1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т1), страница 7

е. = т Етт~ 2. = 1.. Егтг 1 — 1, 2 — 2 то 21 — — 22 тогда и только тогда, когда 1р1 =ззг+2Ьг, Й 5 ~. 5. Извлечение корня. Рассмотрим уравнение (15) где а ~ 0 комплексное число, и 5 И (и > 1). Пусть 2 = те"', а = ре'з; тогда 1"'т'"" = ре', откуда т" = р, ~ир = В + 2Ьг, 1 5 л, т = ц'р: 1р1 = — (В+ 25л). 1 и (16) Уравнение (15) имеет и различных корней ~Д~а( е'"", (17) где сзь определяется формулой (16), 1 = О, 1, ..., и — 1, В аргумент числа а. На комплексной плоскости точки гь (й = 0,1, ...,п. — 1) располагаются н вершинах правильного и-угольника, нписанного в окружность радиуса ~Да~ с центром в точке О. формулу (11) называют формулой Муавра.

7) Из (8) и (9) следует, что любое комплексное число 2 ф 0 можно записать в показательной форме 2 = те"', где 1 = ф, 1р аргумент числа 2, (12) а из равенств (10) следует, что если 21 — — г1е'т', 22 = тгезт', где т1 > О, тг>0, то = т,т еде -' тг1 95. Келгклекскеге числа ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и м е р 1. Выполнить действия: ц (2+ г)з 2) 3+ г Л 1) ИспользУЯ фоРмУлУ кУба сУммы и Равенства гз = — 1, гз = — гг получаем (2+ г)з = 8+ 3.

2 г+ 3 2 ге+ге = 2+ 11г. 2) Обозначим зг = 3+ г, зз = (1+ г)(1 — 2г). Тогда по формуле (2) находим зз = 3 — г, а по формуле (4) получаем сгсг (3-~-г)е 9-~-бг — 1 4 3 л (е (г 10 10 5 5 + г.А П р и м е р 2. Найти множество точек комплексной плоскости, удовлетворнющих условию: 1) )з — Ц = )з + г(; 2) 1 < )з + 2г( < 2. л Ц Уравнению )з — 1! = )е+ г! удонлетворнют все точки, равно- удаленные от точек зг = 1 и зз = — Е Это прямая у = — т (биссектриса второго и четвертого координатных углов). 2) Условию ~з + 2г~ < 2 удовлетворяют все точки,.

лежащие внутри круга радиуса 2 с центром в точке зе = — 2г, а условию ~ з + 2г ~ > 1 все точки, лежащие вне круга радиуса 1 с центром в точке зе. Искомое множество точек кольцо между окружностями радиусов 1 и 2 с общим центром в точке зо = — 2г. А Пример 3. Записать в тригонометрической форме комплексное число: 1) зг = — 1 — г; 2) лз = — соя — +1я|п —. 7 7 Л 1) ПРименпн фоРмУлУ (7), полУчаем тбсе = 1, откУда ггг = бк/4, так как точка — 1 — г лежит в третьей четверти. Так как ~зг~ = ьГ2, то гг = чгГ2еге"гч. 2) Так как точка зз лежит во второй четверти, то, используя форт бк . гг .

бк мулы приведения, получаем — соз — = соз —, гйп — = з1п —, и по- 7 7' 7 7' 6гг .. бк этому зз = соз — + ггйп —. 7 7 (1 л гчггз)е П р и м е р 4. Вычислить (1 — г)' и Так как 1+ гт/3 =2е' 7з, 1 — г, = чГ2е ' 7л, то, применяя формулы (13) и (14), получаем (1+ гчг3)е 2ее кг 1 = — —. А (1 — г)ч (чгг2) ге-гк 16 ' Пример 5. Найти все корни уравнения з~ = — 1. л Используя формулы (16) и (17), где 0 =к, Ц = р=1, получаем сь = ед ж ькгг~. й = 0 1.2 3 4.5 Гж 1. Введение ,Гз + 18Ш вЂ” = — + — 1, б 2 2 ,/з — 88 — 1 2 2 77 где 81 — — е'"10 = соа— 6 = ез 118 = — — + — 1 ъгз 1 2 2 973 1 88= — — — 1.

А 2 2 здддчи 1. Найти сумму и произведение комплексных чисел 81 и зз, если: 1) 81 = 4 + 51, гз = 3 — 21; 2) 81 = 0,5 — 3,21, зз = 1,5 — 0,81; 3) 81 = ч72 — ч731, лз = ~/2 + ъ'311 2. Найти разность 89 — 81 и частное гз/81, если: 1) 81 = 3 + 41, зз = 0,4 — 0,21; 2) 81 = 1 — 21, лз = 0,6; 3) 81 = ъ75 — 1, 89 = ъ75 — 27.. 3. Найти мнимую часть з, если: 1) е = (2 — 1)~(2+ 117); 2 31 8 . 5+21 3 — 41 1 1+41 ' 2 — 51 4+31 1 4. Выполнить действия: 1) 1 +1 -~-7 +1; 2) 211х — + — 1) < — — -~- — 1); 17 18 19 20. '12 2 )1, 2 2 )' 1+1 1 — 1' 13+121 (14-21) ) (1-921) — (1 — 1)8 .

+ 1 — 1 1+1 ' 61 — 8 2+1 ' (3+ 21)7 — (2+1)1 5. Определить, при каких действительных значениях л и у комплексные числа 81 = уз — 7у + 9з1 и зз = — 12 + 201 + зз1 равны. 6. Определить, при каких действительных значениях ш и у комплексные числа 81 = 8лз — 2019 и лз = 9л~ — 4+ 10у18 являются сопряженными. 7.

Решить уравнение: 1) (1+ 21)(з — 1) + (41 — 3)(1 — 18) + 1+ 71= 0; 2) с~+у= О. 8. Решить систему уравнений < 81+ 289 — — 1+1, Зз1+ 1зв = 2 — 31. 9. На комплексной плоскости даны точки 81, гз, 88, являющиеся вершинами треугольника. Найти точку пересечения его медиан. 10. В точках 81, 89, ..., ло комплексной плоскости расположены материальные точки соответственно с массами 7п1, нзз, ..., п1„.

Найти центр тяжести такой системы материальных точек. 4б. Калгилексные числа 11. На комплексной плоскости даны точки ем лз, аз, являющиеся тремя последовательными вершинами некоторого параллелограмма. Найти четвертую вершину этого параллелограмма. 12. На комплексной плоскости даны точки зг = 6+ 8г, е = 4— — 31. Найти комплексные числа, соответствующие точкам, лежащим на биссектрисе угла, образованного векторами сг и ез. 13.

Найти модуль комплексного числа л: 1) з = -4; 2) з = -г; 3) з = -5 — 2чггбг; 4) з = 1+ соз(8лгг7) +1зш(8л/7). 14. Решить уравнение: 1) за+3/з/ = 0; 2) за+2(з! = 1; 3) за+ )з)а =0; 4) е' + .(з(+ )з~! = О. 15. Найти множество точек комплексной плоскости, заданное условием: 1) )е-ЬЦ=1; 2) )е — г)<)е-Ьг); 3) (е-~2е — Ц<2; 4) )з — 2(з + )з+ 2!з = 26; 5) (л — 2)+ (з+ 2! = 26; 6) зш(з( ) 0; 7) 18/з — 10г! < 1; 8) фз+ Зз+ Зз = О. 16. Решить систему уравнений: 1) (с + 1 — г'! = (3 + 2г — з( = (е + г); / )с+ 1! = )з+ 2), ) (1 — г)л = (1+1)з, 2) ') )Зз л-9! = )5з+ 10г/; 3) ~ /за+ 5Ц = 1 17.

Доказать, что система уравнений не имеет решений. 18. Найти аргументы комплексного числа: 1) з = гд 2) с = — 1: 3) е = 8; 4) с = 2 — 21: 5) = згп(ягг9) — 1 соя(лгг9); 6) з = 1 + соз(ягг7) -Ь 1 згп(ягг7). 19. Найти множество точек комплексной плоскости, если один из аргументов;д числа 1) равен нулю, 2) ранен 5лгг2; 3) удовлетворяет неравенствам 2к < гд < Зл; 4) удовлетворяет неравенстнам 0 < са < 2л. 20.

Среди комплексных чисел з, удовлетворяющих условию: 1) )с+1 — г'! = 1: 2) )с+3 — ьгЗг'! < ~/3; найти число, имеющее наименьший положительный аргумент. 21. Где находится точка гз, если точка с = т +19 принадлежит прямой 9 = 1Г 22. Где находится точка з комплексной плоскости, если точка за Гл. 1. Введение принадлежит мнимой осиГ 23. Пусть з ~ ~1. Доказать, что точка (з — 1)/(з+ 1) принадлежит мнимой оси тогда и только тогда, когда точка з принадлежит окружности радиуса Л = 1 с центром в точке з = О. 24. Может ли точка з = 0 принадлежать какому-нибудь многоугольнику, вершины которого находятся в точках за = 1+ з+ з + ... + з +', (з~ < 1Г 25.

Представить комплексное число з в тригонометрической форме: 1) з = -л/3+ г; 2) з = -1; 3) з = — сов — — г яп —; 12 12 ' 10я .. 10и 4) з = 1+ сов — + гвш —; 5) з = 181 — г. 9 9 26. Записать комплексное число з в алгебраической и в тригонометрической формах: г(сов(5 г/3) + гв1гг(5я/3)) 2) 1 сов(я/б) + г яп(я/6) ' сов(4я/3) — г вбп(4я/3) ' г — сов(5гг/12) -Ь гяп(бя/12) (1 ж г)е ' сов(13я/12) — г яп(13и/12) ' 5) з— ( сов(гг/3) — г яп(гг/3) ) (1/2 -Ь гт/3/2) г 27.

Представить в тригонометрической форме комплексное число з: 5(сов 100' -~- г яп 100')г вбп(2я/5) ж г(1 — сов(2я/5)) 3(сов 40" — г яп 40') г — 1 28. При повороте на угол я/2 по часовой стрелке и удлинении в два раза вектор зг = 2+ 5г переходит в вектор з . Найти комплексное число, соответствующее вектору зз.

29. Вектор з = — 2+ 34 повернут на 180' и удлинен в 1,.5 раза. Найти комплексное число, соответствующее получившемуся вектору. 30. Записать комплексное число з в алгебраической форме: БАГЗ н 12 1) з = ~ — — — ); 2) з = (сов31'+гвш31') 2 2 3) ( в+г/Зге')в 4) (2)г 5) (1+г)' 4 ! ' ( — т/2-~- гх/2)в (1 — г)г 31. Записать комплексное число з в тригонометрической форме: г — 1 / ' (1 — г)е" 5 4) з = ($82 — г)л; 5) з = (в)гг — +г'(1+сов —,')) .

32. Найти все корни уравнения: 1) зз 1. 2) зз 8;. 3) зв 1. 4) зв 1+в; 5) ел+1 0 6) зв =1+,ГЗг; 7) .в+64=0 8) .з =-.з 5 ег. Келгнленснеге числа 33. Представить в показательной форме комплексное число: 1) з = — ч7Г2 — 2г; 2) з = — соя(ягг7) + г вш(л,Г7).

34. Записать в показательной и в алгебраической формах комплексное число: 1) з = 5еа0а 0,2е "ге(соя — — ггйп — ); 2) з = ( — е™ага 5г .. 5ггч Г1 12 12 ' 2 3) = ( '3 — г)е; 5) я= е "ч'11-Ь ъ'31)г 35. Доказать формулу о, за (1+ сояо+ гятпо)з" = (2соя — ) ег", и Е Иг о Е Я. 36. Найти все корни уравнения и записать их в показательной форме: 1) г~ = 1; 2) еа = — 1; 3) ез = — 4-~- ч'488г'; 4) е~ = — 1 — ъ'Зг. ОТВЕТЫ 1. 1) 7+ Зг, 22+ 7г.'; 2) 2 — 4г, — 1,81 — 5,2г; 3) 2хГ2, 5. 2. 1) — 2,6 — 4,2г, 0,016 — 0,088г; 2) — 0,4+ 2г',, 0,12+ 0,241: 7 чЛ. 3) — г — — — г 6 6 3. 1) 0; 2) — 11/17; 3) 3.

4. 1) 0; 2) -2г; 3) 0; 4) — — + — г; 5) — — — г. 18 23 . 22 5 25 50 ' 159 318 5. (4; 3), 15; 3), (4; 4), (5; 4). 6. 1-2; -2), 12; -2). Гз. 7.1) -1 — г',; 2) О, -1, — ~ — г. 8. зг=1 — г, ез=г. 2 2 9 3 а е 10 (~~',пгьсь)((~гпь) 11 за =зг+за — зз. ь=г ь=г 12. 1(7+ г), 1 -- произвольное положительное число.

13. 1) 4; 2) 1; 3) 7; 4) 2ягп1гг,г14). 14. 1) О, Зг,г — Зг'; 2) т72 — 1, 1 — тГ2, г., — г; 3) Ьг, Ь Е й; 4) с ~ ьгЗсч', с произвольное действительное неположительное число. 15. 1) Окружность радиуса Н = 1 с центром в точке з = — 1; 2) полуплоскость 9 > 0; 3) круг (вместе с границей) радиуса Л = 2 с центром в точке з = 1 — 2г; 4) окружность радиуса Л = 3 с центром в точке з = 0; Гл. П Введение 5) эллипс с фокусами в точках ег = — 2, зг = 2 и с большой полуосью а = 13; 6) система концентрических колец с центром в точке е = О, содержащая интервалы 121гкг2Ьг+ гг), 1 > 0 целое, действительной оси; 7) круг радиуса Л = 10 с центром в точке е = 10г, за исключением центра круга и граничной окружности; 8) окружность радиуса Л = 3 с центром в точке л = — 3.