводности (485). 155. Применение преобразования Лапласа (486). !66.

Применение конечных разностей .(49!). !57. Метод Фурье для уравнения теплопроводиости (494). 138. Неоднородное уравнение (496). 169. Свойства решений уравнения теплопроводности (500). 160. Обобщенные потенциалы простого н двойного слоя в одномерном случае (502). 161. Суб- и суперпараболнческие функции (509). 162. Параболические уравнения общего вида.

Энергетическое неравенство (510). 163. Метод Фурье для параболических уравнений (514). 164. Второе основное неравенство и разрешимость первой начально-краевой задачи (521). 165. Гиперболические уравнения общего вида. Энергетическое неравенство для первой начально.краевой задачи (525). 166. Метод Фурье для уравнений гиперболического типа (528).