1610915350-94ac9efc9d237294bf3c90193c43ac37 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 4 Ч. 1 Смирнов В. И. 1974)

В. И. СМИРНОВ КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ ТОМ ЧЕТВЕРТЫЙ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ИЗДАНИЕ ШЕСТОЕ ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Допущено Монист~ротном вмсшего и среанего спеуоал ного образование СССР в конестон унебного пособил длл студентов меканико мателшти лескик и фи ико мателлатинескик факулвтетов универсометов ИЗДАТЕЛЬСТВО лгНАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ МОСКВА 197» 317 Сйо 3714 К 010 1022) !с) Главная редакция физико-математической литературы и издательства «Наука», 1974 г., с изменениями. Владимир Иванович Смирное Курс высшей математиии, том четвертый, часть первая М, 1974 г., 336 стр. с и.чл. Редактор А.

С. чистопольский Техн. Редактор К Ф. Бррдна Корректор В. П. Сарояина Сдана в набор 18ПХ 1973 г. Под!~ксана «.печати ПП 1974 г. Бумага ООКОО'7н. тпп № 3. физ псч. л. 21. Условн. печ. л. 21. ' Уч.-пзд. л 20,43. Тираж 50000 экз. Цена книги 88 коп. Заказ № 1021. Издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы П7071, Мосина, В.71, Ле!гинскигт проспект, 15 Ордена Трудовога Красного Знамени Ленинградское производственно.техническое осъедннение «Печатный Двор» имени А М. Горького Союзполиграфпрома пра Госуларственном комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии н книжной торговли.

197136, Ленинград, П.136, Гатчинская ул., 26. 20203 †1 С 21-74 033102)-74 ОГЛАВЛЕНИВ Г!рсдисловие к шестому изданию ГЛАВА 1 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (, !)римеры составления интегральных уравнений (7). 2. Классификация нигсг ральных уравневий (11).

3. Ортогональные системы функций (14). 4. Уравнения Фредгольма второго рода (!6). 5. Итерированные ядра (18). 6. 10цсгральвые соотношения для рсзольвснты. Теоремы существования н единственности (22). 7. Знаменатель Фредгольма (24). 8. Уравнение фред. наема при любом А (32). 9.

Сшозное интегральное уравнение (34). 1О. Случай характеристического значения (35). 11. Миноры Фредгольма (42). 12. Вырожденные уравнения (43). 13. Примеры (45). 14. Обобщение полученных результатон (46). 1б. Компактные множества непрерывных функций (49). 16. Неограниченные ядра (54). П. Интегральные уравнения с полярным ядром (56), 18. Случай характеристического значения (59). 19. Многомерный случай (6!). 20. Интегральные уравнения с регулярным повторным ядром (6!). 2!.

Аппарат Фрсдгольма для полярных ядер (64). 22. Интеграл Лебега (66). 23. Ортонорморованные в Ез системы (69). 24. Линейные ограниченные операторы в Е (73). 25. ИнтегРальное УРавнение с ЯдРом из Ез (75). 26. СопРЯженное УРавнсиие (76). 27. Вырожденное ядро (78). 28.

Решение уравнения с ядром из Ез пРи любом А (80). 29. Вподае непРеРывные в Ез опеРатоРы (83). ЗО. Симметричное ядро (86). 31. Разложение ядра по собственным функциям (Ж!). 32. ФУнкции, пРедставимые чеРез ЯдРо (92). 33. ПРостРанство Схз (94). 34. Теоремы о норме линейных операторов (95). 35. Существование собственного значения (97). Зб.

Последовательность собственных чисел и теорема разложения (99). 37. Формулировка полученных результатов в терминах интегральных операторов (104). 38. Теорема Лини (106). 39. Разложение повторных ядер (107). 40. Решение интегрального уравнения через характеристическиезначения н гобстненные функции (П2]. 41. Аппарат Фредгольма в случае симметричного ядра (1!3). 42. Классификация симметричных ядер (!16). 43. Теорема Мерсера (1!8). 44. Кососимметричное ядро и интегральные уравнения, приводимые ОГЛАВЛЕНИЕ к уравнениям с симметричным ядром (120). 45.

Уравнения первого рода (122). 46. Симметризация ядра (124). 47. Примеры (!27). 48. Ядра, зависящие от параметра (130). 49. Случай функций нескольких переменных (132). 50. Уравнения Вольтерра (!ЗЗ). 51. Преобразование Лапласа (138). 52. Свертывание функций (144). 53. Уравнения Вольтерра специального вида (146). 54. Уравнения Вольтерра первого рода (149). 55.

Примеры (152). 56. Нагруженные интегральные уравнения (156). 57. Интегральные уравнения первого рода с ядром Коши (160). 58. Предельные задачи для аналитических функпий (161). 59. Интегральные уравнения второго рода с ядром Коши (!65). 60. Предельные задачи для случая отрезка (!68).

61. Обращение интеграла типа Коши (172). 62. Преобразование Фурье в 1., (173). 63. Преобразование Фурье в /з Полиномы Эрмита (!78). 64. Интегральное уравнение Фурье (!82). 65. Уравнения в случае бесконечного промежутка (182). 66. Примеры (184). 67. Случай полубесконечиого промежутка (!85). 68. Примеры (!88).

69. Случай полубесконечного промежутка (продолжение) (!91). Г Л А В А 11 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 70. Постановка задач (198). 71. Основные леммы (200). 72. Уравнение Эйлера в прсстейшем случае (203). 73. Случай нескольких функций и производных высших порядков (Ю7). 74. Случай кратных интегралов (210).

75. Замечания по поводу уравнений Эйлера и Остроградского (212). 76. Примеры (214). 77. Иэопериметрнчсские задачи (221). 78. Условный экстремум (225). 79. Примеры (227). 80. Инвариантность уравнений Эйлера и Остроградского (234). 81. Параметрическая форма (236). 82. Геодезические линии в и-мерном пространстве (240). 83. Естественные граничные условия (243). 84. Функционалы более общего типа (244). 85. Общая форма первой вариации (247). 86. Условие трансверсальности (250). 87.

Канонические переменные (252). 88. Поле экстремалей в трехмерном пространстве (255). 89. Теория поля в общем случае (260). 90. Особый случай (263). 91. Теорема Якоби (265). 92. Разрывные решения (267). 93. Односторонний экстремум (270). 94. Вторая вариация (271). 95. Условие Якоби (273). 96. Слабый и сильный экстремум (277). 97. Случай нескольких функций (279). 98. Функция Вейерштрасса (28!). 99.

Примеры (283). 100. Принцип Остроградского — Гамильтона (285). 1О1. Принцип наименьшего действия (287). 102. Струна и мембрана (290). 103. Стержень и пластинка (292), 104. Основные уравнения теории упругости (293). 105. Абсолютный экстремум (297). 106. Интеграл Дирихле (300). 107. Общий случай функционалов при нескольких независимых переменных (305). 108. Прямые методы вариационного исчисления (307).

109. Пример (308). ОГЛАВЛЕНИЕ Г Л А В А 1Н ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ПРОСТРАНСТВ 5т И 5а. ОБОБРДЕННЪ|Е ПРОИЗВОДНЫЕ. ПРОБЛЕМА МИНИМУМА КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА 11П. Усреднение функций из (.з и Еа (311). 11!. Свойства средних (313). 1!2. Финитные бесконечно дифференцируемые функции (315).

113. Обобщенные прои~водные (317). 114. Свойства обобщенных производных (320). 115. Классы функций ГУ! (ДР), йу'„(~) и йгзз (огт) С.Л. Соболева (322). 116. Неравенство 11уанкаре. Теорема Реллиха (327). 117. Постановка задачи о минимуме квадратичного функционала (330). 118. Решение вариационной задачи (332). 119. Связь с краевой задачей (333). Алфавитный указатель 335 ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ Настоящее шестое издание четвертого тома существенно отличается от пятого издания. Это связано с ~ем, что четвертый том впервые печатается после изменения второго тома, в котором изложена теория интеграла Лебега и класс Е, функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу.

Это повлекло изменение изложения первой главы П~ тома — теории интегральных уравнений. Кроме того, добавлена третья глава, содержащая изложение новых точек зрения на некоторые основные понятия математического анализа. Вторая глава (вариационное исчисление) несколько расширена. В трегьей главе уже с новых точек зрения рассмотрена задача о минимуме квадратичного функционала. В предыдущем издании четвертый том содержал более 800 страниц.

В настоящем издании его пришлось разбить на две части, и настоящая книга является первой его частью. В заключение я приношу глубокую благодарность моим сотрудникам по университету М. Ш. Бирману, О. А. Ладыженской, М. 3. Соломяку и Н. Н. Уральцевой за большую помощь при составлении этой книги.

В. Смирнов ГЛАВА 1 ИНТЕГРАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1. Примеры составления интегральных уравнений. Интегральным уравнением называется всякое уравнение, содержащее искомую функцию под знаком интеграла. Пусть ищется решение дифференциального уравнения у'=)(х, у), удовлетворяющее начальному условию у(х,) =у,. Мы видели раньше [П: 51], что зта задача сводится к решению интегрального уравнения: х у (х) = ~ ((х, у) ах+ у,. «о Совершенно так же задача интегрирования дифференциального уравнения порядка у" =) (х, у) с начальными данными у(х„) =у,; у'(х,) =у„' приводится к интегральному уравнению х к у(х) = ~ дх ~) [г, у(г)]~(г+у,+у„'(х — х,).

«о «ю Преобразуя двукратный интеграл в простой [П; 17], можем переписать это уравнение в следующем виде: к у(х) = ~(х — г) [[г, у(г)]юг+у„+ух'(х — х,). х, Общее решение уравнения у =)(х, у) получится из интегрального уравнения у (х) = ~ (х — г) ) [г, у (г)] г(г + с, + схх, (1) где с, и с,— произвольные постоянные, а нижний предел интегрирования мы положили равным нулю. Рассмотрим теперь для нашего уравнения вгорого порядка предельную задачу, а именно, будем искать решение уравнения, удовлетворяющее предельным условиям у(0)=-а; у(()=Ь. Полагая в уравнении (1) сначала гл ! интегглльныс углвнРния х — О, а потом х=1, получим два уравнения для определения произвольных постоянных, которые дадут нам ь — а 1 г с„= а; с, = — — — (1 — г) 1 [а, У (г)) Йг.