1610912323-1fc1b3bcc659496f33781bec5ac53988 (Зорич том 1 2012u)

В. А. Зорич МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Часть ! Издание шестое, дополненное Рекомендовано Министерством общего и профессионального образования Российской Федерации в качестве учебника для студентов математических и физико-математических факультетов и специальностей высших учебных занеденнй Москва Издательство МЦНМО 2012 Рецензенты: Академик В. И. Арнольд. Зорич В. А. 3 86 Математический анализ.

Часть 1. — 6-е изд, дополн.— Мд МЦНМО, 2012. — ХУ111+702 с. Библд 55 назв. Иллд 65. 1БВьч 978-5-94057-891-8 1БВ1ч 978-5-94057-892-5 (часть 1) Университетский учебник для студентов физико-математических специальностей. Может быть полезен студентам факультетов и вузов с расширенной математической подготовкой, а также специалистам в области математики и ее приложений. Предыдущее издание книги вышло в 2007 г, ББК 22.16 ?ВВВ 978-5-94 057-892"5 9 785940 578925 > 1БВ1ч 978-5-94057-891-8 © В.

А. Зорич, 2001, 2002, 2007, 2012 1БВ01 978-5-94057-892-5 (часть 1) © МЦНМО, 2001, 2002, 2007, 2012 «Полнав строгость изложения соединена с доступностью и полнотой, а также воспитанием привычки иметь дело с реальнымн задачами естествоэнаннял Из отзыва академика А. Н. Колмогорова о первом издании учебника УДК 517 ББК 22.16 386 Отдел теории функций комплексного переменного Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук. Заведующий отделом академик А.

А. Гончар. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие к шестому изданию Предисловия к пятому и третьему изданиям Х1 Предисловие ко второму изданию ХП Из предисловия к первому изданию Х1Ч Глава 1. Некоторые общематематические понятия э 1. Логическая символика .. 1 1.

Связки и скобки (1). 2. Замечания о доказательствах 13). 3. Некоторые специальные обозначения (3). 4. Заключительные замечания (4). Упражнения 5 33. Функция . 1. Понятие функции (отображения) (13). 2. Простейшая классификация отображений (18). 3. Композиция функций и взаимно обратные отображения (20). 4. Функция как отношение.

График функции (22). Упражнения 13 26 ~2. Множества и элементарные операции над множествами..... 5 1. Понятие множества (5). 2. Отношение включения (8). 3. Простейшие операции над множествами (9). Упражнения ОГЛАВЛЕНИЕ Глава П.

Действительные (вещественные) числа 40 3 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел .. 41 1. Определение множества действительных чисел (41). 2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел (45). 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества (50). 32, Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами............ 1.

Натуральные числа и принцип математической индукции (52) . 2. Рациональные и иррациональные числа (56). 3. Принцип Архимеда (60). 4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами (62). Задачи и упражнения 76 '33. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел................................. 1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши — Кантора) (81). 2.

Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля — Лебега) (82). 3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано — Вейерштрасса) (83). Задачи и упражнения 81 84 3 4. Счетные и несчетные множества 1. Счетные множества (85). 2. Мощность континуума (87). Задачи и упражнения 85 88 Глава П1. Предел 91 3 1. Предел последовательности .. 1. Определения и примеры (92). 2. Свойства предела последовательности (94).

3. Вопросы существования предела последовательности (99). 4. Начальные сведения о рядах (110). Задачи и упражнения 92 121 ~ 4. Некоторые дополнения . 29 1. Мощность множества (кардинальные числа) (29). 2. Об аксиоматике теории множеств (32). 3.

Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств (34). Упражнения 37 ОГЛАВЛЕНИЕ Ч 32. Предел функции . 1. Определения и примеры (124). 2. Свойства предела функции (130). 3. Общее определение предела функции (предел по базе) (148). 4. Вопросы существования предела функции (153). Задачи и упражнения 171 124 Глава 1Ч. Непрерывные функции 175 3 1. Основные определения и примеры 1. Непрерывность функции в точке (175). 2.

Точки разрыва (181). 3 2. Свойства непрерывных функций 1. Локальные свойства (184). 2. Глобальные свойства непрерывных функций (186). Задачи и упражнения 175 184 197 Глава Ч. Дифференциальное исчисление 202 222 224 303 31. Дифференцируемая функция .. 202 1. Задача и наводящие соображения (202). 2. Функция, дифференцируемая в точке (208). 3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала (211). 4.

Роль системы координат (214). 5. Некоторые примеры (216). Задачи и упражнения з 2. Основные правила дифференцирования.........,...... 1. Дифференцирование и арифметические операции (224). 2. Дифференцирование композиции функций (228). 3. Дифференцирование обратной функции (232). 4. Таблица производных основных элементарных функций (238). 5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функции (238). 6. Производные высших порядков (243). Задачи и упражнения '3 3. Основные теоремы дифференциального исчисления........ 1. Лемма Ферма и теорема Ролла (248). 2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении (251). 3.

Формула Тейлора (255). Задачи и упражнения 270 3 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления 274 1. Условия монотонности функции (274). 2. Условия внутреннего экстремума функции (276). 3. Условия выпуклости функции (282). 4. Правило Лопиталя (291). 5. Построение графика функции (293). Задачи и упражнения ОГЛАВЛЕНИЕ Н1 335 377 Глава У1.

Интеграл 383 3 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций 1. Задача и наводящие соображения (383). 2. Определение интеграла Римана (385). 3. Множество интегрируемых функций (387). Задачи и упражнения 383 402 3 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла ...... 1. Интеграл как линейная функция на пространстве %[а, 5) (404). 2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования (405). 3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем (408). Задачи и упражнения 417 '3 3. Интеграл и производная .

1. Интеграл и первообразная (418). 2. Формула Ньютона — Лейбница (421). 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора (422). 4. Замена переменной в интеграле (425). 5. Некоторые примеры (427). Задачи и упражнения 418 432 3 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций ... 307 1.

Комплексные числа (307). 2. Сходимость в С и ряды с комплексными членами (312). 3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций (317). 4. Представление функции степенным рядом, аналитичность (321). 5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел (326). Задачи и упражнения 334 36. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания .

1. Движение тела переменной массы (336). 2. Барометрическая формула (338). 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел (340). 4. Падение тел в атмосфере (343). 5. Еще раз о числе е и функции ехрх (345). 6. Колебания (348). Задачи и упражнения 352 3 7. Первообразная . 356 1. Первообразнзя и неопределенный интеграл (357). 2. Основные общие приемы отыскания первообразной (359). 3. Первообразные рациональных функций (366). 4. Первообрззные вида ) Л(соз х, сдп х) дх (371).

5. Первообразные вида ) Н(х,у(х)) Их (373). Задачи и упражнения ОГЛАВЛЕНИЕ НН 3 4. Некоторые приложения интеграла 1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл (436). 2. Длина пути (438). 3. Площадь криволинейной трапеции (446). 4. Объем тела вращения (447). 5. Работа и энергия (448). Задачи и упражнения 436 455 3 5. Несобственный интеграл 1.

Определения, примеры и основные свойства несобственных интегралов (457). 2. Исследование сходимости несобственного интеграла (462) . 3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями (469). Задачи и упражнения 456 473 31. Пространство И™ и важнейшие классы его подмножеств .... 477 1. Множество Н и расстояние в нем (477). 2. Открытые и замкнутые множества в Н (478). 3. Компакты в К (482). Задачи и упражнения 484 3 2. Предел и непрерывность функции многих переменных......

484 1. Предел функции (484). 2. Непрерывность функции многих переменных и свойства непрерывных функций (491). Задачи и упражнения Глава Ъ'П1. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 498 3 1. Векторная структура в Н . ... . .. .. . .. . 498 1. К как векторное пространство (498). 2. Линейные отображения Ь: К -~ Н" (499). 3. Норма в Н™ (500).

4. Евклидова структура в Н (502). з 2. Дифференциал функции многих переменных 1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке (504). 2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции (505). 3. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби (509). 4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке (509).

504 Глава УП. Функции многих переменных, их предел и непрерывность .................................. 476 ОГЛАВЛЕНИЕ У111 '3 3. Основные законы дифференцирования 1. Линейность операции дифференцирования (511). 2. Дифференцирование композиции отображений (514). 3. Дифференцирование обратного отображения (520). Задачи и упражнения 511 522 3 4. Основные факты дифференциального исчисления вешественноэначных функций многих переменных 1. Теорема о среднем (528). 2. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных (530). 3.

Частные производные высшего порядка (532). 4. Формула Тейлора (535). 5. Экстремумы функций многих переменных (537). 6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных (546). Задачи и упражнения 528 550 3 5. Теорема о неявной функции 1. Постановка вопроса и наводящие соображения (557). 2.