1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т1), страница 10

Число уог соответствующее значению аргумента:го, назы- вают значением функции при х = хо (или значением функции в точке хо). Множество всех значений функции 2 на множестве Р() ) обозначается Е( (). Для указания функции используют иногда только символ, кото- рым обозначен закон соответствии, например 2. Функции 2 и д называют равными, если Р(() = Р(д) и равенст- во 2(х) = д(х) верно для любого значения аргумента.

Если же это равенство верно лишь на множестве А С Р()) Р Р(д), то функ- ции 1' и д называют равными но множестве А. Пусть заданы функции у = г"(х) и г = Е(у), и пусть область зна- чений функции д содержится в области определения функции Е. г = Е(2(х)), х Е Р(Г), называют сложной функцией или композицией (суперпозицией) функ- ций З" и Е и обозначают Е о 2. 2. Свойства и характеристики функций. 1) Ограниченные и неограниченные функции.

Функцию 1" называют ограниченной сверху ка множестве Х С Р(1), если существует чис- ло С такое, что для любого х Е Х верно неравенство д(х) ( С. Используя символы В и Ч, это определение записывают так: ВС чх ((х Е Л) =:г (1(х) ( С)). (1) Гл. д Веедекие Аналогично, функцин 1 ограничена снизу на множестве Х С Р((), если ВС Чх ((х Е Х) => (1(х) > С)). (2) Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве Л, называют ограниченной на льножестее Х.

Это определение равносильно следующему: функция Г ограничена на множестве Л С Р(З), если существует число С > О такое, что для любого х Е Х верно неравенство ~ 1(х) ~ ( С; короче, ВС > О 'ух Нх Е Х) ~ (~Дх)~ ( С)). (3) Если в этих определениях Х = Р()), то функцию называют соответственно ограниченной сверху, ограниченной снизу, ограниченной. Отрицание определения ограниченной функции (см.

(3)) выглядит так; функция 1' неограничена, если для любого С > О найдется х Е Е Р(1) такое, что ~Д(х)~ > С; корочех ЧС > О нх ((х Е Р(Д) — ь Я(х)~ > С)). (4) Аналогично формулируются отрицания определений ограниченной сверху (снизу) функции. 2) Верхнлл и нижняя грани, наибольшее и наименьшее значения функции. Верхнюю (нижнюю) грань множества (гл. 1, 3 3, и. 5) всех значений функции у = Д(х), х Е РЯ, называют верхней (соответственно нижней) гранью функции и обозначают эпр1, эпрД(х) (соответственно 1п11, 1п11(х))). Если в этом определении рассматривают значения функции лишь на множестве Х С Р()), то говорят о верхней (соответственно нижней) грани функции на л1нозкестее Х и пишут зпр 1, зпр 1(х) (соответственно 1п1з, ш1 1(х))).

Х *ЕХ Х хеХ значение з (хо), где хо е х с Р(з), функции называют наибольшим (соответственно наименьшим) на множестве Х, если для любого х Е Х верно неравенство Д(х) ( Д(хо) (соответствецно Д(х) > > )(хе)). В этом случае число Д(хо) обозначают шах 1, пзах Д(х) (соответственно ива 1, ппп 1(х)). х ' .ех Х хЕХ Если Х = Р(Г), то говорят коротко о наибольшем (соответственно наименьшель) значении функции и обозначают его пзах1, шах Д(х) (соответственно шш з, ппп 1(х)).

Наибольшее (наименьшее) значение функции называют также максимальным (минимальным) значением. Если существует зпах Г", то впр 1 = шах 1; если существует Х ' Х Х ппп), то 1п11 = шш Х ' Х Х г 7. Числовые функции. Последоеательеосспи 57 Из существования конечного зцр ф (ш1 ф) нс следует, вообще го- Х -Х варя, существование максимального (минимального) значения функции.

3) Монотонные функции Функцию 7" называют возрастающей (неубывающей) на леножестве Х С РЦ), если для любых хы хг с Х из неРавенства х~ < хг слеДУет неРавенство 7"(хс) < 7(хг). Это определение коротко записывается так: ЧХ! чге ((Х1 с Х, Хг с Х, Хг ( Хг) г (З (ХС) ~ (З (ХЗ))). Функцию Р называют убывающей (невозрастающей) на л<ножестве Х С РЦ), если Дли любых хыхг Е Х из неРавенства хс < хг следует неравенство ф(хс) ) ф(хг); короче, Чхс Чхз ((хс Е Х, хг Е Х, хг < хг) ~ ®хг) д Д(хг))). Если в этих определениях из неравенства хс < хз следует строгое неравенство Дхс) < ф(хг) (соответственно 7(хс) ) 7(хг)), то функцию нагывакзг щпрого еозристиющей (соответственно пироги уйывающей) на множестве Х. Возрастающие и убывающие функции объединяют названием монотонные, строго возрастающие и строго убывающие названием строго монотонпьсе.

Если Х = Р(Д, то указание ца множество Х опускают. 4) Четные, нечетные функции. Функцию у = ф(х), определенную на симметричном относительно нули множестве Х., называют; четной, если для любого х Е Х верно равенство г'( — х) = ф(т); и нечетной, если для любого х Е Х верно равенство З'( —:с) = — ф(х). 5) Периодические функции. Число Т р': О называют периодом функции Г", если для любого х Е РЦ) выполнено х+Т Е РЦ), х — Т Е РЦ) и 7(х+Т) = ~(х). Функцию, имсюгдую период, называют периодической.

Если Т вЂ” период функции, то для любого п Е л, п ф О, число пТ также является периодом этой функции. 3. Обратная функция. Пусть функция у = ф(х), т. Е РЦ), такова, что для любых хм хе Е РЦ) из того, что хс ~ хг, следует, что 7'(хс) ~ ф(хг) (такую функцию называют взаимно однозначной). Тогда для каждого у Е Е® найдется только одно значение х Е Р(Д такое, что ф(х) = у. Функцию, определенную на ЕЯ и сопоставляющую значению у Е ЕЦ) такое х Е РЦ)., что 7(х) = у, называют обратной для функции 7" и обозначают 7" ', т, е. х=ф "(у), усЕЦ).

Гл. 1. Введение Таблица 1 Функция у = д(х) Преобразование графика функции у = Т(х) У = 1 (х) -Ь с у = 1(х — е) д=1( — х) у = — йх) у = аГ(х) у = ~(ах) Сдвиг вдоль оси ординат аа е Сдвиг вдоль оси абсцисс на с Симметрия относительно оси ординат Симметрия относительно оси абсцисс Умножение каждой ординаты на а Деление каждой абсциссы на а Вместо преобразования графика функции у = г"(х) можно воспользоваться преобразованием системы координат. Например, гра- Согласно определению РЦ ~) = Е(1), ЕЦ ') = РЦ), т. е.

множества определения и значений исходной и обратной функций меняются местами. Функдию, имеющую обратную, называют обратилеой. Обозначая, как обычно, аргумент обратной функции через х, а значение через у, се записывают в виде у=г' ~(х), ХЕРЦ з).

Из определения обратной функции следует, что Чх Е ЕЦ) 1Ц (х)) = х, ~х Е РЦ) ( '®х)) = х. Функции у = 1(х) и у = 1" '(х) взаимно обратные. 4. График функции. Гра4иноле 4ункиии у = )(х), х Е Р((), в прямоугольной системе координат Оху называют множество всех точек плоскости с координатами (х; з (х)), х Е Р(з ). Каждая прямая, пара.тсльнан осн ординат, пересекает ~ рафик функции не более чем в одной точке.

График ограниченной функции у = 1(х) весь расположен в полосе между прямыми у = 1п1( и у = эцр(. Каждая прямая у = сопз1, параллельная оси абсцисс, пересекает график взааллно однозначной (обратимой) функции не более чем в одной точке. График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат. График периодической с периодом Т > 0 функции получается последовательными сдвигами на Т какой-либо его части, расположенной над (под) отрезком длины Т.

График обратной функции у = р ~(х), х Е РЦ '), симметричен графику функции у = 1(х), х Е РЦ), относительно прямой у = х. В ряде случаев график функции у = д(х) можно получить преобразованием известного графика другой функции у = Г" (х). В табл. 1 указаны простейшие из этих случаев. 5 7. Числовые функции. Последовательности 59 фик функции д = 7(х) + с получится, если, нс меняя графика функции д = Д(х) (как множества точек плоскости), взять новую систему координат, сдвинутую на — с вдоль прежней оси ординат, и т.

д. б. Некоторые способы задания функции. 1) Под функцией, задаккой формулой, понимают функцию, областью определения которой являются все значения аргумента, для которых эта формула имеет смысл, и для которой результатом каждой операции, указанной в формуле, является действительное число. 2) Неявный способ задания функции. Функцию называют заданной неявно уравнением Г(х,у) = 0 (неявной функцией), если каждое значение ее аргумента х и соответствуюшее ему значение функции у являются решением данного уравнения Е(х, у) = О.

Графиком уравнения К(х,д) = 0 в прямоугольной системе координат хОд называют множество всех точек плоскости, координаты (х; д) которых удовлетворлкзт этому уравнению. График всякой функции, заданной неявно уравнением Г(х, д) = О, содержится в графике этого уравнения. Уравнение г(х,.у) = 0 может задавать не одну, а множество функций.

Иногда от неявного способа задания удается перейти к явному, т. е. задать функцию формулой у = 7(х). Например, функцию с неотрицательными значениями, заданную уравнением хз + дз = 1, можно задать явно в виде д = ч71 — хз, х Е [ — 1; Ц. График данного уравнения единичная окружность, а график рассматриваемой функции верхняя полуокружность (рис.

7.1). Это же уравнение задает и другие Ркс. 7.2 Ркс. 7Д Ркс. 7.3 функции, графики двух из них изображены на рис. 7.2, 7.3 сплошными линиями. 3) Функции, заданные. параметрическш Пусть на мно1кестве Т заданы две функции, х = р(г) и д = Ф(1). Множество всех точек координатной плоскости с координатами (уо(й);ф(Г)), 1 Е Т, называют кривой, заданной парамвтричвски. Например, пара функций х = совг, д = 51пг, 1 Е (ОГ217), задает параметрически единичную окружность.

Пусть Х и 1' -" соответственно множества значений функций х = Чз(1) и у = ф(С), определенных на Т. Для каждого С б Т значе- 60 Гл. 1. Введение нию х = у[г) сопоставим значение у = гв[г). При этом может случиться, что значению х Е Х сопостанлсно более чем одно значение у Е К Пусть дано правило, по которому из множества значений д, сопоставленных указанным вьппе способом значению х, выбирается только одно значение. Функции х = уз[1) и у = гв(1), 1 Е Т, вместе с этим правилом определяют функцию у = Д[х), х б Х, которую называют заданной парамвтриквски. Например, функции х = гз, у = гз, Г Е й, вместе с условием у > 0 задают параметрически функцию у = Д[х), х > О, которую в данном случае можно задать и явно в виде у = хзг-, т > О.

6. Элементарные функции. 1) Основные элементарные функции. К нгиги относят: постояннуго у=соггяь, хай; показательную и обратную ей логарифмическую функции д=а"', а>0, аф1, хай, д=1об„х, а>0, аф1, х>0; тригонометрические функции -" у = яшх, д = соях, х Е й, у= Гцх, хфкгг2+кп, п ЕЕ, д= 01дх, хф.кп., пел'; обратные тригонометрические функции у = агсвшх, у = агссоях, -1 < х < 1, д = аггтях, у = агссгбзц х е й. Эти функции не являются в полном смысле обратнылги к указанным выше тригонометрическим.

Последние, как и все периодические функции, не имеют обратных. Функция у = атея|их, — 1 < х ( 1, обратна "сужению" у = япх на отрезке [ — к/2;к/2] и имеет этот отрезок в качестве области значений. Это значит, что Ух ~ [ — 1., 1] 61гг[агся1п х) = х, ггх б ~ — —; — ] агся1п(61п х) = х. 2' 21 Последнее равенство верно только длЯ Указанных значений х Е ( — кгг2;.гг2]. Графики этих фушгций изображены на рис. 7.4. Аналогично, функция д = агссоях, — 1 < х < 1, обратна "сужению" д = соях на отрезке [О;к].