1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т1), страница 3

3. Метод математической индукции. Чтобы доказать, что некоторое утверждение верно для любого номера и, достаточно установить, что: А) это утверждение верно при гг = 1: Б) если утверждение справедливо для номера и (и любое натуральное число), то оно верно и для следующего номера п + 1. ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и ги е р 1. Рассмотрим неопределенные высказывания, заданные на множестве всех четырехугольников Х1: А(гг) = (четырехугольник О --- ромб), Гл. Х. Введение В(е,)) = (диагонали четырехугольника лХ взаимно перпендикулярны). Докалкелл, что ЧЦ АЯ) .=> В1лд), а обратное утверждение лХЯ В®) .=:> АЯ) неверно.

а Так как в любом ромбе диагонали взаиьлпо перпендикулярны, то АЯ) =:~ ВЯ) длн любого ромба О. Обратная теорема неверна: существует четырехугольник с взаимно перпендикулярными диагоналями, не являющийся ромбом. д Пример '2. Пусть у =ахе+ Ьх+ с, ах'=О, - квадратичная функция, Р = Ьз — 4ас. Доказать, что (лХхбй у>0)лэ(Р<0, а>0).

д Из равенства у = а(х+ — ) + с — — = и~(х+ — ) — —,] 11) и условий Р < О, а > 0 следует, что у > 0 для всех х Е В. Обратно, пусть у > 0 при всех т, Е 1Х. Докажем, что Р < 0 и а > О. Пусть условие ХЗ < 0 не выполняется; тогда Р > 0 и квадратный трехчлен ахз + Ьх+ г имеет действительные коРни х~ и хз, а квадРатичнаЯ функция меняет знак при переходе через точки хл и хз, Итак, Р < О., и из равенства 11) и условия у > 0 при всех х б В следует, что а > О.

д П р и мер 3. Пусть задано числовое множество М. Записать с помощью кванторов утвержденин А и В и их отрицания: а) А = (все элементы х множества ЛХ удовлетворяют условию х>0):, б) В = (сущесгвует число и > 0 такое, что все элементы множества ЛХ удовлетворяют условию ~х~ < ЛХ). д а) Пусть А не имеет места, т. е. не все элементы множества М удовлетворяют условию х > О.

Это означает, что найдется (существует) такой элемент х Е ЛХ, для которого неравенство х > 0 но выполняется, т. е. справедливо противоположное неравенство х < ( О. Запишем А и А с помощью квапторов: .4 лн (Чх е ЛХ х > 0), А г— н (Зх е ЛХ: х ( 0). б) Пусть не существует числа а > 0 такого, чтобы для любого х Е Е ЛХ имело место неравенство ~х~ < а.

Это означает, что для любого а > 0 неравенство ~х~ > а не может выполняться для каждого х Е ЛХ. Иначе говоря, существует такой элемент х = х, Е ЛХ (зависящий, вообще говоря, от а), для которого неравенство ~х~ < а пе выполняется, т. е. справедливо ллеравенство ~х~ > а. Запишем В и В с помощью кванторов: В = (эа > О: лХх б ЛХ ~х) < и), В = (Ча > 0 Лхе ~ М: )х.) > а).

д П р и мер 4. Доказать, что при всех и Е И справедливо равенство 12 22 2 ила + 1)л2а -~- Ц 1 +2 +...+и 12) б уй. Элементы логики, Метод могоемотикеокой индукции 15 а При и = 1 равенство (2) является верным (1 = 1). Докажем, что из предположения о том, что верно равенство (1), следует справедливость равенства 12+ 22+ + пи + (и+ Цз — ( Ц( ' 2)(йн 3) (3) 6 полученного из (2) заменой и на а+ 1.

Прибавляя к обеим частям равенства (2) слагаемое (п -Ь 1)г, имеекл 1 +22+ +а~+(и+1)з = ( ) +(и+1) (4) 6 Преобразуем правую часть (4): ( + 1Н + 2) (2в + 3) (2п, +7п,+б) = Таким образом, равенство (3) является верным, и поэтому формула доказана для любого п Е И. а ЗАДАЧИ 1. Доказать, что для любых высказываний А и В справедливы ААВ=АуВ, А'уВ= 4АВ. 2. Выяснить, какое из утверждений А и В следует из другого, используя символы .=г, СФ: 1) А = (каждое из чисел а, Ь делится на 7), В = (сумма а+ Ь делится на 7); 2) А = (последняя цифра числа а четная), В = (число А делится на 4); 3) А = (треугольник АгВ~Сз равнобедренный), В = (две медианы треугольника АгВгСг равны между собой); 4) А = (из отрезков, длины которых равны а., Ь, с, можно составить треугольник), В = (положительные числа а, Ь., с связаны неравенствами а+ Ь > с, Ь+ с > а, с+ а > Ь).

3. Доказатгь что квадратичная функция у = ахг + Ьх+ с принимает отрицательные значения при всех х Е Й тогда и только тогда, когда Р=Ьз — 4ас<0 и а<0. 4. Пусть 1(х) = ахг + Ьх + с (о, ф 0) -- квадратный трехчлен, Р = = Ьз — 4ас, хг и хг — корни квадратного трехчлена, хг < хз (Р > 0), Ь хо — — — — .--. абсцисса вершины параболы д = ахи + Ьх + с, ЛЕ и К --. 2а заданные числа. Доказать, что: 1) (хе<ЛЕ, ха<М)сг(Р>0, хе<ЛЕ, а1(ЛЕ)>0); 2) (хг>М, хз>ЛЕ)с" (Р>0, хо>М, а~(Л1)>0); 3) (хз < М < хз) с; (аЕ(ЛЕ) < О); 4) (К<хд<М, К<хз<ЛЕ)сь кэ (Р > О, К < хо < Л1, Е(К)Е(М) > 0); 16 Гл. 1.

Введение 5) 1х1 < Л < ЛХ < хз) 44 1аУ(ХХ) < О, а1" РХ) < О). 5. Пусть Аь (х) и Вл(х) ( Ь = 1, 2, ..., и ) - неопределенные выска- зывания, заданные на множестве ЛХ и такие, что: А) для любого х Е ЛХ хотя бы одно из высказываний Аь® явля- ется истинным; Б) Ан(х) ~ Ве(х), Ь = 1,2, ..., и; В) высказывания В1(х), ..., Вн(х) взаимно исключают друг дру- га, т. е. если одно из них для каждого х Е ЛХ истинно, то все остальные ложны.

Доказать, что Вь(х) =-> Ае(х), Ь = 1,2,...,п, а высказывания А1(х), ..., А„(х) взаимно исключают друг друга. 6. Пусть АГо Вь (и = 1, 2, 3) неопределенные высказывания, заданные на множестве всех треугольников со сторонами а, Ь, с и соответствуюгцими углами А, В, С: А1 = 1угол А острый), Аз = 1угол .4 прямой), Аз = 1угол А тупой), В1 = 1аз < Ь' + сз) Вз = 1аз = Ьз + с') Вз = 1аз > Ьз + сд). Доказать, что Ае св Вь (к = 1,2.,3). Методом математической индукции решить задачи 7 13. Т. Доказать, что при каждом и б 1Х верны равенства: 1) 1 2+ 2. 5+ ... + п(Зп — 1) = п" (и+ 1); 2) 12+32+ ...

+ (2п — 1)з = 3) 1 2+2 3+3.4+...+(и — Ци= ~ 3 4) 16+2з+Зз+...+ир = ( ~ )): 2 е 5) 1 2з+ 2 32+ ... + (и — 1)из = 12 8. Доказать, что при каждом п Е й; 1) число 5 2зп — 2 + Ззи — 1 кратно 16. 2) число и(2пз — Зи. + 1) кратно 6; 3) число 62" з -'г Зев' + 3" ' делится на 11; 4) число ив — и делится на 5. 9.

Доказать, что при каждом и 6 Н справедливо неравенство БеРнУлли (1 + а)" > 1 + иа, если а > — 1. 10. Доказать, что при каждом и Е Л1 верно неравенство; 1 1 1 1) — + — + ... + >1; и+1 пл-2 За+1 1 1 1 13 2) + +...+ — > —; и-61 п-62 2и 24' 1 3 5 2п — 1 1 2 4 6 2п ъ'За+1 ' 9 а'. Действительные числа 17 4),,/и < 1 + — + ... + — < 2чггь 1 1 ч/2 ь7п 11. Доказать равенство 1 1 1 и агсг8 — + агс18 — + ... + агс1я —, = агс18, и Е И.

2 8 2пе о 41' 12. Пусть хы хз, ..., хп произвольные положительные числа такие, что хгха... тп = 1. Доказать, что хч+хз+...+хп >п. 13. Пусть хы хз, ..., х„— произвольныс положительные числа. Доказать, что х1 +ха+ ..+хп Ь и 1хз" ° сп; причем знак равенства имеет место тогда и только тогда, когда хч = = ха = " = хп. ОТВЕТЫ 2. 1) А =ь В; 2) В ~ А: 3) А сь В; 4) А сь В. '2 3.

Действительные числа СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Множество действительных чисел. 1) Действительное (веьцественнае) число о записывается в виде бесконечной десятичной дроби а = хоо, очсчзз.нп..., оьое...опАМ...Д, — очое" оп 99...900...0 т и (3) где оо - - неотрицательное целое число, а каждое о„ (п Е У) †- одна из цифр О, 1., 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Знак + в записи (1) обычно не пишут, а число вида оа, очна.,,о„.,. называют неотрицательным. 2) Бесконечная деснтичная дробь называетсн периодической с периодом Д...Д и записывается в виде о = ое, очсчз ...о„(Д7 ~32...Д~), (2) если после некоторого десятичного разряда (его номер обозначен и) группа цифр 31 Ве...Дт все время повторяются.

Бесконечные десятичные периодические дроби (и только они) являются рациональными числами, т. е. записываются в виде —, где р Е л, 9 Е 01. 9 3) Переход от записи рационального числа а в виде (2) к записи вида — производитсн по формуле 9 Гл. 1. Введение 18 В числителе дроби (3) записана разность чисел, стоящих после запятой в равенстве (2) соответственно до второго и первого периода, а в знаменателе число 10 ь" — 10". 4) Число ао, ал.,.ап.,, называется айсоллотной величиной [модулем) числа [1) и обозначается [а[, т, е. [ и-" ао алаз" ап "[ = лло, алаз...алл...

Таким образом, о, если о>0, [а[= ~ [ — о, если а<0. 5) Бесконечная дссятичнан дробь называется допустимой, если она не содержит периода, состоящего только из цифры 9. Любое действительное число может быть записано в виде допустимой бесконечной десятичной дроби. 2. Сравнение действительных чисел. 1) Сравнение неотрицательных чисел. Два неотрицательных действительных числа а и Ь, записанных в виде допустимых бесконечных десятичных дробей а = ао,ала'"ап" и Ь = до; Влдл туп "и [4) равны [а = 6) тогда и только тогда, когда аь = Вь при всех Ь = 0,1,2, ..., 1а = Ь) ч= 1аь = 4., ~6 = О., 1, 2, ...).

Поэтому любос действительное число однозначным образом записы- вается в виде допустимой бесконечной десятичной дроби. Если неотрицательные действительные числа а и Ь записаны в виде допустимых бесконечных десятичных дробей (4), то говорят, что число а меньше числа Ь и пишут а < Ь, осли либо ао < До, ли- бо ао = 1)о и существует номер и такой, что аь = дь для всех 1' = = 0,1, ..пп — 1, но а„< Дп. 2) Сравнение произвольных действительных чисел. Если а — не- отрицательное число, а 6 отрицательное число, то считают, что 6 < а [или а > 6). Если оба числа отрицательные, то считают, что а = Ь, если [а[ = [Ь[, и лл < Ь, если [6[ < [о[. 3.