1610912324-d1d4762aec28c33bb2e9df51074659f6 (Зорич том 2 2012u)

В. А.Зорич МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть !! Издание шестое, дополненное Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов математических и физико-математических факультетов и специальностей высших учебных заведений Москва Издательство МЦНМО 2012 УДК 517 ББК 22.16 386 Рецензенты: Отдел теории функций комплексного переменного Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук.

Заведующий отделом академик А. А. Гончар. Академик В. Н. Арнольд. Зорич В. А. 386 Математический анализ. Часть 11. — 6-е изд., дополн.— Мл МЦНМО, 2012. — Х1Ъ' + 818 с. Библл 60 назв. Иллл 41. 1ЯВ«1 978-5-94057-891-8 18В1ч1 978-5-94057-893-2 (часть 11) Университетский учебник для студентов физико-математических специальностей. Может быть полезен студентам факультетов и вузов с расширенной математической подготовкой, а также специаяистам в области математики и ее приложений. Предыдущее издание книги вышло в 2007 г. ББК 22.16 1ЯВН 978-6-94067-893-2 578932 785940 1ЯВИ 978-5-94057-891-8 © В. А. Зорич, 1998, 2002, 2007, 2012 18В11 978-5-94057-893-2 (часть 11) © МЦНМО, 1998, 2002, 2007, 2012 «Учебник В.

А. Зорича представляется мне наиболее удачным из имеющихся подробных учебников анализа для математиков и физиков. Основные его отличия от традиционных изложений состоят, с одной стороны, в большей близости и естественно-научным приложениям (и прежде всего к физике и механике), а с другой — в бол~шем, чем это обычно принято, использовании идей и методов современной математики: алгебры, геометрия, топологии. Курс необычно богат идеями и испо показывает могущество идей и методов современной математики при исследовании конкретных вопросов. Особенно нестандартен второй том, включающий векторный анализ, теорию дифференциальных форм на многообразиях, введение в теорию обобщенных функций и в теорию потенциала, ряды и преобразования Фурье, а также начала теории асимптотнческих разложений.

В наше время такое построение курса следует считать новаторским. Оно было обычным во времена Гуров, но наблюдающаяся последние полстолетия тенденция к специализации курсов выхолостила курс анализа, оставив ему почти одни лишь обоснования. Необходимость вернутьсв к более содержательным курсам анализа представляется сейчас очевидной, особенно в связи с прикладным характером будущей деятельности большинства студентов. По моему мнению, курс являетсл лучшим из существующих современных курсов анализал Из отзыва академика В. И. Арнольда ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к шестому изданию...............

Предисловия ко второму, третьему и пятому изданиям Предисловие к первому изданию Х1 ХП ХП1 *Глава 1Х. Непрерывные отображения (общая теория) 10 17 19 23 24 25 26 34 3 1. Метрическое пространство . 1. Определение и примеры (1). 2. Открытые и замкнутые подмножества метрического пространства (5). 3. Подпространство метрического пространства (8). 4. Прямое произведение метрических пространств (9). Задачи и упражнения 3 2.

Топологическое пространство 1. Основные определения (11). 2. Подпространство топологического пространства (16). 3. Прямое произведение топологических пространств (17). Задачи и упражнения '3 3. Компакты 1. Определение и общие свойства компакта (19). 2. Метрические компакты (21). Задачи и упражнения 3 4. Связные топологические пространства................ Задачи и упражнения 3 5. Полные метрические пространства 1. Основные определения и примеры (26). 2.

Пополнение метрического пространства (30). Задачи и упражнения ОГЛАВЛЕНИЕ 3 7. Принцип сжимающих отображений Задачи н упражнения 43 49 * Г л а в а Х. Дифференциальное исчисление с более общей точки зрения 51 ~ 1. Линейное нормированное пространство................ 1. Некоторые примеры линейных пространств анализа (51). 2. Норма в линейном пространстве (52).

3. Скалярное произведение в векторном пространстве (56). Задачи и упражнения 51 59 ~ 2. Линейные н полнлинейные операторы................. 1. Определения и примеры (60). 2. Норма оператора (63). 3. Пространство непрерывных операторов (68). Задачи и упражнения з 3. Дифференциал отображения .. 1. Отображение, дифференцируемое в точке (74). 2. Общие законы дифференцирования (77).

3. Некоторые примеры (78). 4. Частные производные отображения (86). Задачи и упражнения ~ 4. Теорема оконечном приращении и некоторые примеры ее использования 1. Теорема о конечном приращении (89). 2. Некоторые примеры применения теоремы о конечном приращении (92). Задачи и упражнения 3 5. Производные отображения высших порядков............ 1. Определение и-го дифференциала (97). 2. Производная по вектору и вычисление значений и-го дифференциала (98). 3. Симметричность дифференциалов высшего порядка (100).

4. Некоторые замечания (103). Задачи и упражнения 3 6. Формула Тейлора и исследование экстремумов........... 1. Формула Тейлора для отображений (105). 2. Исследование внутренних экстремумов (106). 3. Некоторые примеры (108). Задачи и упражнения 3 7. Общая теорема о неявной функции Задачи и упражнения 60 73 74 87 89 104 105 114 116 126 36. Непрерывные отображения топологнческнх пространств .... 35 1.

Предел отображения (35). 2. Непрерывные отображения (38). Задачи и упражнения 42 ОГЛАВЛЕНИЕ Глава Х1. Кратные интегралы 129 з 1. Интеграл Римана на и-мерном промежутке 1. Определение интеграла (129). 2. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману (132). 3. Критерий Дарбу (137). Задачи и упражнения 129 140 3 2. Интеграл по множеству 1. Допустимые множества (141).

2. Интеграл по множеству (142). 3. Мера (объем) допустимого множества (144). Задачи и упражнения 141 145 ~ 3. Общие свойства интеграла . 1. Интеграл как линейный функционал (146). 2. Аддитивность интеграла (147). 3. Оценки интеграла (148). Задачи и упражнения 146 151 з 4. Сведение кратного интеграла к повторному........ 1. Теорема Фубини (152). 2. Некоторые следствия (155). Задачи и упражнения 152 161 'з 5. Замена переменных в кратном интеграле...............

1. Постановка вопроса и эвристический вывод формулы замены переменных (162). 2. Измеримые множества и гладкие отображения (165). 3. Одномерный случай (166). 4. Случай простейшего диффеоморфизма в Н" (169). 5. Композиция отображений и формула замены переменных (171). 6. Аддитивность интеграла и завершение доказательства формулы замены переменных в интеграле (172). 7.

Некоторые следствия и обобщения формулы замены переменных в кратных интегралах (173). Задачи и упражнения 162 178 з 6. Несобственные кратные интегралы 1. Основные определения (181). 2. Мажорантный признак сходи- мости несобственного интеграла (184). 3. Замена переменных в несобственном интеграле (187) . Задачи и упражнения 181 191 3 1. Поверхность в Н" Задачи и упражнения 194 204 ~ 2. Ориентация поверхности Задачи и упражнения 205 212 Глава Х11. Поверхности и дифференциальные формы в Н" .. 194 ОГЛАВЛЕНИЕ '3 3. Край поверхности и его ориентация.................. 1. Поверхность с краем (213).

2. Согласование ориентации поверхности и края (216). Задачи и упражнения 3 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве ......... 222 Задачи и упражнения 229 3 5. Начальные сведения о дифференциальных формах 1. Дифференциальная форма, определение и примеры (233). 2. Координатная запись дифференциальной формы (237). 3. Внешний дифференциал формы (240). 4. Перенос векторов и форм при отображениях (243). 5. Формы на поверхностях (248). Задачи и упражнения 249 221 233 Глава Х111. Криволинейные и поверхностные интегралы.... 252 31.

Интеграл от дифференциальной формы ............... 252 1. Исходные задачи, наводящие соображения, примеры (252). 2. Определение интеграла от формы по ориентированной поверхности (260). Задачи и упражнение 3 2. Форма объема, интегралы первого и второго рода 1. Масса материальной поверхности (269). 2. Площадь поверхности как интеграл от формы (270). 3. Форма объема (272). 4. Выражение формы объема в декартовых координатах (274). 5. Интегралы первого и второго рода (275). Задачи и упражнения 33. Основные интегральные формулы анализа..............

281 1. Формула Грина (281). 2. Формула Гаусса — Остроградского (287). 3. Формула Стокса в йз (291). 4. Общая формула Стокса (293). Задачи и упражнения 264 269 278 297 31. Дифференциальные операции векторного анализа......... 303 1. Скалярные и векторные поля (303). 2. Векторные поля и формы в йз (303). 3. Дифференциальные операторы 8га6, гог, йч и 17 (307). 4. Некоторые дифференциальные формулы векторного анализа (311). я 5. Векторные операции в криволинейных координатах (313). Задачи и упражнения 323 Глава Х17.

Элементы векторного анализа и теории поля... 303 ОГЛАВЛЕНИЕ УН 3 2. Интегральные формулы теории поля 1. Классические интегральные формулы в векторных обозначениях (325). 2. Физическая интерпретация 61т, гоС, 8габ (328). 3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы (333). Задачи и упражнения 3 3.