1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т1), страница 8

7 5. 3 17. 3 16. 1) — + — г; 2) — — — — г, — — — 2г,: 6 6 ' 2 4 ' 2 3) 5 — 51,, — 5+ 5г, ъ'26 — чг26г, — х726+ ггг26гй 18. Ц вЂ” + 2Ы, Й Е У; 2) л+ 2я1, гг е л; 3) 2лй, Й Е л; 4) — — + 2Ы, Й Е Е; 5) — — я + 2я15 Й Е л; 6) — + 2лй, Й Е л. 4 ' ' 18 ' ' 14 19. 1) Действительыая положительная полуось е = х > 0; 2) мнимая полуось е = гу, у > 0; 3) полуплоскость у > 0; 4) вся комплексная полуплоскостгч за исключением точки е = О.

20. 1) г; 2) — — + — г. 3 З,гЗ. 2 2 21. Точка лг = л+ гу принадлежит параболе х = уг/4 — 1. 22. Точка е = л+ гу находится на кривой у = ~л(. 5гг .. 5г1 25. 1) 2(сов — +ггйп — ) 2) сеял+ гяшгг. 6 6 )' 13гг .. 13гг 5н / 14н .. 14н 'г 3) соя + г'я1п: 4) — 2 соя — (сов + г'ягп 12 12 9) 5) ( сов (1 + — ) + г яш (1 -~- — ) ) . 1 гггЗ .

4н .. 4я 26. 1) е = 1 = сояО+ гяшО; 2) з = — — — — г' = соя — + гв1гг — '; 2 2 3 3 ' 1 1 1 г73 . 5гг .. 5л 3) я = — = — 1соя 0+ г гйп О); 4) з = — — — г = соя — + г сйп —; 2 2 2 2 3 3 ' Зн .. Зя 5) з = — г = сов — + г гйп —. 2 2 27. 1) — 1сов230'+гягп230'); 2) хГ2в1п — (сов — +гейл ). 5 г / 29гг .. 29нх 3 51 20 20 ) 28. — 10+ 4г. 29. 3 — — г. 9 . 2 30. 1) 1; 2) соя50'+гя1п50', 3) — — — г; 4) — 2; 5) 2.

1 БАГЗ. 64 64 31. 1) 2 (ггоя — +гв1п — ); 2) 8(сов — +гейл — ); шо/ 4гг .. 4я1 / Зн .. Зя1 3 3)' ~, 2 2)' 3) 21сояО+ гя1пО), если п четное; 21совл+ гвйпгГ, если п, нечетное; 1, вЗгг/ н ., нт 4) 1сов8+ гв1п8); 5) — 32 сове —. (сов — + гяш сов' 2 5 г 2 2) 32. 1) — +г —, — 1, — — г —; 2) хГЗ+г, — т73+ г., — 2г; .чгЗ 1 .,3 2 2 ' ' 2 2 56. Мнагачлены. Алгебраические уравнения. Рациональные дроби 47 3) соя, + 7' я1п, й = О, 1, 2, 3, 4, 2к1 .. 2к1 4) ъ'2( соя 77 + 1яш к), й = 0,1,2,3,4.,5.,6,7; и 7 81-Ь1 . 8"'Ч-1 ' г Л Л. Л Л. Л Л.

Л Л. 5) — + — 1,— — + — 7',— — — — г, — — — П 2 2 ' 2 2 ' 2 2 ' 2 2 6) чу( соя — +1я1п — ~, чг 22( соя — +1яш — ), ьГ2( соя — + 15 15 )' (, 15 15 )' (, 15 -~-1яш ), 4'22~соя ' -~-1я1п ), 1Г2( соя — -1-1яш — ); 15 )' Х 15 15 )' (, 3 3 )' 7) ъ73+ 1, 21, — ъ'3+ 7', — чГЗ вЂ” 1, -21, ьГЗ вЂ” 2; 8) О, соя +1яш, й = 0,1,2,3,4.

2 к1г .. 2 к 1. 5 5 33. 1) 4е7лце; 2) сага/7 34. 1) ег ' = 1; 2) 8е 7л 4ь'2 — 4чГ21, 3) 64е' = — 64: 4) е а'7з = — — 1 — '; 5) 27ез ь'з = -271. . ч73 2 2 35. 1) ег ьцг (1с = 0,1,2); 2) е~г~ьН"ОЯ, 1 = 0,1,2,3,4; 3) 2ег~зьеОгцэ, 5 = 0.1,2; 4) ЯеьнчМ™, 1 = 0,1,2,3. 5 6. Многочлены. Алгебраические уравнения. Рациональные дроби СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Многочлен и его корни. 1) Пусть задан многачлен п-й степени 1г„(х) = Сах" + С„ьхн ~+ ...

+ Сгх+ Со, Са ф О, (1) с действительными или комплексными коэффициентами С„, С„ ...,СыСа, Число С„называют старшим коэффициентом, а число Се — сеабадным членам многочлена Ц„(х). Переменное х может принимать любые значения из множеств 17 или С. 2) Число а называют корнем мнагочлена сг„(х), если сда(а) = О, а уравнение ьг„(х) = 0 алгебраическим ураенением и-й степени. 3) Многочлены Р(х) и ьг(х) считают раенылш и пишут Р(х) = = ьг(х), если равны коэффициенты этих многочленов при одинаковых степенях.

4) Пусть Р(х) и ()(х) — два многочлена, причем многочлен 17(х) д': О. Если Р(х) = Т(х)ьг(х) + Е(х), (2) где Т(х) и Л(х) - некоторые многочлены, причем Л(х) либо равен нулю, либо имеет меньшую степень, чем Сг(х), то многочлен Т(х) называется частн м от деленин многочлена Р(х) на многочлен фх),. а Л(х) . — остатком от этого деления. Гл. Д Введение В частности, если Я(х) = х — а, где а заданное число (а Е Й или а Е С), а Р(х) = Я„(х), где ьг'„(х) многочлсн степени и, то в формуле (2) частное Т(х) = ьг„. 1(х) многочлен степени и — 1, а Л(х) = г — пскоторос число. Итак, формула деления многочлена Я„(х) степени п на двучлен х — а имеет вид 1г„(х) = (х — а)Я„~(х) л- г. (8) 5) Теорема Безу. Число а лвляется корнем много лена Яе(х) тогда и только тогда, когда этот л~ногочлен делится йез остатка на х — а, т.

е. справедливо равенство 1)е(х) = Яе 1(х)(х — а). 6) Число а называют корнем многочлена 11„(х) кратности к, если существует число к Е Й и многочлен б)'„я(х) такие, что для всех х (х Е Й или х Е С) справедливо равенство сг„,(х) = (т, — а) сг*„я(х), где 1)*„я(а) ф О. (5) Если а Е Й и коэффициенты многочлена 1>„(х) действительные числа, то условия (4), (5) выполннются тогда и только тогда, когда Яв(а) = О, Я,',(а) = О, ..., 11~~ О(а) = О, Я~~1(а) ф О.

7) Если ьг(х) = те + рх+ Ч, где р Е Й, Ч Е Й, рз — 4Ч ( О, то корни х1 и тг многочлена ®(х) --- комплексно сопряженные числа: х1 = — — +З~~~Я вЂ” —, хг = — — — 1цу— 2 )( 4' 2 3 4' 8) Если Яя(х) многочлен с действительными коэффициентами, а хо = т + Ы, 5 ф. О, его коРень, то число хо = Π— 15 также Явлпетсн корнем этого многочлена. 9) Целые корни алгебраического уравнения Г1„(х) = О, где сг„(х) — многочлен с пелыми коэффициентами, являются делителями его свободного члена.

2. Разложение многочлене на множители. Ц Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Алгебраическое уравнение степени и > 1, т. е. уравнение Яо(х) = О, где Я„(х)— многочлен (1) степени тк с действительнылш или комплексными коэфу7иииентами имеет и корней при условии, что каждый корень считается столько раз, какова его кратность. 2) Пусть Яп(х) многочлен (1) степени и, с действительными коэффициентами, аз (~ = 1, 2, ..., к) — все действительные корни этого многочлена, од - - кРатность коРнЯ огр Тогда Яп(х) = Св(х — а~) '...(х, — аь) ь Й(х), уб. Многочлены. Алгебраические уравнения. Рациональные дроби 49 где Л(х) многочлен с действительными коэффициентами степе- ни 1 = и — ~ау, пе имеющий действительных корней.

Если 1 > 1=1 > 1, то многочлен Л(х) должен делиться на многочлен хг + рх + ц = = (х — хо)(х — хо), где хо = 'у -~- Ы (д ф О) — — комплексный корень многочлена Л(х). Пусть х, и х, . пара комплексно сопряженных корней многочле- на Л(х),,Зг --- кратность этих корней, х +рх+а,=(х — х)(х — х), р,бй, агбй, х, х О = 1,2, ..., ь) — все пары комплексно сопряженных корней многочлена Л(х).

Тогда яи(х) = Со(х — а1) '...(х — аь) '(хе+рчх+ ц1)р'...(х +р,х+Ь)'', ь г (6) оу А-2~ /Зг = и. у=ч 1=1 3. Разложение правильной рациональной дроби на элемен- тарные. 1) Пусть Р,„(х) и Яя(х) многочлены степени т и и. Если т < < п, то функцию называют правильной рациональной дробью, а Рт (х) Яо(х) при т > и --. неправ льной.

2) Если Т(х) частное, а Л(х) --. остаток от деления многочле- на Рж(х) на многочлен Я (х), то Р~о(х),, Л(х) = Т(х)+ сгп(х) Яо(х) где либо Л(х) = О (в случае, когда многочлен Р,„(х) нацело делится на многочлен Я„(х)), либо Л(х) ф О, а дробь ' является пра- К(х) о вильной. 3) Пусть Р (х) и Ц„(х) многочлены с действительными коэффициентами, --- правильная дробь, число а --.

действи- Р„(х) тельный корень кратности к многочлена Яо(х). Тогда существуют действительные числа Аы Аз, ..., Аь такие, что Рж(я) Ал +,+...+ + Ая лй Р (х) Яо(х) (х — а)Я (х — а)ь ' х — а Г2„ у(х) где Р*(х) -- многочлен с действительными коэффициентами или нуль, 1,)*„ь(х) частное от деления суя(х) на (х — а)" при Р*(х) ж ф О. Дробь „являетсн правильной, а числа А О = 1, 2, ..., й) и Р*(л) о — ь многочлен Р'(х) определяются однозначно. Гл.

1. Введение ао 4) Если Р (х) и (7„(х) многочлсны с действительными коэфЯп (х) фициентами, дРобь ЯвлЯетсЯ пРавильной, а число хе = Т + 14, Г4„(х) где Ь ~ О, — корень многочлена 1;)„(х) кратности в, то существу- кзт действительные числа В„ 11 Ц = 1,2,...,.в) и многочлен Р(х) с действительными коэффициентами такие, что Р~(х) В,х -Ь В, В, 1х ж Р,, В1х -Ь В1 Р(х) е — 1+"' " + ~„(х) (хед-рх-Ьв)" (хед-рх '-д)' ' "' хе+ран-в д ., (х)' где х +Рх+ е4 = (х — хо)(х — хе), С)п, се(х) частное от делениЯ Р(х) 1)п(х) на (хз + рх+ о)".

Дробь при Р(х) К': О является пра12п — ее(х) вильной, а числа В, Р Ц = 1, 2, ..., в) и многочлен Р(х) определя- ются однозначно. 5) Если Р (х) и ()п(х) многочлены степеней т и п с действи- тельными коэффициентами, причем т, ( и, а Ь)п(х) предо~является в виде (6), то О~ ' д О) вп Рп,(х') ~ ~-и Л ~ ~ В :е -~- Р, (7) Все коэффициенты в правой части (7) —.—. действительные числа и определяются однозначно. Формула (7) дает разложение правильной рациональной дроби на элементарные (простые) дроби. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р н мер 1. Остатки от деления мпогочлена Р(х) на х — 1 и х — 2 равны соответственно 3 и 4. Найти остаток от деленияР(х) на (х — Ц(х — 2).

а Пусть г(х) — искомый остаток. Тогда е (х) = ах+ Ь и справедливо равенство Р(х) = Г1(х)(х — 1)(х — 2) ч- ах -~- Ь. Полагая в этом равенстве х = 1 и х = 2, получаем 3 = а + Ь, 4 = = 2а+Ь., откуда а =1, Ь= 2. Ответ. х+ 2. а П р и м е р 2. Разложить многочлен Р(х) = хл — хз — хз — х — 2 на множители на множестве Й.