1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т1), страница 4

Неравенства, содержащие знак модуля. Для любых дейст- вительных чисел а и Ь справедливы неравенства [а+6[ < [а[+ [6[, [а+ 6[ > [[а[ — [6[[. 4. Числовые промежутки. 1) Отрезок, интервал, полу интервал записываются соответстеен[а,Ь)=1х: и<х<6), [а, 6) = 1х: а < т < 6), [о, 6) = 1х: а < х < Ь), [а, 6] = (х: а <:с < Ь). йу. л(ействительные числа Точки а и Ь называют соотвстстветю левым и правым конном промежутка (отрезка, интервала или полуинтервала).

2) Бесконечные промежутки: (а, +со) =(х: х>а), ( — оо,а) =(х: х < а), ( — хч+со) =(х: х ЕЯ). 3) Интервал (а — в, а+в), где е > О, называют в-окрестностью точки а и обозначают Бс(асе) или Г,(а)., т. е. Гс(а) = (х: !х — а! < в). 5. Точные грани числовых множеств. 1) Множество Х действительных чисел (Х С й) называется ограниченным сверху, если существует число С Е й такое, что все элементы множества Х не превосходят С, т. е. ВСЕЯ: ЧхЕХ х(С.

2) Множество Х С Я называется ограниченным снизу, если существует такое число С', что нее влементы мнткества К яе меньше С', т. е. ВС'Ей: ЧхЕХ х>С'. 3) Множество Л Е й называют ограниченным, если оно ограничено как сверху, так и снизу, т. е. ВС'ЕЯ ВСЕЯ: ЧхЕХ С'(х(С. (5) Условие (5) равносильно условию ВСо > О: 'Фх Е й )х) < Со. 4) Если множество Х ограниченво сверху, то наименьшее из всех чисел, ограничивающих его сверху, называют его верхней гранью (или точной верхней гранью).

Число ЛХ является точной верхней гранью множества Х, если выполняются следующие условия: ЧхЕХ х<ЛХ, Чо<М ВхЕХ: х>о. Точная верхняя грань множества Х обозначается зпрХ (читается: су премум). 5) Если множество Х ограниченно снизу, то наибольшее из всех чисел, ограничивающих его снизу, называют его нижней гранью (или точной нижней гранью). Число т является точной нижней гранью множества Х, если выполняются следующие условия: ЧхЕХ х>т, 103>т, ВхЕХ; х<д. 6) Всякое ограниченное сверху (снизу) непустое множество действительных чисел имеет точную верхнюю (нижнюю) грань.

7) Если множестно Х не ограничено сверху (не ограничено снизу), то пишут зпрХ = +со (соответственно 1п(Х = — оо). Гл. 1. Введение ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ Пример 1. Записать в виде рациональной дроби бесконечную периодическую десятичную дробь а = 3, 7(13).

а Так как 10за = 3813, (13), 10а = 37, (13), то 990а = 3676, откуда 3676 1838 353 990 495 495 П р и м е р 2. Доказать, что для любых действительных чисел аь, Ьь п п (й = 1,2, ...,и), удовлетворяющих условиям ~ ~а~1 — — 1, ~ Ьь = 1, справедливо неравенство ь —.1 ь=-3 ~ аьЬе~ < 1.

Ь' е А Так как ~аЬ| (, а )л+ р! < (х(+ (р), то ~аеЬе < 2 и 1=1 <~ ~аьЬе~<~ ь "=1. а ЗАДАЧИ 1. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь а в виде —, если р и 9 — натуральные числа, не имеющие общих делир 9 толей: 1) а = 2,(13); 2) а = 1,3(18); 3) а = 0,12о(0); 4) а = 3, ЦЗ1). 2. Доказать, что числа ~(2, ъ~З, ~/2,'3, х72 + х73 иррациональные.

3. Может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональным числомГ 4. Доказать, что для лкзбых рациональных чисел а и Ь таких, что а < Ь, найдется иррациональное число с, удовлетворяющее ус- повию а<с<5. 5. Доказать, что для любых рациональных чисел р, д, г, из которых хотя бы одно не равно нулю, число рхГ2+ дх(3+ т,~2/3 иррациональное. 6. Сравнить следующие действительные числа: 1) 3,3 и 3,298; 2) 3,1416 и 3,14159; 3) 3,141592 и 22/7; 4) ХГЗ+2 Л+Л; 5) М7+,/Г0 0и ГЗ+ /Г99.

7. Доказать, что если ~Ь! < †, то )а( 1 2 < 2 ' (а — Ь! )а( й 3. /Еействителеные числа 8. Пусть Х = 1т: т Е Я, ша < 2). Доказать, что множество Х не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элементов. Найти кирХ и шЕХ. 9. Найти ецр Х и шЕХ, если множество Х состоит из элементов, ЯвлЯющихсЯ членами последовательности 1ши), где: 1) т„= —:, 2) ш„= 1-ь; 3) хи = — + — + — ч- ...

-ь — „. 10. Пусть Л, У непустые ограниченные множества действительных чисел, а Х+ У множество всевозможных чисел вида т+ + у, где т Е Х, у Е К Показать, что Х + У - -. ограниченное множество, причем ацр(Х+ У) = эцрХ+ зцр1', шЕ(Х+ 1') = шЕХ+шЕК 11. Пусть Л, 1' -- непустые ограниченные мноекества неотрицательных действительных чисел, ХУ -- множество всевозможных чисел шу, где л Е Х, у Е К Показать, что ХУ вЂ” ограниченное множество, причем ацрЛУ = зцрХ вирУ, шЕХУ = шЕХ шЕ1'. 12. Пусть Л и У - множества действительных чисел, Л вЂ” У множество всевозмоекных чисел вида х — у., где х Е Л, у Е У. Показать, что зцрЕХ вЂ” У) = ацр Л вЂ” шЕК 13.

Пусть Х -"- множество действительных чисел, а — Л -- множество чисел вида у = — х, где х Е Х. Доказать, что шЕ( — Л) = = — зпр Х, зцр( — Л ) = — шЕ Х 14. Пусть Х и 1' . - непустые множества действительных чисел такие, что: а) для любого к Е Х и для любого у Е У справедливо неравенство х< у; б) для любого е > О существуют ше Е Х и у, Е 1' такие, что у- — х <е.

Показать, что ацр Х = шЕУ. 15. Доказать, что множество всех чисел вида В, где р Е И, д Е я/, Я О < р < 9., не имеет ни наибольшего, ни наименьшего элемента. Найти его точную верхнюю и точную нижнюю грани. ОТВЕТЫ 1. 1) —; 2) —; 3) —: 4) . 3.

Может. 211 . 29 1 3397 99 ' 22 ' 8 ' 990 6. 1) З,З > 3,298; 2) 3,1416 > 3,14159; 3) 3,141592 < 4) т/3+ 2 > т/2+ т/в; 5) ч/7+ т/УО О< т/3+ т/19. 8.зцрХ=ч/2, шЕХ= — ч/2. 9.1) 1иО; 2) — иО; 3) 1и 16. 1 и О. Гл. 1. Введение 24. Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона. Числовые неравенства СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Числовая последовательность. 1) Бели каждому натуральному числу п поставлено в соответствие некоторое действительное число хп, то говорят, что задана числовая последовательность (или просто последовательность) хы хг, .", хп, Кратко последонательность обозначают символом (х„) или 1х„), число х„называют членом или элелгентом этой последовательности, и -.— номером члена х„. 2) Последовательность обычно задается либо формулой, с помощью которой можно вычислить каждый ее член по соответствующему номеру, либо формулой, позволяющей находить члены последовательности по известным предыдущим (рекуррентной формулой).

2. Арифметическая прогрессия. 1) Арифметическая прогрессия -" последовательность (а„) определяется рекуррентной формулой а„з1 — — а„+В, где а1 и д .-- заданные числа; число д называется разностью ариф- метической прогрессии.

2) Формула и-го члена арифметической прогрессии; ап = а~ + сбп — 1). 3) Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов, т. е, при й ) 2 справедливо равенство аь = ал — 1 ил 1 2 4) Сумма п первых членов арифметической прогрессии выража- етсЯ формулой + а 2 + д~п 1) 2 2 3.

Геометрическая прогрессия. 1) Геолгетрическая прогрессия последовательность (Ь„) определяеман рекуррентной формулой Ь„„= Ь„2, где 61 и а заданные числа, отличные от нуля; число д называют знаменателем геометрической прогрессии. 2) Формула п,-го члена геометрической прогрессии: Ьп = Ь,й"-'. 44. Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона 3) Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, пачинан со второго, равен произведению его соседних членов, т. е.

при Ь > 2 справедливо равенство Ьь = Ьь-ььгмь. Если Ьь > О при всех к е И 1Ьь > О д > 0)ь то ьи = ЕЬ.,ье„ь т. е. кагкдый член такой геометрической прогрессии равен среднему геометрическому его соседних членов. 4) Сумма Яп первых ьь членов геометрической прогрессии выражается форльулой 1 и Я„= ' " =Ьь, если у~1.

1 — д 1 — д' 5) Геометрическая прогрессия, у которой ~д~ < 1, называется бесконечно убывающей, а се сумма выражается формулой ь 1 — д 4. Суммирование. 1) Пусть иь,аг, ...,ап -- заданные числа. Их сумма аь + а. + ... и ... + ап обозначается также ~ аьь т. е.

ь=ь Е оь = иь + аз+ ... + ап, ь=ь где Ь называется индекса и суммирования. 2) Сумма не зависит от того, какой буквой обозначен индекс сум- гнирования, т. е. и п и ае= ~ ат= ~ ор. р=ь 3) Операция суммирования обладает свойством линейности, т. е. для любых чисел о и 1ь' имеет место равенство и ьь и ~1оиь + )тЬь) = о ~ аь + Д ~ Ьь. ь=ь ь=ь ь.=ь 4) РаССМОтрИМ СуММу, СОдЕржащуЮ тП СЛаГаЕМЫХ анб ГдЕ ИидЕК- сы ь, и г принимают значения от 1 до и и от 1 до т соответственно (1 < г < пь 1 < ь' < т). Эта сумма обозначается и т, а,.

или ~ а,, ь=ь,ь'= ь 1(ь(п,ь(1(т и называется двойной суммой. Имеет место равенство п т т п а, = ~ ~~~ь ио. ь'=1 й=ь Гл. И Веедение 5) Задачу о вычислении сумм вида п где г" (л) заданная функцин, обычно рассматривают как задачу о нахожДении Я„как фУнкции от и,. НапРимеР, если 1(й) = аьы — аь,. гце (а„) .. заданная последовательность, то Н„ = ~ ~((й) = ~(аь~.1 — аь) = аз — а1 + аз — аз + ... ь=г ь=1 + а„— а„г + а„~ г — а„= а„ег — аы т. е.

~(аь ь| — аь) = аее~ — аы о=1 4. Бином Ньютона. Ц Для любых чисел а, Ь и любого о б В справедлива формула бинома Ньютона (а+ Ь)" = Соа" +С„'а" 1Ь+ ... + С~а" ьЬь+ ... + С,",Ь", (2) где и("-')-(" — (й-1» н е й! -. число сочетаний из о элементов по й элементов. В частности, (а+ +Ь)з = аз+ ЗаоЬ+ ЗаЬз+ Ьз, (а+ 5)~ = а + 4азЬ+ ба Ь +4аЬз+ Ь . 2) Слагаемые С,",а™уь называют членалш разложения (2), а числа Сь — коэффициентами разложения или биномиальными коэффициентами. Коэффициенты разложения обладают следующими свойст- Се=С„" ", С,",+С„" ' =С„" „й=1,2,...,а. (3) 3) Полагая н формуле (2) а = 1, Ь = х, получаем (!+а)' = ~ ~Сз аь.

(4) л=о Подставляя в равенство (4) х = 1 и т = — 1, .находим С„" = 2"', ~ ~( — 1)ьС„" = О. ь=о ь=о 3. Числовые неравенства. Ц Если а > Ь и с > О, то ас > Ьс, а если а > Ь и с < О, то ас < Ьс. 2) Если а > Ь и с > д, то а+ с > Ь+ д. 3) Если а>Ь>О, то (а>Ь)еь(еха> х~ГЬ). 4) (а > Ь) сЬ ( з""(Уа > ~~й Ь).

5) (азь > Ьзь) сь (!а/ > !Ь!), й с /Ч. уь'. Прогрессии. Суммирование. Бином Ньютона 6) Для любых действительных чисел справедливо неравенство (~~ ауЬь) < (~ ар)(~ Ь~ь). 16) Равенство в 16) имеет место тогда и только тогда, когда существуют такие числа о и,З, что при всех )с = 1, 2, ..., и выполняется равенст- во ааь + ДЬь = О. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и м е р 1. Вычислить суммы: ~-е урЬ -~- Ц ' ~-е Ьру ж Ц(Ь ж 2) 1 1 1 А 1) Так как = — —, то по формуле 11) находим к(к ж Ц Ь Ь ж 1 ' о о 3) Используя равенство 1 1 / 1Й -~- 2) — й 1 1 / 1 1 к(к-~- Ц1к-~-2) 2 ь, к1к ж 1ИЬ-Ь 2) / 2 1, к1Ь и Ц (Ь-~-1ДЬ-~-2) ) и формулу (1), получаем Ь(Ь+ 1ИЬ+ 2) 2 ~м 'ькЬк+ Ц Ьк+ 1ПЙ+ 2)) 1/1 1 2 ь2 (п+1Дп+2)) Пример 2. Вычислить сумму Бо = 1г+ 2г+ ...