1610915389-9cf4bb28a9b372fd268dec258c2fd2e7 (Кудрявцев 2003 Сборник задач по математическому анализу т1)

УДК 517 ББК 22.161 К88 Книга является первой частью трехтомного сборника задач, созданного на основе многолетнего опыта преподавания курса математического анализа в Московском физико-техническом институте. В нее включен ь1атериал, связанный с понятием предела, непрсрыввости и производной. Каждый параграф содержит справочный материал, набор типовых примеров с решениями и задачи для самостонтсльной работы с ответами. Для студентов университетов и технических вузов с расширенной программой по математике. Табл. об.

Ил. 94. Виблиогр. 20 назв. Рецензенты: заведующий кафедрой общей математики ВМиК МГУ им. М.В. Ломоцосона, акадеьаик В.А. Ильин; профессор МФТИ, академик С,М. Никольский. 1БВ51 5-9221-0306-7 (Т. 1) 1БВ1Ч 5-9221-0305-9 © ФИЗМАТЛИТ, 2003 © Л.Д. Кулрянцен, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлое, М.И Шабунин,'2003 Куд ран цен Л.Д., Кутасов А. Д., Чехлов В. И., Шабунин М.И. Сборник задач по математическому анализу.

Том 1. Предел. Непрерывность. Дифференцируемостьи Учеб. пособие/ Под ред. Л.Д. Кудрявцева. 2-е изд., перераб. Мл ФИЗМАТЛИТ, 2003. 490 с. 18ВХ 5-9221-0306-7. ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящая книга является первой частью сборника задач и содержит материал, относящийся ь трем важным разделам курса математического анализа --. "Предел", "Непрерывность' и "Дифференцируемость". Сборник состоит из четырех глав. В первой главе рассматриваются множества и операции над ними, основные попития комбинаторики, сведения о действительных и комплексных числах, многочлепы и алгебраические уравнения, числовые функции и последовательности. Изучение материала этой главы имеет целью подготовить читателя к освоению курса математического анализа.

Во второй главе содержится большое число задач, связанных с понятием предела последовательности и функции. В третьей главе собраны задачи по разделу "Производная и дифференциал", а четвертая глава посвящена применению производных к исследованию функций. При составлении сборника авторы опирались на многолетний опыт преподавания курса математического анализа в Московском физико- техническом институте. В соорнике содержится большое число оригинальных задач, составленных преподавателями кафедры высшей математики МФТИ и используемых в работе со студентами. Значительная часть задач сборника подготовлена авторами.

В сборник включены задачи из широкоизвестных изданий, в частности, из сборника задач по математическому анализу Б. П. Демидовича и сборника задач по высшей математике Н.М. Гюнтера и Р.О. Кузьмина. Каждый параграф сборника содержит теоретические сведения, примеры решения типовых задач и задачи для самостоятельной работы. Задачи каждого параграфа сгруппированы по темам и кап~лая группа задач расположена в порядке возрастания трудности -- от совершенно простых до достаточно сложных. Особое внимание в сборнике уделено задачам, способствующим усвоению фу ндаментальных понятий математического анализа. Ьольшой набор задач, иллюстрирующих ту нли иную тогяу, дает возможность преподавателю использовать зада шик для работы в аудитории, для домашних заданий и при составлении контрольных работ.

Сборник задач предназначается в основном для вузов с расширен- Предисловие ной программой по математике. Наличие большого числа задач разной трудности дает возможность использовать задачник как в университетах, так и в технических вузах. Первое издание вышло в свет в 1984 г. В настоящее издание внесен ряд существенных изменений. В каждом параграфе четко выделен справочный материал, затем даны примеры с решениями и задачи с ответами, которые для удобства читателей приводнтся в конце каждого параграфа.

Переработан материал гл, 1 и й 11, 23 в направлении существенного сокращения, добавлены задачи (в небольшом числе) в ~ 8 — 10, 16, 18, 19, 24 без изменения общей нумерации задач, Авторы выражают глубокую благодарность коллективу кафедры высшей математики МФТИ, многолетняя плодотворная работа которого в значительной степени способствовала появлению этого сборника. ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ ~ 1.

Множества. Комбинаторика СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ 1. Множества. 1) Буквами И, х, О, й., С обозначают соответственно множества натуральных, целых, рациональных, действительных и комплексных чисел. 2) Если х элемент множества А, то пишут х Е А, а если х не является элементом множества А, то пишут х ф А.

3) Если каждый элемент множества А является элементом множества В, то пишут А С В или В З А и говорят, что множество А является подмножеством множества В. В этом случае говорят также, что А содержится в В или что В содержит А.

4) Если А С В и В С А, то А = В. 5) Для удобства вводится понятие пустого множества (его обозначают ю), которое по определению не содержит элементов и содержится в любом множестве. 2. Операции над множествами. 1) Множество, состоящее из всех тех и тольссо тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А и В, называется объединением множеств А и В и обозначается А 0 В или А+ В. 2) Множество, состояшее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А., так и множеству В, называетсп пересечением лсножеств А и В и обозначается А П В или АВ. Если А О В = О, то говорят, что множества .4 и В не пересекаются.

3) Множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называется разностью множеств А и В и обозначается .1сс В. 4) Если А С В, то разность В С, А называют дополнениелс множества А до множества В и обозначают А' . В тех случаях, когда рассматриваются только подмножества некоторого основного множества Г, дополнение лсножества Лд до множества Г называют просто дополнением ЛХ и вместо ЛХ'г пишут просто Лч". Непосредственна из определения дополнения мне'кества следуют Гл.

Д Введение равенства М и М' = 1У, М и Л1' = а, (М'~' = М. 5) Длн любых подмножеств Л и В множества ГГ справедливы также следующие равенства, которые называют законами двойственности или законами дв Моргана; (А0В)'=А'ПВ', (ЛОВ~'=А'0В', т. е, дополнение объединения двух множеств равно пересечению их дополнений, а дополнение пересечения двух множеств равно объединению их дополнений. 3. Эквивалентные и неэквивалентные множества.

1) Говорят, что между множествами А и В установлено взаилы но однозначное соотоетствие, если каждому элементу множества А сопоставлен один и только один элемент множества В, так что различным элементам множества А сопоставлены различные элементы множества В и каждый элемент множества В оказывается сопоставленным некоторому элементу множества .4. 2) Множества, между которыми можно установить взаимно однозначное соотнетствие, называются эквивалентными. Если множества А и В эквивалентны, то пишут А В; если они не эквивалентны, то пишут А зь В.

3) Если А В, то говорят, что множества А и В имеют одинаковую мощность. Если А зв В, но А Вг с В, то говорят, что мпожоство А имеет меньшую мощность, чем леножество В. 4) Множество А ф ю называется конечным, осли существует такое число п, Е Ш, что А (1,2,3,",и'1.

В этом случае говорят., что множество А содержит и элементов или что множество .4 имеет мошность п. Пустое множество О также считается конечным, его мощность принимаетсн равной нулю. Множество, не являюшееся конечным, называется бесконечным. 5) Множество А называется счетным, если А И. Говорит, что счетное множество имеет счетную мощность. Если множество конечно или счетно, то его называют не более чем счетным. Множество называется несчетным, если оно имеет мощность, большую, .чем мощность мнояеества М. Теоремы Кантора.

1. Множество всех рациональных чисел счетно. 2. Множество всех действительных чисел несчетно. Множество А называется множеством мощности континуума, ес- ли А Й. В К Множества, Комбинаторика 4. Система множеств. 1) Пусть дано множество Я = 1в), называемое множеством индексов, и каждому индексу в сопоставлено множество А,.

Множество 1А,), элементами которого нвляются множества А„в Е 5, называют системой или семейством множеств. Понятия объединения и пересечении двух множеств обобщаются на случай произвольной конечной или бесконечной системы нлножеств следующим образом. 2) Ойаединением системы множеств А„, в е Я, называется множество всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств системы. 3) Пересечением системы множеств А„, в е о', называется множество всех элементов, содержащихся в каждом множестве системы.

4) Объединение и пересечение системы множеств А„, е 6 5, обозначают соответственно а Ал » Л Ае юы еея В частных случаях, когда система множеств конечна или счетна, пишут в ж ЦАм ПА„, пей, или ЦАе, ПА„. л=л л=л л=л л=л 5. Упорндоченньле множества. Множество называется упорядоченным, если для любых двух его элементов а и Ь установлено отношение порядка и < Ь или Ь < а (а не превосходит Ь или Ь не превосходит а), обладающее свойствами: 1) рефлексивности: а < а, т. е. любой элемент не превосходит самого себя; 2) антисимметричности: если а < Ь и Ь < а, то элементы а и Ь равны; 3) транзитивности: если а, < Ь, Ь < с, то а < с. 6.

Размещения и перестановки. 1) Пусть имеется множество, содержащее и элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из й элементов, называется размвиЛением из и элементов по й элементов. Число размещений из и элементов по Ь элементов обозначается А„и вычислнется по формуле ь А~ = п(п — 1)(п — 2)..Ап — (Ь вЂ” 1)). ~1) 2) Размещения из тл элементов по а элементов называлотся перестановками из п элементов.

Число перестановок из и элементов обозначается Ре и вычисляется по формуле Р„= 1 . 2..... и = и!. (2) 7. Сочетания. Пусть имеется множество, состоящее из и элементов. Каждое его подмножество, содержащее Ь элементов, называется сочетанием из и элементов по Ь элементов. Гж д Введение Число всех сочетаний из п элементов по 1 элементов обозначается символом С„ и вычисляется по формуле ь ей М (п — й)! ' или по формуле ирп — 1Цп — 2) ... (п — й -~- Ц й! Справедливы равенства Сл = С" л, С"~' = Сл+'+Се, й(п.

п н нн-1 и е ПРИМЕРЫ С РЕШЕНИЯМИ П р и м е р 1. Доказать закон двойственности (А гз В)' = А' 0 В'. й Пусть х Е (А и В)', тогда х Е Ай В и, следователыю, х ф А яли х ф В, т. е. х б А' или х е В', а это означает, что х я А' О В'. Таким образом, доказано включение (АпВ)' с А'гдВ'. Пусть х Е А' 0 В', тогда х Е А' или х Е В' и, следовательно, х К А или х Е В, т.